专题02 分解因式-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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专题02 分解因式
【知识点梳理】
知识点1：十字相乘法
要点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则.
要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，
则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号；
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
要点二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即
，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号
里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
知识点2：提取公因式法与分组分解法
1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：
3.提公因式的步骤：
（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）
4.注意事项：因式分解一定要彻底
知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解
若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.
【题型归纳目录】
知识点1：十字相乘法
例1．分解因式：______．
【答案】##
【解析】
【分析】
先提取公因式，再用十字相乘法分解因式即可；
【详解】
解：原式=，
故答案为：；
【点睛】
本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如x2+px+q的二次三项式，若能找到两数a、b，使a•b=q且a+b=p，那么x2+px+q= x2+（a+b）x+a•b=（x+a）（x+b）．
例2．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
（1）探究发现；
小明计算下面几个题目
①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：
．
（2）面积说明：
上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律．


（3）逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：．
（4）拓展提升
现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为并利用你所拼的图形面积对进行因式分解．

【答案】（1）；（2）（3）；（4），画图见解析
【解析】
【分析】
（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算，总结即可；
（2）利用面积的两种计算方法可证明公式；
（3）分别确定公式当中的，再利用公式计算即可；
（4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，再画出拼图，从而可得答案．
【详解】
解：（1），
故答案为：；
（2）长方形的面积为：
长方形的面积等于四个小长方形的面积之和为：，
所以．
（3）按照小明发现的规律：


（4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，所以拼图如下：


∴．
【点睛】
本题考查的是多项式乘以多项式，因式分解，利用图形面积证明多项式乘以多项式的运算法则以及因式分解，熟练构建长方形证明多项式的乘法与因式分解是解本题的关键．
例3．阅读下面材料，并回答相应的问题：
通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法．
(1)请运用多项式乘以多项式的法则填空：
__________，____________，
__________，__________．
从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：
________________．

(2)因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法：_________________（用字母等式表示）．
利用这种方法，请将下列各式因式分解：
__________，___________，
__________，___________．
【答案】(1)；
(2)，
【解析】
【分析】
（1）运用多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得到结果；
（2）运用（1）中的规律进行相反方向变形可得结果．
(1)




∴
故答案为：，
(2)





=
=；

=
=
=
故答案为：，，，，
【点睛】
此题考查了因式分解的方法-分组分解法和十字相乘法、公式法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
例4．阅读理解：
阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值．
解：设另一个因式是，
根据题意，得，
展开，得，
所以，解得，
所以，另一个因式是，a的值是-6．
请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
【答案】另一个因式是，m的值是-8．
【解析】
【分析】
根据题意得到，再展开得到，据此列方程组，解此方程组即可解答．
【详解】
解：设另一个因式是，
根据题意，得，
展开，得，
所以，
解得，
所以，另一个因式是，m的值是-8．
【点睛】
本题考查多项式的因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
例5．阅读下列材料：
材料1：将一个形如的二次三项式分解因式时，如果能满足，且，则可以把分解因式成．例如：①；②．
材料2：因式分解：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式．
再将“m”还原，得原式．
上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题．
(1)根据材料1，分解因式：．
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：；
②分解因式：．
【答案】(1)
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）将x2-7x+12写成x2+（-3-4）x+（-3）×（-4），根据材料1的方法可得（x-3）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2+4A+3，再利用十字相乘法分解因式即可；
②令B=x（x+2）=x2+2x，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
(1)
解：原式；
(2)
解：①令A=x-y，
则原式=A2+4A+3=（A+1）（A+3），
所以（x-y）2+4（x-y）+3=（x-y+1）（x-y+3）；
②令B=x（x+2）=x2+2x，
则原式=B（B-2）-3
=B2-2B-3，
=（B+1）（B-3），
∴原式=（x2+2x+1）（x2+2x-3）
=（x+1）2（x-1）（x+3）．
【点睛】
本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
知识点2：提取公因式法与分组分解法
例6．按要求完成下列各题：
(1)分解因式：；
(2)计算：．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）先提取公因式b，再将剩余的项利用完全平方公式分解因式即可；
（2）按照整式的运算法则计算即可．
(1)
解：由题意可知：


．
(2)
解：由题意可知：




．
【点睛】
本题考查利用提公因式和完全平方公式分解因式，积的乘方，同底数幂的除法，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法和整式的运算法则．
例7．已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先因式分解，再整体代入求值即可．
【详解】
∵，，
∴，，
∴
【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，先因式分解后整体代入是解题的关键．
例8．因式分解：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）提公因式分解因式即可；
（2）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式分解因式即可．
(1)
解：18xn+1−24xn
=6xn·3x−6xn·4
= 6xn(3x−4)；
(2)
x4-18x2y2+81y4
=(x2−9y2)2
=(x+3y)2(x−3y)2．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法、十字相乘法，并根据多项式的特征灵活选取不同的方法，还要注意一定要分解彻底．
例9．已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用提公因式法把进行因式分解，再代入计算即可．
【详解】
解：∵，
又，，
∴，，
∴
【点睛】
本题考查的是二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，掌握二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，注意灵活应用．
例10．（1）因式分解：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】
（1）直接提公因式即可；
（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．
【详解】
（1）原式=
=x+1；
（2）原式=

，
当时，
原式=
．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值及因式分解的方法，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解的方法．
例11．（1）计算：；          
（2）因式分解：．
【答案】（1）6a＋13；（2）2x（3x－2y）
【解析】
【分析】
（1）分别运用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可完成；
（2）用提公因式法即可分解因式．
【详解】
（1）原式＝4－a2＋a2＋6a＋9
＝6a＋13；
（2）原式＝2x（3x－2y）．
【点睛】
本题考查了运用乘法公式进行整式的乘法及因式分解，熟练掌握两个乘法公式：平方差公式及完全平方公式、提公因式法是解题的关键．
例12．解方程组：．
【答案】，，，
【解析】
【分析】
通过因式分解化简原方程组可以得到四个方程组，分别解四个方程组即可．
【详解】
解：∵，
∴原方程组可以化为：，，，
解这些方程组可得：，，，
∴原方程组的解为：，，，
【点睛】
本题考查了解方程组，解题的关键是通过因式分解的方法对方程组进行降次，通过降次转化为我们所学习过的二元一次方程组进行求解．
知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解
例13．观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的

(1)请根据此图填空：
（___________）（___________）.
说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
___________=（___________）（___________）
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解.
尝试运用：
例题：把分解因式.
解：.
(2)请利用上述方法将下面多项式因式分解：；
【答案】(1)，；，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三个小长方形的面积与一个正方形的面积之和等于大长方形的面积列出等式即可；也可先根据分组分解法进行因式分解，两者得出的结果一致．
（2）根据题干的结论：=，将一个二次三项式分解因式，从而求出结果．
(1)
解：

= ；

=
=
=
=；
故答案为：x+p，x+q；（x+p）x+（x+p）q，x+p，x+q
(2)
解：


．
【点睛】
本题考查了利用几何图形的面积方法和分组分解法进行二次三项式的因式分解，掌握利用几何图形的面积的不同求法进行因式分解是解题的关键．
例14．分解因式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用提取公因式法，即可分解因式；
(2)首先进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式，即可分解因式．
(1)
解：
(2)
解：



【点睛】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差和完全平方公式是解题关键．
例15．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式：．
原式=
例如．求代数式的最小值．
原式=，可知当时，有最小值，最小值是．
(1)分解因式：________；
(2)试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数；
(3)当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)当时，多项式有最小值
【解析】
【分析】
（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，运用平方差公式进行分解因式；
（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，利用非负数的性质进行解答；
（3）用配方法将多项式转化，然后利用非负数的性质进一步得最小值．
(1)
解：


；
故答案为：
(2)
解：

，
∵，
∴，
∴原式的值总为正数；
(3)
解：


当，即时，
原式取最小值-3．
∴当时，多项式有最小值．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题的关键是要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
例16．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴   m＝n＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)a2﹣2a+1+b2＝0，则a＝______，b＝______；
(2)已知x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，求△ABC的周长．
【答案】(1)1，0
(2)xy＝
(3)△ABC的周长为11
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解将已知等式进行变形，得到：，结合非负数的性质求得、的值；
（2）将变形为，再根据非负数的性质求出，，代入，计算即可；
（3）利用因式分解把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．
(1)
解：，

，，
，，
，，
故答案为：1，0；
(2)
解：，
，
，，
，，
；
(3)
解：∵2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣10b+25＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣5）2＝0，
则a﹣1＝0，b﹣5＝0，
解得，a＝1，b＝5，       
∵5-1＜c＜5+1，即4＜c＜6，且c是正整数
∴c=5
即三角形三边分别为1、5、5，
∴△ABC的周长为1+5+5＝11．
【点睛】
本题考查的是因式分解的应用和三角形三边关系，非负性、灵活运用完全平方公式、解题的关键是因式分解为两个非负数的和．



【过关测试】
一、单选题
1．把多项式因式分解，正确的结果是（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先提取公因式x，然后利用平方差公式即可分解．
【详解】
解：-x+x3=-x（1-x2）
=-x（1+x）（1-x）
=x（x+1）（x-1）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
2．下列命题中，假命题的个数是（       ）
①；②分解因式：；③的算术平方根是3；④如果方程有两个不相等的实数根，则实数；⑤在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的中位数是5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
①，②分解因式： ，③的算术平方根是， ，④如果方程有两个不相等的实数根， 那么Δ=4-4a>0，a<1，且a≠0，⑤把7，5，3，5，10，从小到大排列：3，5，5，7，10，中位数为5．
【详解】
①，
∵，
故此命题是假命题；
②分解因式：，
∵，
故此命题是假命题；
③的算术平方根是3，
∵ ，
故此命题是假命题；
④如果方程有两个不相等的实数根，则实数，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=4-4a>0，a<1，且a≠0，
故此命题是假命题；
⑤在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的中位数是5，
∵五个数从小到大排列为：3，5，5，7，10，
∴中位数为：5．
故此命题是真命题．
故假命题有4个．
故选D．
【点睛】
本题考查了积的乘方，分解因式，算术平方根，一元二次方程根的判定，中位数，熟练掌握积乘方的法则，用平方差公式分解因式，算术平方根的定义，一元二次方程的定义与根的判别式，中位数的定义及求法，是解决此题的关键．
3．下列因式分解正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对各选项进行因式分解后进行判断即可．
【详解】
解：A中，错误，故不符合题意；
B中，正确，故符合题意；
C中，错误，故不符合题意；
D中，错误，故不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了因式分解．解题的关键在于对因式分解方法的熟练掌握与灵活运用．
4．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点M(−2，c)．若自变量x取−4，−，1，3时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，y4，则下列说法一定正确的是（     ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得该图象的对称轴为x=-=-1，不妨设a>0，根据各点横坐标与对称轴的距离大小得到y4> y1> y3> y2，再对条件分解因式，即可判断．
【详解】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点M(−2，c)，
∴4a-2b+c=c，即b=2a，
二次函数的解析式为y=ax2+2ax+c，
∴该图象的对称轴为x=-=-1，
不妨设a>0，
∵，
∴y4> y1> y3> y2，
A、若，
即，
则不一定大于0，
故该选项不符合题意；
B、若，
同理得：，
则不一定大于0，
故该选项不符合题意；
C、若，
同理得：，
则不一定小于0，
故该选项不符合题意；
D、若，
同理得：，
则一定小于0，
故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因式分解的应用，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出y4> y1> y3> y2是解题的关键．
5．因式分解：2x3﹣8x＝（       ）
A．x（2x2﹣8） B．2（x3﹣4x）
C．2x（x+2）（x﹣2） D．2x（x2﹣4）
【答案】C
【解析】
【分析】
先提公因式2x，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】
解：2x3﹣8x
＝2x（x2﹣4）
＝2x（x+2）（x﹣2），
故选：C．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
6．已知多项式能分解为两个整系数一次式的乘积，则k的值有（       ）个．
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
设能分解成，根据整式的乘法化简，得到，根据为整数求解即可．
【详解】
设，
则


共10个
故选A
【点睛】
本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握之间的关系是解题的关键．
7．如果是多项式的一个因式，则k的值为（       ）
A．-4 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
设=，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与的对应项的系数相同，据此即可求得a，k的值．
【详解】
解：设==，
则，
解得：．
故选：B．
【点睛】
本题考查因式分解与整式乘法的关系，根据是多项式的一个因式，设=是解题的关键．
8．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．你爱数学 B．你爱学 C．爱邓州 D．邓州爱你
【答案】D
【解析】
【分析】
把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案．
【详解】
解：   
=
=3(x+1)(x−1)(a−b)，
∵a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，
∴结果呈现的密码信息可能是：邓州爱你，
故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和套用平方差公式．
9．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（   ）
A．5 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平方差公式分解，再整体代入，并整理，然后整体代入求出答案．
【详解】
∵a-b=2，
∴．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．
二、填空题
10．若实数m，n满足，则的值为_________．
【答案】12
【解析】
【分析】
首先将变形为，然后分组，分别把和因式分解，进一步利用非负数的性质得出和的值，然后再将变形为，最后将和的值代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴





．
故答案为：．
【点睛】
本题考查利用完全平方公式进行因式分解，非负数的性质，代数式求值等知识，运用了整体代入的思想方法．利用完全平方公式将代数式变形是解决本题的关键．
11．已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．
【详解】
解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，
∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，
∴整数k的值为：±2，
故答案为：±2．
【点睛】
本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
12．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式：______．
【答案】（x+3）（x-2）
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系确定b、c的值，然后再运用十字相乘法因式分解即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为2和﹣3
∴-b=2+（-3），c=2×（-3）
∴b=1，c=-6
∴（x+3）（x-2）．
故答案是（x+3）（x-2）．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系、十字相乘法因式分解等知识点，根据根与系数的关系确定b、c的值是解答本题的关键．
13．已知x＝2，x+y＝3，则x2y+xy2＝_____．
【答案】6y
【解析】
【分析】
原式提取公因式，把各自的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵x＝2，x+y＝3，
∴原式＝xy（x+y）＝6y，
故答案为：6y
【点睛】
本题考查因式分解，熟练掌握计算法则是解题关键.
14．分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式x，再利用平方差公式分解因式．
【详解】
解：
故答案为：．
【点睛】
本题考查分解因式，涉及提公因式、平方差公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
15．已知，．
（1）则______．
（2）______．
【答案】     24     28
【解析】
【分析】
根据提公因式进行因式分解及完全平方公式变形．然后整体代入即可求解．
【详解】
解：（1）∵，．
∴，
，
故答案为：（1）24；（2）28；
【点睛】
本题考查了完全平方公式，因式分解，熟记公式结构以及公式的变形对解题比较有用．
16．分解因式：的结果为___________________________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先将x+y与xy看作一个整体，去括号，再利用完全平方公式分解因式得出结果即可．
【详解】
解：（xy−1）2−（x＋y−2xy）（2−x−y）
＝（xy−1）2＋（x＋y−2）（x＋y−2xy）
＝（x＋y）2−2xy（x＋y）−2（x＋y）＋4xy＋（xy）2−2xy＋1
＝[（x＋y）2−2xy（x＋y）＋（xy）2]−2（x＋y−xy）＋1
＝（x＋y−xy）2−2（x＋y−xy）＋1
＝[（x＋y−xy）−1]2
＝（−xy＋x＋y−1）2
＝[−x（y−1）＋（y−1）]2
＝[（y−1）（1−x）]2
＝（x−1）2（y−1）2
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了因式分解，正确去括号进而利用完全平方公式分解因式是解题关键．
17．分解因式：________．
【答案】##
【解析】
【分析】
将原多项式分组变形，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：====，
故答案为：．
【点睛】
本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，灵活运用因式分解的方法是解答的关键．
18．若，则_________．
【答案】2022
【解析】
【分析】
根据，得，然后局部运用因式分解的方法达到降次的目的，整体代入求解即可．
【详解】
∵
∴
∴






故填“2022”．
【点睛】
本题主要考查了因式分解，善于运用因式分解的方法达到降次的目的，渗透整体代入的思想是解决本题的关键．
19．在实数范围内分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由时，解得，根据求根公式的分解方法和特点即可得到答案．
【详解】
解：当时，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了在实数范围内分解因式的知识，当无法用十字相乘法分解时可以使用求根公式法进行分解．
三、解答题
20．因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可；
（2）直接根据平方差公式因式分解即可；
（3）根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可；
（4）先分组，再根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可；
(1)
解：原式＝

(2)
解：原式＝

(3)
解：原式＝



(4)
解：原式＝


【点睛】
本题考查了因式分解，掌握因式分解是的方法是解题的关键．
21．已知，．
(1)化简；
(2)当a和b满足时，求的值．
【答案】(1)
(2)10
【解析】
【分析】
（1）用a，b表示出代数式，化简即可；
（2）根据已知式子求出a，b，代入（1）的结果即可；
(1)
∵，，
∴，
，
；
(2)
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
【点睛】
本题主要考查了整式化简求值，准确利用二次根式非负性求解是解题的关键．
22．已知：，，求下列多项式的值．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)0
【解析】
【分析】
（1）按照完全平方公式计算，化成含有a+b，ab，的式子，再代入计算即可；
（2）先提取公因式分解因式，化成含有a+b，ab，的式子，再代入计算即可．
【详解】
解：（1）


原式
（2）



将，，代入，
原式
【点睛】
本题考查了整式的运算，完全平方公式，以及因式分解，解题的关键是利用提取公因式，或者完全平方公式进行变形，化成化成含有a+b，ab，的式子，再代入计算．
23．对于任意一个三位数，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称这个三位数为“桃园数”．例如：，因为，所以112是“桃园数”；，因为，所以253不是“桃园数”；
(1)判断459，615是否是“桃园数”？说明理由；
(2)对于“桃园数”，去掉个位上的数字得到的两位数记为，去掉百位上的数字后将十位与个位的数字交换得到的两位数记为，若能被24整除，求所有的．
【答案】(1)459是“桃园数”， 615不是“桃园数”
(2)P的值为314、336、358、628
【解析】
【分析】
（1）根据“桃园数”定义判断即可；
（2）设“桃园数”的百位上的数字是a，十位上的数字是b，表示出p、m、n判断即可．
(1)
因为，所以459是“桃园数”；
因为，所以615不是“桃园数”；
(2)
设“桃园数”的百位上的数字是a，十位上的数字是b，则个位上的数字是，
∴


∴
∵能被24整除，
∴是6的倍数
∴a、b同是偶数或同是奇数，且a是3的倍数
∵a、b、a+b分别在百位、十位、个位上
∴
∴或6或9
当时，，此时b的值可以是1、3、5
对应的P的值为314、336、358；
当时，，此时b的值可以是2
对应的P的值为628；
当时，，由于，此时b不存在
综上，P的值为314、336、358、628．
【点睛】
本题考查新定义运算，理解“桃园数”的定义并正确的设未知数表示各个数是解题的关键．
24．（1）分解因式：3a2﹣6a+3；
（2）解方程：x2﹣4x+2＝0．
【答案】（1） 3(a-1)2；（2）
【解析】
【分析】
（1）先提公因数3，然后利用完全平方公式分解因式；
（2）利用配方法得到（x-2）2=2，然后利用直接开平方法解方程即可．
【详解】
解：（1）3a2﹣6a+3
=3（a2-2a+1）
=3（a-1）2；
（2）x2-4x+2=0，
x2-4x=-2，
x2-4x+4=2
（x-2）2=2，
x-2=±，
所以x1=2+，x2=2-．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程及因式分解方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
25．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）根据提公因式法和平方差公式分解因式即可；
（2）将看成一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．
(1)
解：，
＝，
＝；
(2)
解：，
，
，
【点睛】
本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和平方差公式，完全平方公式分解因式．
26．(1)
(2)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
因式分解：
解：原式                      第一步
                                                            第二步
                                                          第三步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．
任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________．
任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)0
(2)     完全平方；提公因式     因式分解不彻底（或还可以进行因式分解）    
【解析】
【分析】
（1）先根据绝对值的意义，零指数幂、负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值进行化简，然后再进行运算即可；
（2）按照给出的解答过程，进行分析解答即可．
(1)
解：原式．
(2)
任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法；
任务二：小明因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解；
任务三：原式

=
故答案为：任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或a2−b2还可以进行因式分解）；任务三：8(a+b)(a−b)．
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握实数混合运算法则，平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．
27．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】
这是分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分，最后代值计算．
【详解】
解：原式＝
＝
＝
当x＝时，．
【点睛】
考查了分式的化简求值、二次根式的分母有理化，解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式．
28．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】
先括号内进行通分化简，再对分式进行因式分解，然后除法变乘法进行约分，最后代值即可．
【详解】
解：原式

当时，
原式
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解题的关键是化简求值，然后代入数值进行计算．
29．已知x﹣y＝2，xy，求代数式x3y﹣2x2y2+xy3的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先将代数式进行因式分解，然后代入求解即可．
【详解】
解：，
将x﹣y＝2，xy代入得
原式＝
【点睛】
此题考查了代数式的因式分解，涉及了提公因式法和公式法，解题的关键是掌握因式分解的方法．
30．解不等式组及计算：
(1)解不等式组
(2)因式分解：
(3)解方程：；
(4)先化简，再求值：，从，0，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】(1)
(2)
(3)原方程无解
(4)
【解析】
【分析】
（1）分别解一元一次不等式，再写出不等式组的解集即可；
（2）利用提公因式法和公式法分解因式即可；
（3）将分式方程化为整式方程，解方程、再进行检验即可；
（4）先将分式进行化简，再代入合适的值求解即可．
(1)

解①得
解②得
所以，不等式组的解集为；
(2)
原式
；
(3)
方程两边同时乘，得
整理得
解得
经检验，是原方程的增根
所以，原方程无解；
(4)
原式




当时，原式
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组、分解因式、解分式方程及分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．