专题15等式性质与不等式性质-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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专题15 等式性质与不等式性质
【知识点梳理】
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；

②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；

③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③.
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
(1)对称性：
(2)传递性：
(3)可加性：(c∈R)
(4)可乘性：a>b，
运算性质有：
(1)可加法则：
(2)可乘法则：
(3)可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
【题型归纳目录】
题型一：用不等式(组)表示不等关系
题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小
题型三：利用不等式的性质判断命题真假
题型四：利用不等式的性质证明不等式
题型五：利用不等式的性质比较大小
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【典型例题】
题型一：用不等式(组)表示不等关系
1．（2022·江苏·高一）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（     ）
A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c ”或“0， ， 此时成立；
(2)若b>a>0， 则， a-bb+c B．ac2≥bc2
C． D．(a+b)(a-b)>0
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，逐一判断作答.
【详解】
对于A，因a，b，c∈R，a>b，则a+c>b+c，A正确；
对于B，因c2≥0，a>b，则ac2≥bc2，B正确；
对于C，当c=0时，，C不正确；
对于D，当a=1，b=-1，满足a>b，但(a+b)(a-b)=0，D不正确．
故选：AB
10．（2022·江苏·高一）对于实数a，b，c判断以下命题的真假
（1）若， 则；( )
（2）若，则；( )
（3）若， 则；( )
（4）若， 则；( )
（5）若，则．( )
【答案】     假命题     真命题     真命题     真命题     真命题
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质和实数的性质，逐个推理运算，即可求解.
【详解】
（1）中，因为的符号不定，所以无法判定和的大小，故原命题为假命题；
（2）中，因为， 所以， 可得，故原命题为真命题；
（3）中，因为，所以，又因为，所以，
综合可得，故原命题为真命题．
（4）中，根据实数的性质，两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．
（5）中，因为且，所以且，
所以且，可得，
又因为，所以，故原命题为真命题．

题型四：利用不等式的性质证明不等式
1．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用不等式的性质可证得结论；
（2）由，知，利用，即可证得结论；
(1)
，两边同乘以，则
又，两边同乘以，则
即
(2)
，两边同乘以，得；
两边同乘以，得，所以
又，则，又，则，
即
2．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）可知，而，即可得证；
（2）可知，而，即可得证；
(1)
证明： ，
，
又，
；
(2)
证明：，
，
又，
．
3．（2022·全国·高一）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）与作差，判断差的正负即可得出结论；
（2）结合不等式的性质分析即可证出结论.
【详解】
（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
4．（2022·全国·高一单元测试）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
（2）已知c>a>b>0，求证：；
（3）观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；
②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3
【解析】
【分析】
（1）（2）根据不等式的基本性质即可得证；
（3）①根据已知条件结合不等式的性质即可得出结论；
②，根据已知条件直接写出结论即可.
【详解】
证明：（1）因为，所以，
又，即，
所以，所以，即≤；
（2）因为，所以，，
所以，
所以；
（3）解：①成立，证明如下：
∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，
又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1；
②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3
5．（2022·江苏·高一课时练习）已知，求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）结合幂函数的单调性，即得证
（2）由，结合不等式的性质，即得证
【详解】
（1）由幂函数在单调递增，
且，故，即得证；
（2）由（1），
由不等式的性质，
又
由不等式的性质，
综上：，即得证
6．（2022·江苏·高一课时练习）证明下面的结论：
（1）如果，，且，那么；
（2）如果，，那么；
（3）如果，，那么；
（4）如果，，，那么.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
本题考查的是不等式的证明，先对原式进行转换，再利用不等式的性质进行证明即可.
【详解】
（1） ， ，则有；
（2） ， ，则有；
（3） ， ， ；
，，；
那么；
（4）由（3）可得，且，那么.
7．（2022·江苏·高一课时练习）已知，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利不等式的性质证明即可
【详解】
因为，
所以，，
所以
8．（2022·新疆·阜康市第一中学高一阶段练习）（1）比较与的大小
（2）已知求证：
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用作差法即可得出答案；
（2）利用不等式的性质即可证明结论.
【详解】
（1）解：，
所以；
（2）因为，，
所以，
所以，即.
9．（2022·福建·永安市第三中学高中校高一阶段练习）（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用作差法即证；
（2）利用作差法即证.
【详解】
（1）∵，
∴；
（2）∵
，
当且仅当时等号成立，
∴
10．（2022·湖北·武汉市育才高级中学高一阶段练习）（1）若，，求证：；
（2），，，求证：
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用作差法证明即可，
（2）利用不等式的性质证明即可
【详解】
（1）因为，，
所以

，
所以
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
即
11．（2022·全国·高一专题练习）若，，，求证：
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系.
【详解】
证明：，．
又，．
则，即．
又，．

题型五：利用不等式的性质比较大小
1．（2022·山西吕梁·高一开学考试）已知，则下列结论正确的是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
因为，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B正确；
因为，所以不成立，故C错误；
，因为，所以，即，所以成立，故D错误.
故选：B
2．（2022·北京·高一期末）若，，则下列不等式一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
举反例可判断ABD，由不等式的性质可得，可判断C
【详解】
选项A，令，，不成立，A错误；
选项B，令，，不成立，B错误；
选项C，由，，可得 ，故，C正确；
选项D，令，，不成立，D错误.
故选：C
3．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）若，则下列不等式一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质可判断ABD，取特殊值可判断C选项.
【详解】
选项A：因为，所以，
所以，故A错误；
选项B：因为，则，
所以，即，
又，所以不等式
两侧同时乘以，则，故B错误；
选项C：当时，此时，
，，
，故C错误；
选项D：因为，所以，
则 ，故D正确.
故选：D.
（多选题）4．（2022·河北保定·高一期末）已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A选项可以举出反例，BCD可以利用不等式的基本性质推导出.
【详解】
，，满足条件，故A错误；，故B正确；由得，故C正确；由有，故D正确．
故选：BCD
（多选题）5．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B中为0的情况.
【详解】
选项A：，在不等式两边同除以得，A正确；
选项B：当时，，B错误；
选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；
选项D：，，两边同除以得，，D正确.
故选：ACD.
（多选题）6．（2022·广东揭阳·高一期末）已知，下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用不等式的性质逐项分析即得.
【详解】
∵，
∴，故A正确；
取，则，故B错误；
由可知，，
∴，，故C错误，D正确。.
故选：AD.
（多选题）7．（2022·辽宁丹东·高一期末）如果a，b，c，，那么（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据举例说明即可判断选项A、C，根据不等式的基本性质即可判断选项B、D.
【详解】
A：令，满足，但，故A错误；
B：因为，所以，故B正确；
C：令，，
满足，，但，故C错误；
D：因为，，由不等式的性质，得，故D正确.
故选：BD
8．（2022·湖南·高一课时练习）如果，则有（用“>”或“     >     >    
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