专题18 函数的概念及其表示-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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专题18 函数的概念及其表示
【知识点梳理】
知识点一：函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.
记作：，．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
知识点诠释：
（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
3．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
；
； ；
； .

知识点二：函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
知识点三：函数定义域的求法
(1)确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合。
（2）抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
知识点四：函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
【题型归纳目录】
题型一：函数的概念
题型二：给出解析式求函数的定义域
题型三：抽象函数求定义域
题型四：给出函数定义域求参数范围
题型五：同一函数的判断
题型六：给出自变量求函数值
题型七：求函数的值域
题型八： 求函数的解析式
题型九： 分段函数求值、不等式问题
题型十： 区间的表示与定义

【典型例题】
题型一：函数的概念
1．（2022·湖南·高一课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（       ）

A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系；
对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；
对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；
对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.
故选：C
2．（2022·四川南充·高一期末）下列各图中，可表示函数的图象的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的定义判断即可.
【详解】
根据函数的定义，对于定义域内的每一个x值对应唯一的y值，可看出只有选项B符合.
故选：B.
3．（2022·全国·高一）下列图象中不能作为函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
本题考查函数的定义和函数图像的含义.
能作为函数图象,需满足：按照图像得出的对应关系，对于自变量x的取值范围内的每一个值，按照图像得出的对应关系，都有唯一的一个y值和它对应；从图像直观来看，平行与y轴的直线与图像至多有一个交点.则B不能作为函数图象.故选B
4．（2022·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（        ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的定义判断.
【详解】
若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，
故选：B.
（多选题）5．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高二期中）（多选）集合，下列表示从到的函数的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据函数的定义，当时，根据对应法则检验对应的函数值是否在集合B中，即可得到答案.
【详解】
由题意，集合，
对于A中，，当时，则，可得表示从到的函数；
对于B中，，当时，则，可得表示从到的函数；
对于C中，，当时，则，可得不能表示从到的函数；
对于D中，，当时，则，可得表示从到的函数.
故选：ABD
（多选题）6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从到的函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据函数的概念逐一判断即可.
【详解】
A，集合中在集合中没有对应元素，故A不选.
B，由函数的定义集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，故B可选；
C，集合中、在集合中没有对应元素，故C不选.
D，由函数的定义集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，故D可选；
故选：BD
（多选题）7．（2022·全国·高三专题练习）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（       ）
A．，，，，
B．，
C．，
D．，，
【答案】ABD
【解析】
根据函数的定义，结合函数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；
对于B中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；
对于C中，集合，当时，可得，所以不能构成从集合到集合的函数；
对于D中，集合中的任一元素，按，在集合有唯一的元素与之对应，所以能构成从集合到集合的函数.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了函数的基本概念及判定，其中解答中熟记函数的基本概念，结合函数的定义逐项判定是解答的关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.
8．（2022·全国·高一课时练习）函数符号表示( )
A．y等于f与x的乘积       B．一定是一个式子
C．y是x的函数       D．对于不同的x，y也不同
【答案】C
【解析】
【详解】
解：对函数的理解为：
（1）表示一个含有的式子，故错误；
（2）表示由按法则f求出的结果，故错误；
（3）表示y是x的函数，故正确；
（4）不同的输入值x，对应的y可以相同
故选：C
9．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）如图，设，，表示A到B的函数的是__________填序号．

【答案】④
【解析】
【分析】
根据函数的定义结合图象判断即可．
【详解】
根据函数的定义，在③中，存在一个x对应两个y，③不是函数；
①，②中函数的值域不是，故排除①②③；
可知④符合题意.
故答案为：④．
10．（2022·河北·武安市第一中学高一期末）有对应法则f：
（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；
（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；
（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；
（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；
（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.
其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．
【答案】（1）(4)
【解析】
【分析】
利用函数的定义判断.
【详解】
（1）由函数的定义知，正确；
（2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；
（3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；
（4）由函数的定义知，正确；
（5）因为集合A不是数集，故错误；
故答案为：（1）(4)
11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
【答案】③
【解析】
【分析】
根据函数的定义，即可判断.
【详解】
①②④满足函数的定义，所以是函数，
对于③，因为当x＝4时，，所以③不是函数．
故答案为：③
题型二：给出解析式求函数的定义域
1．（2022·新疆喀什·高一期末）函数中，自变量x的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的意义和分式的意义可得，解之即可.
【详解】
由题意知，
，解得，
即函数的定义域为.
故选：B
2．（2022·四川自贡·高一期末）函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意列不等式组求解
【详解】
由题意得，解得且，
故选：D
3．（2022·全国·高一阶段练习）函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数解析式，可知，解不等式，即可求出结果.
【详解】
要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为．
故选：C.
4．（2022·山东省临沂第一中学高一开学考试）函数的定义域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．
【详解】
由，解得且．
函数的定义域为．
故选：C．
5．（2022·广东潮州·高一期末）函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
列出使函数有意义的不等式组，求解即可得答案.
【详解】
解：由，得且，
所以函数的定义域为，
故选：B.
6．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶次方根的被开方数为非负数得到不等式，解得即可；
【详解】
解：依题意可得，即，即，解得，即函数的定义域为；
故选：A
7．（2022·广东揭阳·高一期末）函数的定义域是（       ）
A． B．
C．R D．
【答案】A
【解析】
【分析】
显然这个问题需要求交集.
【详解】
对于：，；
对于：，；
故答案为：A.
8．（2022·福建三明·高一期末）函数的定义域为（       ）
A．（－∞，2） B．（－∞，2] C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用根式、分式的性质列不等式组求定义域即可.
【详解】
由题设，，可得，
所以函数定义域为.
故选：D
9．（2022·新疆吐鲁番·高一期末）函数的定义域为___．
【答案】
【解析】
【分析】
解不等式组即得解.
【详解】
解：由题得且,
所以函数的定义域为.
故答案为：
10．（2022·湖南·高一课时练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)且且.
【解析】
【分析】
（1）解不等式组即得解；
（2）解不等式即得解.
(1)
解：由题得且.
所以函数的定义域为.
(2)
解：由题得且且.
所以函数的定义域为且且.

题型三：抽象函数求定义域
1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数的定义域为，则的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抽象函数的定义域利用替换思想求相关函数的定义域.
【详解】
∵函数的定义域为，
∴，则，
即的定义域为，
由，得，
∴的定义域是，
故选：A
2．（2022·辽宁·高一期末）已知函数的定义域为，则的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】
依题意函数的定义域为，
，
所以，
解得或，
所以的定义域为.
故选：B
3．（2022·全国·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式和即得解.
【详解】
解：由题意得：，解得，
由解得，
故函数的定义域是 .
故选：D
4．（2022·新疆昌吉·高一期末）已知f(x)的定义域是，则函数的定义域是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用给定条件结合函数的意义列不等式即可求解作答.
【详解】
因f(x)的定义域是，则在中有：，解得且，
所以函数的定义域是.
答案：B
5．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为(       )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．
【详解】
由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，
故选：B．
6．（2022·安徽阜阳·高一期中）已知，则的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得的定义域，然后将看作一个整体代入计算即可.
【详解】
由题可知：且
所以函数定义域为且
令且，所以且
所以，所以的定义域为
故选：C
7．（2022·河南安阳·高一期末（理））若函数的定义域是，则函数的定义域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题可列出，可求出.
【详解】
的定义域是，
在中，，解得，
故的定义域为.
故选：C.
8．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由计算出的取值范围，由此可计算出函数的定义域.
【详解】
对于函数，，可得，
因此，函数的定义域是.
故选：C.
9．（2022·全国·高一）已知函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（       ）
A．[0，] B．[-1，4] C．[-5，5] D．[-3，7]
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抽象函数的定义域求法，首先求出，再由，解不等式即可.
【详解】
函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则，
所以，解得，
所以函数的定义域为[0，].
故选：A
【点睛】
本题考查了抽象函数的定义域求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
10．（2022·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知的定义域为，则函数的定义域为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B．
考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域．
11．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
由函数的定义域是，得到，然后由求解.
【详解】
因为函数的定义域是，
所以，
所以，
解得，
所以函数的定义域是.
故答案为：
12．（2022·全国·高一）（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域；
（2）求出函数的定义域，对于函数可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出函数的定义域.
【详解】
（1）对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域为；
（2）因为函数的定义域为，即，则，
所以，函数的定义域为，
对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域为.

题型四：给出函数定义域求参数范围
1．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数的定义域与值域均为，则（       ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的定义域可得，，，再根据函数的值域即可得出答案.
【详解】
解：∵的解集为，
∴方程的解为或4，
则，，，
∴，
又因函数的值域为，
∴，∴.
故选：A.
2．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）若函数的定义域为R，则a的范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分、、讨论即可求解.
【详解】
若的定义域为R，则当时，满足题意；
当时，，解得：；
当时，无法满足定义域为R．
综上所述：，D正确．
故选：D
3．（2021·北京·东直门中学高一阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对参数分类讨论，结合三个二次的关系可得结果.
【详解】
函数的定义域为等价于恒成立，
当时，显然不恒成立；
当时，由，得，
综上，实数的取值范围为．
故选：C．
4．（2021·江苏·高一期中）已知函数的定义域为，则实数a的取值集合为（       ）
A．{1} B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，对比即可得出.
【详解】
由可得，即的定义域为，所以，
则实数a的取值集合为.
故选：A.
5．（2021·广东·广州市白云中学高一期中）已知的定义域是R，则实数a的取值范围是(       )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合函数特征和已知条件可得到解集为，当时，可得到与已知条件矛盾；当时，结合一元二次函数图像即可求解.
【详解】
由题意可知，的解集为，
①当时，易知，即，这与的解集为矛盾；
②当时，若要的解集为，则只需图像开口向上，且与轴无交点，即判别式小于0，
即，解得，
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：D.
6．（2022·福建·厦门一中高一期中）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题知不等式恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】
解：因为函数的定义域是.
所以不等式恒成立．
所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；
当时，则有，即，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为:
7．（2021·湖南·长沙一中高一期中）函数的定义域为，若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
转化条件为，即可得解.
【详解】
由于，所以解得或.
所以的取值范围是.
故答案为：
8．（2022·安徽·霍邱县第一中学高一开学考试）已知函数
(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)当时，解关于x的不等式．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题设可得，即可求a的取值范围；
（2）讨论的大小关系，求一元二次不等式的解集即可.
(1)
由题设，令，由的定义域为R，
∴，可得.
∴a的取值范围为.
(2)
由题意，，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
9．（2022·全国·高一）已知函数的定义域为集合.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，即可求得实数的取值范围；
（2）由题意可知，对任意的恒成立，对的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
(1)
解：由题得恒成立，所以，所以.
(2)
解：由题得在上恒成立，即，
当，即时，在上单调递增，
则时，，所以；
当，即，在上单调递减，在上单调递增，
则时，，所以；
当，即时，在上单调递减，
则时，，又，所以此时无解.
综上所述：.
10．（2021·全国·高一课前预习）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
即在上恒成立，
当时，对任意恒成立；
当时，要使恒成立，即方程无实根，
只需判别式，解得，
综上，实数的取值范围是.

题型五：同一函数的判断
1．（2022·新疆喀什·高一期末）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（       ）
A．，
B．，
C． ，
D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
【详解】
解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
2．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高一开学考试）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.
【详解】
对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
3．（2022·黑龙江·铁人中学高一开学考试）以下各组函数中，表示同一函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，观察每一选项中的函数即可得到结论．
【详解】
对于A，，对应法则不同，故不是同一函数；
对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数；
对于C，的定义域为，的定义域为，故是同一函数；
对于D，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数.
故选：C．
4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）下列函数中与是同一个函数的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.
【详解】
对于A，的定义域为，与的定义域为不同，故A不正确；
对于B，与是同一函数，故B正确；
对于C，与的对应关系不同，故C不正确；
对于D，与的定义域不同，故D不正确.
故选：B
5．（2022·四川·遂宁中学高一阶段练习）下列各组函数中的两个函数是相等函数的是（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【解析】
【分析】
逐项求各个函数的定义域可得答案.
【详解】
的定义域为，的定义域为，故A错误；
因为，，故B正确；
因为的定义域为，的定义域为，故C错误；
的定义域为，的定义域为或，故 D错误；
故选：B.
6．（2022·四川达州·高一期末）下列函数中，与函数相等的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
两个函数相同，需要满足定义域相同和对应法则相同.
【详解】
对于函数 的定义域为R
对于A：
定义域为R， ，故A正确；
对于B：
定义域为R， ，故B错误；
对于C：
定义域为 ，故C错误；
对于D：
定义域为 ，故D错误
故选：A
（多选题）7．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.
【详解】
对于A，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A正确；
对于B，，，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；
对于C，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；
对于D，与的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确.
故选：ACD
（多选题）8．（2022·湖南永州·高一期末）下列各组函数中，表示同一函数的是（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】CD
【解析】
【分析】
分别判断各个选项中的两个函数的对应法则和定义域是否相同，从而得出答案.
【详解】
选项A. 函数与的法则不同，故不是同一函数.
选项B. 的定义域为x∈R|x≠3，的定义域为，
他们的定义域不同，故不是同一函数.
选项C. 函数与的对应法则和定义域均相同
所以他们表示同一函数.
选项D. 函数与的对应法则和定义域均相同，所以他们表示同一函数.
故选：CD
9．（2022·全国·高一课时练习）给出下列三组函数，其中表示同一函数的是___________（填序号）．
①；
②；
③．
【答案】③
【解析】
【详解】
对于①，与的定义域不同；
对于②，的对应关系不同；
对于③，其定义域相同，解析式化简后也相同，值域也相同，故是同一函数.
故答案为：③

题型六：给出自变量求函数值
1．（2022·重庆·高一期末）已知，则（       ）
A． B． C．5 D．-5
【答案】C
【解析】
【分析】
令，代入直接计算即可.
【详解】
令，即，
则，
故选：C.
（多选题）2．（2022·广西·凭祥市高级中学高一阶段练习）定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
对于A，令，代入中化简可求出，对于B，令，代入中化简可求出，对于C，令，可求出，再令，可求出，从而可求出，对于D，令，代入计算可得答案
【详解】
对于A，令，则，因为，所以，所以，所以A正确，
对于B，令，则，所以，所以，所以，所以B错误，
对于C，令，则，令，则，所以，所以C错误，
对于D，令，则，所以D正确，
故选：AD
3．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）已知函数，且，则______．
【答案】11
【解析】
【分析】
由，可得，从而可求出的值
【详解】
因为，且，
所以，得，
所以，
故答案为：11
4．（2022·广东潮州·高一期末）已知，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】
由已知函数解析式即可求解.
【详解】
解：因为，
所以，
故答案为：6.
5．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）已知，若，则_______．
【答案】2021
【解析】
【分析】
计算得出，结合已知条件即可得答案.
【详解】
解：由已知可得，
故.
故答案为：.
6．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求的值；
(3)当时，求，的值．
【答案】(1)且
(2)
(3)，
【解析】
【分析】
（1）由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解；
（2）直接取代入得答案；
（3）分别取及代入求解．
(1)
由题意，解得且,
函数的定义域为且.
(2)
.
(3)
，．
7．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）已知函数.
(1)求的定义域和的值；
(2)当时，求，的值.
【答案】(1)定义域为，；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）由根式、分式的性质求函数定义域，将自变量代入求即可.
（2）根据a的范围，结合（1）的定义域判断所求函数值是否有意义，再将自变量代入求值即可.
(1)
由，则定义域为，
且.
(2)
由，结合（1）知：，有意义.
所以，.
8．（2022·湖南·高一课时练习）已知定义域为N的函数．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2)
【解析】
【分析】
（1）代入求值；（2）分别代入再作差.
(1)
，；
(2)
.
9．（2022·湖南·高一课时练习）如图，函数的图象是折线段，其中点，，的坐标分别为，，，求的值．

【答案】2
【解析】
【分析】
直接利用函数的图象从里往外计算.
【详解】
解：由题得.
10．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
化简函数，逐项运算，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
所以，
所以.
11．（2022·湖南·高一课时练习）已知定义域为R的函数和，求，，，的值．
【答案】，，，．
【解析】
【分析】
根据函数式先计算，再代入函数式计算即可得．
【详解】
由已知，，同理，，
所以，，，．

题型七：求函数的值域
1．（2022·重庆·西南大学附中高一期中）函数f(x)=1-的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用反比例型函数值域求法求解.
【详解】
解：函数f(x)=1-的定义域为，
所以，则，
所以函数f(x)=1-的值域为，
故选：A
2．（2022·四川自贡·高一期中）函数的值域是（        ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将函数分离常数后可直接求解.
【详解】
，从而可知函数的值域为.
故选：C
3．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为                                                                           （       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题通过换元法求值域，先令，将函数转化成二次函数进行求解.
【详解】
函数的定义域是，令，则， ，所以，
因为，所以，所以原函数的值域为．
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则（       ）
A．4 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
直接用判别式法求函数的最大值和最小值．
【详解】
设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．
故选：B．
（多选题）5．（2022·广东·金山中学高一期中）下列函数， 值域为的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
逐一求出每个函数的值域即可.
【详解】
当时，，故A满足；
当时，，故B不满足；
，故C满足；
，故D不满足；
故选：AC
6．（2022·全国·高一）函数的值域是________________．
【答案】．
【解析】
【分析】
先求出，再利用不等式的性质逐步求出函数的值域得解.
【详解】
，且，
，
，
，
，
故函数的值域是．
故答案为：
7．（2022·安徽·合肥市第六中学高一阶段练习）已知，且，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，根据得到，再解不等式即可.
【详解】
因为，所以.
又因为，
所以，解得.
故答案为：.
8．（2022·全国·高一课前预习）求值域(用区间表示)：
(1)，①；②；
(2)；
(3).
【答案】(1)①[7，28]；②[3，12]
(2)
(3)(∞，1)∪(1，+∞)
【解析】
【分析】
（1）①②,配方后利用二次函数的性质求解即可，
（2）利用换元法求解，
（3）利用分离常数法求解
(1)
，
①当时，，
∴值域为[7，28]；
②当时，，
∴值域为[3，12]．
(2)
令，则，
因为，所以，即，
所以函数的值域为；
(3)
，
因为，所以
所以函数的值域为(∞，1)∪(1，+∞).
9．（2022·湖北十堰·高一期中）求下列函数的值域：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）二次函数配方求值域；（2）分离常数求值域.
(1)
因为，
所以函数的值域为．
(2)
，
因为，所以，
所以函数的值域为．
10．（2022·全国·高一课前预习）求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝；
(4)y＝x＋．
【答案】(1)R；
(2)[2,11)；
(3){y|y≠3}；
(4)[0,＋∞).
【解析】
【分析】
(1)根据一次函数的图像性质即可求其值域；
(2)作二次函数在[1，5)之间的图像，数形结合即可求其值域；
(3)函数解析式分离常数法即可求其值域；
(4)利用换元法，结合二次函数的性质即可求其值域.
(1)
因为x∈R，所以2x＋1∈R，即函数的值域为R．
(2)
y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示：


所以所求函数的值域为[2，11)．
(3)
借助反比例函数的特征求．
，
显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y|y≠3}．
(4)
设(x≥0)，则x＝u2(u≥0)，，
由u≥0，可知≥，所以y≥0．
所以函数y＝x＋的值域为[0,＋∞)．
11．（2020·上海·高一专题练习）已知函数的值域为[1，3]，求的值
【答案】
【解析】
【分析】
根据判别式法求解函数值域即可求解
【详解】
由题意定义域为，则在上有解，当符合题意，当，即 的解集为[1，3]，故1和3为关于y的二次方程的两个根所以
解得

题型八： 求函数的解析式
1．（2022·江苏·高一）已知，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，求出，再由求出.
【详解】
设，因为
所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
2．（2022·江苏·高一）设，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出解析式，即得到的解析式，再利用换元法求出的解析式即可.
【详解】
因为，所以
又因为，所以，
令，则，
，
所以.
故选：B.
3．（2022·江苏·高一）设函数，则的表达式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，可得出且，化简可得出，即可得出函数的解析式.
【详解】
令，则且，所以，，因此，.
故选：B.
4．（2022·江苏·高一）若函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过换元，令，则，代入原式即可得解.
【详解】
令，则，，函数的解析式为.
故答案为：.
5．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一期末）若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求函数，再求的值.
【详解】
设，则
所以，即，，
.
故答案为：
6．（2022·全国·高一单元测试）若函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法，令，再用表示代入原函数即可得.
【详解】
令，则，
∴，故，
∴.
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的解析式为___________.
【答案】
【解析】
用换元法，设，解出代入即得．
【详解】
设，则，，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查求函数的解析式，解题方法是换元法．
8．（2022·江苏·高一）（1）已知是一次函数，且，求；
（2）已知是二次函数，且满足，求.
【答案】（1）或 ；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，代入，整理，得恒等式，求出即可；
（2）设，代入条件，求出即可
【详解】
（1）设，
则
因为，所以
所以解得或
所以或
（2）设
由，得
由
得
整理，得
所以 所以
所以
9．（2022·全国·高一）（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式．
（2）若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，求g（x）的解析式．
【答案】（1）f（x）＝－2x－9；（2）g（x）＝3x2－2x.
【解析】
【分析】
（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），代入条件式子中化简可求解参数，即可得函数的解析式；
（2）设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），依题意列方程求解即可．
【详解】
（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），
则f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，
即－kx＋3k－b＝2x＋3不论x为何值都成立，
∴解得∴f（x）＝－2x－9.
（2） 设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，
∴解得
∴g（x）＝3x2－2x.
10．（2022·全国·高一）根据下列条件，求函数的解析式；
（1）已知是一次函数，且满足；
（2）已知；
（3）已知等式对一切实数､都成立，且；
（4）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）.
【解析】
【分析】
（1）设函数，结合等式，利用一次项系数和常数项分别相等列出方程组解出的值，即可得出函数的解析式；
（2）用配凑法根据,然后换元可得出函数的解析式，利用双勾函数求出的取值范围，即为函数的定义域；
（3）由已知令，则有且，化简即可求得结果；
（4）将代入等式得出，与原式列方程組解出函数的解析式.
【详解】
（1）设，则

所以解得：所以；
（2）
，
令，由双勾函数的性质可得或，
，
或
（3）因为对一切实数､都成立，且
令则，又因为
所以，即
（4）将代入等式得出，
联立，变形得：，
解得
【点睛】
方法点睛：本题主要考查求函数解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法.
11．（2022·安徽宣城·高一期中）根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用换元法即可求解；
（2）设，然后结合待定系数法即可得解；
（3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案.
(1)
解：令，则，
故，
所以；
(2)
解：设，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
所以；
(3)
解：因为①，
所以②，
②①得，
所以.
12．（2022·全国·高一课时练习）若对任意实数，均有，求.
【答案】.
【解析】
【分析】
利用方程组方法即可求解.
【详解】
利用方程组法求解即可；
∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为： .
题型九： 分段函数求值、不等式问题
1．（2022·江苏·高一）已知函数，若，则实数a＝（       ）
A． B． C．2 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的解析式可得，求解可得答案．
【详解】
函数，
，则，
即，解可得：.
故选：C
2．（2022·江苏·高一）设函数，则的值为（       ）
A． B． C． D．18
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分段函数的不同定义域对应的函数解析式，进行代入计算即可.
【详解】
，
故选：B
3．（2022·安徽阜阳·高一期中）函数则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式即可求解.
【详解】
.
故选：D.
4．（2022·辽宁·东港市第二中学高一开学考试）已知函数，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数，分，，由求解.
【详解】
因为函数，且，
当时，，即，
解得或，
当时，，无解，
综上：，
所以，
故选：A
5．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高一开学考试）已知函数，则是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由分段函数解析式中自变量的范围，先求，再求即可.
【详解】
由题设，，
∴.
故选：C.
6．（2022·江苏·高一）函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是(       )
A． B．± C．0或1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数值为2，分类讨论即可.
【详解】
若f(x)＝2，
①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；
②－1＜x＜2时，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；
③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).
综上，x＝.
故选：A.
7．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数，若，则x的值是（       ）
A．3 B．9 C．或1 D．或3
【答案】A
【解析】
【分析】
分段解方程即可.
【详解】
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得或（舍去）.
故选：A
8．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数若，则（       ）
A．或1 B． C．1 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，分段求解即可.
【详解】
根据题意得x≤1x2-1=8或，
解得
故选：B
9．（2022·广东·高一期末）已知，若，则（       ）
A．或 B．3或5 C．或5 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解.
【详解】
解：由题意，当时，，解得或（舍去）；
当，，解得（舍去）；
综上，.
故选：D.
10．（2022·江西抚州·高一期末）设函数，若，则______.
【答案】或2##2或-1
【解析】
【分析】
由分段函数列方程直接求解.
【详解】
因为函数，由，
所以或
解得：或2.
故答案为：或2
11．（2022·浙江台州·高一期末）设函数，若，则实数a的值为___________.
【答案】5
【解析】
【分析】
先求，再求，列出方程，求出a的值.
【详解】
，，解得：.
故答案为：5
12．（2022·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知函数求：
(1)求与的值；
(2)若，当时，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据的范围代入相应的解析式即可；
（2）根据代入相应的解析式可得答案.
(1)
因为，所以
，.
(2)
若，则，得或.
13．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数
(1)求的值；
(2)对函数，若存在点，使得，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数的解析式，分别求得，即可得解；
（2）根据分段函数的解析式，分三种情况讨论，即可得解.
(1)
解：由，
得，
所以
(2)
解：由，
当时，则，解得（舍去），
当时，则，解得，
当时，则恒成立，
综上所述，实数的值为或.

题型十： 区间的表示与定义
1．（2022·江苏·高一）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（       ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出结论.
【详解】
区间形式可以表示连续数集，是无限集
①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，
④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．
⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，
故只有⑤可以，区间形式为，
故答案为：D.
2．（2019·辽宁·抚顺市雷锋高级中学高一期中）已知区间，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用区间交集的定义求解即可.
【详解】
因为，，由交集的定义，所以，
故选：C.
3．（2022·全国·高一）集合A={x|x≤5且x≠1}用区间表示____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用区间的定义即可求解.
【详解】
因为集合A={x|x≤5且x≠1}，表示从负无穷到5（包括5）去掉1，所以用区间表示为.
【点睛】
本题考查集合与区间的转化，考查区间的定义以及断点的区间表示，属于基础题.
4．（2020·全国·高一课时练习）已知区间，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据区间的概念，得到不等式，即可求解．
【详解】
由题意，区间，则满足，解得，
即的取值范围为．
故答案为．
【点睛】
本题考查了区间的概念及其应用，其中解答中熟记区间的概念，列出不等式是解答的关键，属于容易题．
5．（2022·全国·高一课时练习）下列区间与集合相对应的是( )
A．       B．
C．       D．
【答案】C
【解析】
【详解】
集合中的可以表示为区间，
集合中的可以表示为区间，
或是并集关系，
所以集合表示为
故选：C
6．（2022·全国·高一课时练习）区间等于( )
A．       B．       C．       D．
【答案】C
【解析】
【详解】
区间表示由的实数组成的集合
故答案为：C
7．（2022·湖南·高一课时练习）在什么条件下，有？
【答案】
【解析】
【分析】
根据并集的概念与运算法则及区间的定义求解.
【详解】
根据并集的概念，只有当时，满足.
8．（2022·湖南·高一课时练习）用描述法写出下面这些区间的含义：
；；；．
【答案】；；；.
【解析】
【分析】
将区间转化为集合，用描述法写出答案.
【详解】
用描述法表示为：；用描述法表示为：；用描述法表示为：；用描述法表示为：.
9．（2022·湖南·高一课时练习）用区间表示下列集合：
(1)；
(2)且.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
先求解集合中的不等式，再利用区间表示即可
(1)
由题意，
(2)
由题意，且且