专题04 方程与不等式-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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专题04 方程与不等式
【知识点梳理】
知识点1：二元二次方程组的解法
方程
是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做这个方程的二次项,,叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
知识点2：一元二次不等式的解法
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．

（1）
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
x＜x1，或x＞x2；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解为
x1＜x＜x2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－，由图2.3－2②可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
x≠－；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．
【题型归纳目录】
题型1：一元二次不等式的解法
题型2：二元二次方程组的解法
【典型例题】
题型1：一元二次不等式的解法
例1．解不等式：
【解析】
由题意，，所以原不等式的解为或.
例2．解不等式：；
【解析】
(1)可得，∴
例3．求下列不等式的解集.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】
(1)解：原不等式即为，解得，
(2)解：将原不等式变形为，
即，解得或，
(3)解：将原不等式变形为，解得，
(4)解：对于不等式，，故原不等式的解集为.
例4．求不等式的解集：
(1)；
(2)；
【解析】
(1)由，得，
解得或，
(2)由得，，
题型2：二元二次方程组的解法
例1、方程组x-y=0x2+y=2的解是　　　　　．
【答案】x1=-2y1=-2，x2=1y2=1
【解析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．
x-y=0①x2+y=2②，
②+①得：x2+x=2，
解得：x=﹣2或1，
把x=﹣2代入①得：y=﹣2，
把x=1代入①得：y=1，
所以原方程组的解为x1=-2y1=-2，x2=1y2=1，
故答案为x1=-2y1=-2，x2=1y2=1．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，根据方程组的结构特点灵活选取合适的方法求解是关键.这里体现的消元与转化的数学思想.
例2、已知x、y是有理数，且x、y满足，则x+y=　　　　　　　　【答案】1或-7
【解析】由题意得
{2y=-322x2+3y=23 ，
解之得
{x=4y=-3 或{x=-4y=-3
∴x+y=1 或x+y=-7

例3、解方程组y=x+1x2-4xy+4y2=4
【答案】x1=-4y1=-3，x2=0y2=1
【解析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.
解：y=x+1①x2-4xy+4y2=4②
由②得，x-2y2=4 ③，
把①代入③，得
x-2x+12=4，
即：x+22=4，
所以，x+2=2或x+2=-2
所以，x1=-4,x2=0,
把x1=-4,x2=0,分别代入①，得y1=-3,y2=1.
所以，方程组的解是
x1=-4y1=-3，x2=0y2=1
【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.
例4、解方程组：4x2-4xy+y2=1x+2y=3
【答案】x1=1y1=1,x2=15y2=75
【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．
详解：4x2-4xy+y2=1 ②x+2y=3 ①
由②得(2x-y)2=1，
所以2x-y=1③，2x-y=-1④
由①③、①④联立，得方程组：
2x-y=1x+2y=3，2x-y=-1x+2y=3
解方程组2x-y=1x+2y=3得，y=1x=1
解方程组2x-y=-1x+2y=3得，x=15y=75．
所以原方程组的解为：y1=1x1=1，x2=15y2=75
点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．
例5、解方程组：x2+5xy-6y2=02x-y=1 ①②
【答案】x1=613y1=-113,x2=1y2=1
【解析】试题分析：
把①方程变形为(x+6y)(x-y)=0，从而可得x+6y=0或x-y=0，把这两个方程分别和原方程组中的②方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可.
试题解析：
方程①可变形为(x+6y)(x-y)=0，
得x+6y=0或x-y=0，
将它们与方程②分别组成方程组，得：
（Ⅰ）x+6y=02x-y=0或（Ⅱ）x-y=02x-y=1 ，
解方程组（Ⅰ）x=613y=-113， 解方程组（Ⅱ）x=1y=1
所以原方程组的解是x=613y=-113 ，x=1y=1 .

例6、解方程组： {x+y=3x2-4y2=0
【答案】 {x=2y=1和 {x=6y=-3
【解析】由第一个方程得到 x=3-y，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出 y，再回代第一个方程中即可求出 x．
解：由题意： {x+y=3⋯(1)x2-4y2=0⋯(2)，
由方程(1)得到： x=3-y，再代入方程(2)中：
得到： (3-y)2-4y2=0，
进一步整理为： 3-y=2y或 3-y=-2y，
解得 y1=1， y2=-3，
再回代方程(1)中，解得对应的 x1=2， x2=6，
故方程组的解为： {x=2y=1和 {x=6y=-3．



【过关测试】
一、选择题
1.不等式组5x+2>3(x-1)12x-1≤7-32x的所有非负整数解的和是(    )
A. 10 B. 7 C. 6 D. 0
【答案】
A
【解析】解：5x+2>3(x-1)①12x-1≤7-32x②，
解不等式①得：x>-2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：-2.5