第三章 函数的概念与性质综合测试-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义(人教A版2019)
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.(2022·全国·高一期末)下列各组中的两个函数是同一函数的个数为( )
①,;
②,;
③,;
④,;
⑤,.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出①②③④⑤中两个函数的定义域,并化简函数解析式,利用函数相等的概念判断可得出结论.
【详解】
对于①,函数的定义域为,函数的定义域为,
两个函数的定义域不同,①中的两个函数不是同一个函数;
对于②,对于函数,有,解得,
对于函数,有,解得或,
函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,②中的两个函数不是同一个函数;
对于③,,两个函数对应法则不同,③中的两个函数不是同一函数;
对于④,函数、的定义域均为,
且,④中的两个函数是同一个函数;
对于⑤,对于函数,有,可得,即函数的定义域为,
函数的定义域为,两个函数的定义域不同,⑤中的两个函数不是同一个函数.
故选:A.
2.(2022·陕西·铜川阳光中学高一期末)函数 的图像大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性和对称性,当时,,利用排除法进行判断即可.
【详解】
解:,即是奇函数,图象关于原点对称,排除,,
当时,,排除,
故选:.
3.(2022·全国·高一期末)已知是定义在上的减函数,那么的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分段函数在定义域内单调递减,不仅要求每一段解析式为减函数,还要注意端点处的函数值的大小关系.
【详解】
因为函数是定义在上的减函数,
所以,
解得.
所以实数的取值范围为.
故选:C.
4.(2022·全国·高一)定义在R上的偶函数在上单调递增,且,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
【详解】
义在R上的偶函数在上单调递增,且,
所以在上单调递减,且,
或,
故或,
故选:C
5.(2022·全国·高一)设函数,则( )
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为,利用定义可得出函数为奇函数,
再根据函数的单调性法则,即可解出.
【详解】
因为函数定义域为,其关于原点对称,而,
所以函数为奇函数.
又因为函数在上单调递增,在上单调递增,
而在上单调递减,在上单调递减,
所以函数在上单调递增,在上单调递增.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质,属于基础题.
6.(2022·山东泰安·高一期末)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析:设这两年年平均增长率为,因此解得.
考点:函数模型的应用.
7.(2022·新疆昌吉·高一期末)定义在上的偶函数满足:对任意的,,有,则( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
由对任意x1,x2 [0,+∞)(x1≠x2),有 <0,得f(x)在[0,+∞)上单独递减,所以,选A.
点睛:利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小,首先根据函数的性质构造某个函数,然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值,最后根据单调性比较大小,要注意转化在定义域内进行
8.(2022·四川·遂宁中学高一开学考试)设函数y=f(x)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数fp(x)=,则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”若给定函数f(x)=x2﹣2x﹣1,p=2,则下列结论不成立的是( )
A.fp[f(0)]=f[fp(0)] B.fp[f(1)]=f[fp(1)]
C.fp[fp(2)]=f[f(2)] D.fp[fp(3)]=f[f(3)]
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得,然后逐个分析判断即可
【详解】
因为,
所以,
所以对于A,,所以A正确,
对于B,,所以B错误,
对于C,,所以C正确,
对于D,,所以D正确,
故选:B
二、多选题
9.(2022·甘肃酒泉·高一期末)下列函数中,是偶函数,且在区间上为增函数的是( )
A. B.y=1-x2 C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案.
【详解】
根据题意,依次分析选项:
对于A,y=|x|,是偶函数,且在区间(0,+∞)上为增函数,符合题意;
对于B,y=1﹣x2,是二次函数,在区间(0,1)上为减函数,不符合题意;
对于C,y,是反比例函数,是奇函数,不符合题意;
对于D,y=2x2+4,为二次函数,是偶函数且在区间(0,+∞)上为增函数,符合题意;
故选:AD.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题.
10.(2022·江西省丰城中学高一开学考试)已知函数图像经过点(4,2),则下列命题正确的有( )
A.函数为增函数 B.函数为偶函数
C.若,则 D.若,则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先代点求出幂函数的解析式,根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性,由可判断C,利用展开和0比即可判断D.
【详解】
将点(4,2)代入函数得:,则.
所以,
显然在定义域上为增函数,所以A正确.
的定义域为,所以不具有奇偶性,所以B不正确.
当时,,即,所以C正确.
当若时,
=
=.
即成立,所以D正确.
故选:ACD.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的性质,
11.(2021·全国·高一课时练习)若函数的定义域为,值域为,则正整数a的值可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】BC
【解析】
【分析】
画出函数的图象,结合值域可得实数的取值范围,从而可得正确的选项.
【详解】
函数的图象如图所示:
因为函数在上的值域为,结合图象可得,
结合a是正整数,所以BC正确.
故选: BC.
12.(2022·云南·高一阶段练习)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其命名的函数,称为狄利克雷函数,则关于,下列说法正确的是( )
A.的值域为
B.的定义域为
C.
D.任意一个非零有理数, 对任意恒成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.
【详解】
因为函数,所以的值城为,故A不正确;
因为函数,所以的定义城为,故B正确;
因为,所以,故C正确;
对于任意一个非零有理数,若x是有理数,则x+T是有理数;若x是无理数,则x+T是无理数,根据函数的解析式,任取一个不为零的有理数T,都有对任意恒成立,故D正确,
故选:BCD.
三、填空题
13.(2022·广东中山·高一期末)已知幂函数在上单调递减,则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由系数为1解出的值,再由单调性确定结论.
【详解】
由题意,解得或,
若,则函数为,在上递增,不合题意.
若,则函数为,满足题意.
故答案为:.
14.(2022·江苏·高一)函数的定义域是_____.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意得到关于x的不等式,解不等式可得函数的定义域.
【详解】
由已知得,
即
解得,
故函数的定义域为.
【点睛】
求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.
15.(2021·江苏·高一专题练习)已知函数,则的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】
在同一坐标系作出的图象,然后根据的函数定义得到其函数图象,由图象可求解出的最小值.
【详解】
在同一坐标系作出的图象如下图:
根据取最大值函数的定义可知的图象如下图所示:
根据的图象可知,的最小值在的一个交点处取到,
令,解得或(舍),
所以,
故答案为:.
【点睛】
思路点睛:求解形如(或)的函数的最小值(或最大值)的步骤:
(1)根据,先求解出两个图象交点的横坐标;
(2)根据图象的相对位置对图象进行取舍,由此得到(或)的函数图象;
(3)直接根据函数图象确定出最大值(或最小值).
16.(2022·重庆巫山·高一期末)符号表示不超过的最大整数,如,,定义函数:,在下列命题正确的是________.
①;
②当时,;
③函数的定义域为,值域为;
④函数是增函数,奇函数.
【答案】①②③
【解析】
【分析】
由题意可得表示数的小数部分,可得,当时,,即可判断正确结论.
【详解】
表示数的小数部分,则①正确,
当时,,②正确,
函数的定义域为,值域为,③正确,
当时,;当时,,
当时,;当时,,
则,即有不为增函数,
由,,可得,即有不为奇函数,④错误.
故答案为:①②③
【点睛】
本题考查函数新定义的理解和运用,考查函数的单调性和奇偶性的判断,以及函数值的求法,考查运算能力和推理能力,属于中档题.
四、解答题
17.(2021·全国·高一专题练习)已知函数.
(1)求;
(2)若,求的值.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
【分析】
(1)利用函数的解析式由内到外逐层计算可得出的值;
(2)分、、三种情况解方程,综合可得出实数的值.
【详解】
(1),所以,,,
因此,;
(2)当时,由,可得,舍去;
当时,由,可得;
当时,由,可得(舍)或.
综上所述,或.
18.(2022·湖北·江夏一中高一阶段练习)美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的,两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产芯片的毛收入与投入的资金成正比,已知每投入千万元,公司获得毛收入千万元;生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为,其图像如图所示.
(1)试分别求出生产,两种芯片的毛收入(千万元)与投入资金(千万元)的函数关系式;
(2)现在公司准备投入0千万元资金同时生产,两种芯片,求可以获得的最大利润是多少.
【答案】(1)生产,两种芯片的毛收入(千万元)与投入资金(千万元)的函数关系式分别为, ,(2)9千万元
【解析】
【分析】
(1)根据待定系数法可求出函数解析式,
(2)将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解
【详解】
解:(1)因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比,所以设,因为当时,,所以,所以,即生产芯片的毛收入(千万元)与投入资金(千万元)的函数关系式为,
对于生产芯片的,因为函数图像过点,所以
,解得,所以,即生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为 ,
(2)设投入千万元生产芯片,则投入千万元生产芯片,则公司所获利用
,
所以当,即千万元时,公司所获利润最大,最大利润为9千万元
19.(2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末)已知函数,.
(1)求方程的解集;
(2)定义:.已知定义在上的函数,求函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,在平面直角坐标系中,画出函数的简图,并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)图象见解析,单调递减区间是,单调递增区间是,最小值为1
【解析】
【分析】
(1)根据题意可得,平方即可求解.
(2)由题意比较与的大小,从而可得出答案.
(3)由(2)得到的函数关系,作出函数图像,根据图像可得函数的单调区间和最小值.
(1)
由,得且,解得,;
所以方程的解集为
(2)
由已知得.
(3)
函数的图象如图实线所示:
函数的单调递减区间是,单调递增区间是,其最小值为1.
20.(2022·江苏·高一)函数是定义在上的奇函数,且.
(1)确定的解析式;
(2)判断在上的单调性,并用定义证明;
(3)解关于的不等式.
【答案】(1);
(2)增函数,证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
(1)由已知得,,经检验,求得函数的解析式;
(2)根据函数单调性的定义可证明;
(3)根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组,求解即可.
(1)
解:由函数是定义在上的奇函数,得,解得,
经检验,时,,所以是上的奇函数,满足题意,
又,解得,
故;
(2)
解:函数在上为增函数.证明如下:
在任取且,
则,
因为,
所以,即,
所以在上为增函数.
(3)
解:因为为奇函数所以,
不等式可化为,即,
又在上是增函数,所以 ,解得
所以关于的不等式解集为.
21.(2022·河南省兰考县第一高级中学高一期末)函数的定义域为,且对一切,都有,当时,总有.
(1)求的值;
(2)判断单调性并证明;
(3)若,解不等式.
【答案】(1)(2)是上的增函数,证明见解析(3)
【解析】
【分析】
(1)令代入即可.
(2)证明单调性的一般思路是取,且再计算,故考虑取
,代入,再利用当时,总有即可算得的正负,即可证明单调性.
(3)利用将3写成的形式,再利用前两问的结论进行不等式的求解即可.
【详解】
(1)令,得,∴.
(2)是上的增函数,证明:任取,且,则,∴,∴,
即,
∴是上的增函数.
(3)由及,可得,结合(2)知不等式等价于,可得,解得.所以原不等式的解集为.
【点睛】
(1)单调性的证明方法:设定义域内的两个自变量,再计算,若,则为增函数;若,则为减函数.计算化简到最后需要判断每项的正负,从而判断的正负.
(2)利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成的形式,
若在区间上是增函数,则,并注意定义域.
若在区间上是减函数,则,并注意定义域.
22.(2022·甘肃庆阳·高一期末)函数().
(1)当时,
①求函数的单调区间;
②求函数在区间的值域;
(2)当时,记函数的最大值为,求的表达式.
【答案】(1)①的单调递增区间为,;单调递减区间为;②
(2)
【解析】
【分析】
(1)①分别在和两种情况下,结合二次函数的单调性可确定结果;
②根据①中单调性可确定最值点,由最值可确定值域;
(2)分别在、、三种情况下,结合二次函数对称轴位置与端点值的大小关系可确定最大值,由此得到.
(1)
当时,;
①当时,,
在上单调递增;
当时,,
在上单调递减,在上单调递增;
综上所述:的单调递增区间为,;单调递减区间为
②由①知:在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
,;
,,,,
,,
在上的值域为.
(2)
由题意得:
①当,即时,,对称轴为;
当,即时,在上单调递增,
;
当,即时,在上单调递增,在上单调递减,
;
②当,即时,若,;若,;
当时,,对称轴,
在上单调递增,
;
③当,即时
在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
,
若,即时,;
若,即时,;
综上所述:.
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