2021-2022学年湖南省五市十校教研教改共同体高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖南省五市十校教研教改共同体高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 设集合，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知某射击运动员每次击中目标的概率都是现采用随机模拟的方法估计该运动员射击次，至少击中次的概率，先由计算器输出到之间取整数值的随机数，指定表示没有击中目标，，，，，，，，表示击中目标．因为射击次，故以每个随机数为一组，代表射击次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：
   
   据此估计，该射击运动员射击次至少击中次的概率约为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设，，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数且，，为常数的图象如图，则下列结论正确的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

5. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，，在下列条件中，使得成立的一个充分而不必要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 函数的零点个数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设，，，是平面内四个不同的点，且，则向量与(    )

A. 同向平行 B. 反向平行
C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 对于任意两个向量，下列命题正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 若，则

10. 下列命题中正确的是(    )

A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则
C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则

11. 已知直线是函数的一条对称轴，则(    )

A. 点是函数的一个对称中心
B. 函数在上单调递减
C. 函数的图像可由的图像向左平移个单位长度得到
D. 函数与的图象关于直线对称

12. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是(    )

A. 当时，则存在点，使得
B. 当时，则存在点，使得，，三点共线
C. 当时，则存在点，使得，，，四点共面
D. 当时，则存在点，使得

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 设，则______．
14. 若，，，则以，为邻边的平行四边形的面积是______．
15. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球球与圆锥的底面和侧面均相切的表面积为______．
16. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形此等边三角形称为拿破仑三角形的顶点”在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知函数．
    讨论函数的周期性和奇偶性；
    若，，求的值．
18. 如图，在长方体中，，分别是线段，的中点．
    证明：平面；
    若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积．

19. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为的样本，其中男生名，女生名．经调查统计，分别得到名男生一周课外阅读时间单位：小时的频数分布表和名女生一周课外阅读时间单位：小时的频率分布直方图．

由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数；
由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；
从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取人，再从这人中任意抽取人，求恰好抽到一男一女的概率．
注：以各组的区间中点值代表该组的各个值

20. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，分别是，的中点．
    证明：；
    设，，和平面所成角的大小为，求二面角的大小．

21. 目前，新冠还在散发，防疫任重道远，经济下行，就业压力大，为此，国家大力提倡大学生自主创业．小李大学毕业后在同一城市开了，两家小店，每家店各有名员工．五一期间，假设每名员工请假的概率都是，且是否请假互不影响．若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业．
    求有员工被调剂的概率；
    求至少有一家店停业的概率．
22. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且．
    若，判断的形状并说明理由；
    若是锐角三角形，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，表示的所有倍数的集合，表示所有奇数的集合，表示所有的倍数的集合．
所以不是的真子集，故A错，
是的真子集，故B正确，
奇数和的倍数交集为空集，故C错，
的倍数和的倍数有交集，故D错，
故选：．
利用集合相关知识，表示的所有倍数的集合，表示所有奇数的集合，表示所有的倍数的集合．
本题考查了集合运算相关知识，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：组随机数中含，至多个的随机数为：，，，，，，，，，，，，，，，，，共组，
故该射击运动员射击次至少击中次的概率约为．
故选：．
应用列举法写出所有含，至多个的随机数，利用古典概型的概率求法求概率即可．
本题主要考查模拟方法估计概率，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，
故选：．
先得到，再利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查余弦函数的图像与性质，对数函数和指数函数的单调性，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数为减函数，，
当，，，
又函数图象与轴的交点在正半轴上，
，即，
又函数图象与轴有交点，，
，
故选：．
利用对数函数的单调性得到，再利用函数图象与轴的交点在正半轴上及平移变换得到．
本题考查了对数函数图象的应用，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，得，
故选：．
利用二倍角公式转化求解即可．
本题考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于：是充要条件；
对于：若，得，则，反之不成立，即是成立的充分不必要条件，；
对于：与互相推不出是既不充分也不必要条件．
对于：与互相推不出是既不充分也不必要条件．
故选：．
根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题考查了不等式的基本性质和充分必要条件的定义．属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：令，即，
所以，
在同一直角坐标系内画出函数和的图象，
由图象知，函数和恰有个交点，即函数有个零点，
故选：．

令，将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题求解即可．
本题考查函数零点与方程的根的关系，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，，
则可化为，
即，亦即，
，
可得与反向平行，
故选：．
设，，把已知等式转化，进而求解结论．
本题主要考查平面向量共线等知识及数学运算、逻辑推理等数学素养．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由向量加法的运算性质可得，A正确；
对于，由向量加法的运算性质可得，B错误；
对于，，C正确；
对于，向量不能比较大小，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查向量数量积的性质，涉及向量的线性运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设复数，
对于，由得，则，故A正确，
对于，取，可得，故B错误，
对于，由，故，
若则，，所以，
若，则，所以C正确，
对于，因为，由得，，所以D正确．
故选：．
利用复数分类可判断；利用，分、讨论可判断；利用复数的分类可判断．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由于直线是函数的一条对称轴，
所以，整理得，
由于，故；
所以；
对于：当时，，故A错误；
对于：当时，，故函数在该区间上单调递减，故B正确；
对于：函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故C错误；
对于：函数，故这两个函数的图象关于直线对称，故D正确．
故选：．
首先利用函数的对称轴求出，进一步利用正弦型函数的性质的应用和函数的图象的平移变换及对称性的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的图象的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题知，，，
对于选项A和，当时，点在线段上，故直线与异面，所以A错误；
当为线段的中点时，，，三点共线，所以B正确；


对于选项C，当时，取线段、的中点分别为，，连接，
因为，即，所以，则点在线段上．
当位于与的交点处时，，，，四点共面，所以C正确；
对于选项D：当时，取的中点，的中点，因为，，所以，则点在线段上，当点在点处时，取的中点，连接，，因为平面，又平面，所以；
在正方形中，E.又，，平面．
故AD平面，又平面，所以，所以D正确，
故选：．
直接利用异面直线的定义和线面垂直及面面垂直的充要条件和平面向量的共线的应用判断各项的结论．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，直线和平面平行和垂直的判定和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用是分母实数化，然后求模即可．
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
【解答】
解：．
．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：由，得，
因为，所以，
所以该平行四边形的面积．
故答案为：．
根据数量积定义可得，然后由三角形面积公式求解．
本题主要考查向量的数量积公式和三角形的面积公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，所以
所以，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，
所以，
所以该圆锥的内切球的表面积为．

故答案为：．
根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后可得．
本题考查球的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设的三个内角，，的对边分别为，，，
连接，，则由题设得，，
因为以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，
所以，，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，
又，所以，即等号当时成立，
又为等边三角形，
故．
故答案为：．
设的三个内角，，的对边分别为，，，连接，，则，由等边三角形的性质可求出，，从而可求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式可得，从而可求出的面积最大值．
本题考查三角形中的几何问题，侧重考查了等边三角形的性质、余弦定理与利用基本不等式求最值等知识与方法，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
因为；
所以函数是周期为，为奇函数；
由，得，即，
因为，所以，
于是或；
故或． 

【解析】根据两角和的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式可得，结合、即可得出函数的周期与奇偶性；
由可得，结合角的取值范围即可求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：设为的中点，连接，，
则，，
又平面，平面，，平面，
所以平面，平面，

又，、平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；
解：由知，是异面直线与所成角，所以，
在中，因为，．
所以，
因此． 

【解析】设为的中点，连接、，则、，利用面面平行的判定定理即可证明；
由知是异面直线与所成角，解三角形得，结合三棱锥的体积公式计算即可．
本题考查了线面平行的证明以及三棱锥体积的计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是，
设女生一周阅读时间的分位数为，，
解得，
由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数，
由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数，
所以估计总样本的平均数，
由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有人，女生有人，
若从中按比例分配抽取人，则男生有人，记为，女生有人，记为，，，，，
则样本空间，共有个样本点．记事件“恰好一男一女”，则，
故所求概率． 

【解析】由频率分布直方图可得，
频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数，频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数可得，
由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有人，女生有人，再按比例抽样，利用古典概型可解．
本题考查统计应用、概率求解等知识及数据分析、数学运算等数学素养．属于中档题．
 

20.【答案】解：取的中点，连接，．

因为，分别是，的中点．
所以，，
又因为，，
所以，，
从而平面．
又平面，所以．
因为，，所以平面，
所以为二面角的平面角，
又因为，，所以平面，．
连接，则，
在中，
因为，所以平面．
故是和平面所成的角，
即，且．
在中，，，
所以，
故所求二面角的大小为． 

【解析】取的中点，连接，由已知可证平面进而证明；
由已知可证平面，所以为二面角的平面角，进而求解即可．
考查空间线面位置关系、线面角、二面角等知识及直观想象，数学运算、逻辑推理等数学素养，属中档题．
 

21.【答案】解：记事件“家小店有名员工请假”，“家小店有名员工请假”，其中，，，
题设知，事件，相互独立，且，，
记事件“有员工被调剂”，则，
且，互斥，所以，
有员工被调剂的概率为．
记事件“至少有家店停业”，则且，，互斥，
所以，
故至少有一家店停业的概率为． 

【解析】由题意可知，记事件“家小店有名员工请假”，“家小店有名员工请假”，事件“有员工被调剂”，则，可解，
记事件“至少有家店停业”，则．
考查互斥事件、独立事件概率求解等知识及数据分析、数学运算等数学素养，属于基础题．
 

22.【答案】解：由，利用数量积的定义得，．
由余弦定理得，
即．
由正弦定理及得，，即，
因为，，所以或，
当时，是等腰三角形，结合，可得此时，故是等边三角形．
当，即时，是直角三角形，这与矛盾．
故是等边三角形．
在是锐角三角形中，不妨设，由得，
，于是．
又是锐角三角形，，即，
即，因此，
由余弦定理得，，
令，则，函数在上单调递增．
所以，当，
故的取值范围是． 

【解析】先由题意，利用数量积的定义求出，由正弦定理及得或，分析得出结论．
不妨设，由得出利用余弦定理、基本不等式求出的范围，可得的取值范围．
本题主要考查考查平面向量数量积，解三角形及函数性质应用等知识及数学运算、逻辑推理等数学素养，属于中档题．