2021-2022学年山东省名校（历城二中、章丘四中等校）高一（下）联考数学试卷（5月份）（B卷）（Word解析版）

2021-2022学年山东省名校（历城二中、章丘四中等校）高一（下）联考数学试卷（5月份）（B卷）

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 在复平面内，复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 甲、乙两人各进行一次打靶，如果两人打中的概率都是，则其中恰有一人打中靶的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知一组数据：，，，，，的平均数是，方差是，则，，，，，的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是(    )

A. 若，，则直线
B. 若，，，则与是异面直线
C. 若，，则
D. 若，，则，一定相交

5. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设的内角，，所对的边分别为，，，若：：：：，则：：等于(    )

A. ：： B.
C.  D.

7. 正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，，分别为，上靠近，的三等分点，则三棱锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列说法错误的有(    )

A. 若向量与不共线，则与都是非零向量
B. 若向量，则与的方向相同或相反
C. 向量，，是三个非零向量，若，则
D. 向量，是两个非零向量，若，则

10. 为丰富老年人的业余生活，某小区组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个兴趣社团，该小区共有名老年人，每位老人依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社的老人有名，参加太极拳社团的有名，则(    )

A. 这五个社团的总人数为
B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的
C. 这五个社团总人数占该小区老年人数的
D. 从这五个杜团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为

11. 正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是(    )

A. 三棱锥的体积与三棱锥的体积相等
B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的面积与的面积相等

12. 设的内角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是(    )

A. 若，，则可以是
B. 若，，，则
C. 若是锐角三角形，，，则边长的取值范围是
D. 若，则角的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于，且，，则实数的取值范围为______．
14. 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了个用户的满意度评分，评分用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高．用户对产品的满意度评分如下：，，，，，，，，，这组数据的第百分位数为______．
15. 为了测量某塔的高度，检测员在地面处测得塔顶处的仰角为，从处向正东方向走米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为______米．

16. 如图，半径为的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥的高之差的绝对值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法．在实际测量中遇到障碍，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法．如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图，其中角为直角，由于实际情况，它的边和角无法测量，以下为可测量数据：；；请根据以上数据求出的面积．

18. 已知向量，满足，，．
    求；
    求与的夹角．
19. 袋中有个大小相同颜色不全相同的小球，分别为红球、黄球、蓝球，从中任意取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是，试求：
    从中任取一球，得到红球、黄球、蓝球的概率各是多少？
    若从其中的红球和黄球中有放回的任取两个球，得到的两个球颜色相同的概率是多少？
20. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
    
    求直方图中的值；
    设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，说明理由；
    估计居民月均用水量的中位数．
21. 如图，四边形为长方形，平面，，，点、分别为、的中点．设平面平面．
    证明：平面；
    证明：；
    求三棱锥的体积．

22. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．
    求的大小；
    若，在边，上分别取，两点，将沿直线折叠，使顶点正好落在边上设为点，求线段长度的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由得，
故选：．
根据复数除法公式即可求解．
本题考查了复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：依题意恰有一人打中靶的概率为．
故选：．
根据相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；
本题考查概率的求法，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据离散型随机变量的方差计算性质，
由，
所以．
故选：．
由方差计算性质，代入即可得解．
本题考查了方差的问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：若，，则直线或，故A错误；
若，，，则与平行或与是异面直线，故B错误；
若，，由面面平行的性质可得：存在使得，由线面平行的判定可得，故C正确；
若，，则或与相交，故D错误．
故选：．
由直线与平面平行的判定判断；由两平行平面内两直线的位置关系判断；直接证明C正确；由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由正弦定理边化角得，
，
再由正弦定理角化边得，即，
故选：．
利用正弦定理边化角，角化边计算即可．
本题主要考查正弦定理及其应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，又由：：：：，所以，
，
所以由正弦定理得：：：：：，
故选：．
先求出内角，，，根据正弦定理即可求出结果．
本题考查了正弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图取的中点，连接，则，
在正三棱柱，平面，平面，
所以，，，平面，所以平面，
又，，
所以．

故选：．
取的中点，连接，则，从而得到平面，根据计算可得．
本题考查了三棱锥体积的计算，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，，三点共线，
，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为，
故选：．
利用平面向量基本定理得到，再利用基本不等式求最值即可．
本题考查平面向量基本定理，基本不等式求最值问题，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对：因为与任意向量都是共线向量，所以若向量与不共线，则与都是非零向量，故选项A正确；
对：若，则向量，但与的方向不一定相同或相反，故选项B错误；
对：因为向量，，是三个非零向量，，所以，所以或为非零向量，且与的夹角为，故选项C错误；
对：向量，是两个非零向量，若，则，所以，所以，故选项D正确．
故选：．
对：由与任意向量都是共线向量即可判断；对：令即可判断；对：由题意，，进而有或为非零向量，且与的夹角为，从而即可求解；对：由，可得，从而即可求解．
本题主要考查向量数量积的性质以及共线向量的理解与应用，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由于参加朗诵社团的同学有名，该社团人数占比为，
社团总人数为人，故A错误；
合唱团人数为，舞蹈社团人数为人，
脱口秀社团的人数为，
脱口秀社团的人数占有五个社团总人数的，故B正确；
五个社团总人数占该校学生人数的，故C正确；
脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，
舞蹈社团的人数占五个社团总人数的，
这两个社团人数占五个社团总人数的，
从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，故D错误．
故选：．
求出五个社团的总人数，可判断；求出脱口秀社团的人数，判断；求出脱口秀社团或舞蹈社团的人数占五个社团总人数的比例，可判断．
本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于选项A，由，，
又因为平面，故，所以，A正确；
对于选项B，由几何体的性质可知，平面平面，
又因平面，所以平面，故B正确；
对于选项C，由几何体的性质可知，，
点到平面的距离，
故三棱锥的体积，因此C正确；
对于选项D，由几何体的性质可知，点、到直线的距离不相等，
因此的面积与的面积不相等，故D错．
故选：．

根据题意，结合几何体的性质、线面垂直的性质、面面平行的性质以及三棱柱的体积公式，一一判断即可．
本题考查了三棱锥体积的相关计算，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对选项A，，解得，故A错误；
对选项B，，解得或，故B错误．
对选项C，因为是锐角三角形，
所以，整理可得，解得，
故C正确．
对选项D，因为，
所以，，，
即，又因为，所以，故D正确．
故选：．
对选项A，根据正弦定理即可判断A错误，对选项B，根据余弦定理即可判断B错误，对选项C，根据余弦定理即可判断C正确，对选项D，根据正弦定理角化边公式得到，再利用余弦定理即可判断D正确．
本题主要考查正弦定理及其应用，余弦定理的应用等知识，属于中等题．
 

13.【答案】 

【解析】解：随机事件、互斥，、发生的概率均不等于，且 ，，
，即，
解得：．
故答案为：．
由随机事件、互斥，、发生的概率均不等，且，由此能求出实数的取值范围．
本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：这组数从小到大排列为：、、、、、、、、、．
因为，且第个数是，
所以，这组数据的第百分位数为，
故答案为：．
按求百分位数的步骤求解即可．
本题考查百分位数，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设铁塔的高为，则可得，
在中，则，即，
解得．
故答案为：．
根据题意可得，在中，利用余弦定理求解．
本题考查了余弦定理的应用，以及运算求解能力，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：球的体积为，
两个圆锥的体积之和为，
设两个圆锥的高分别为，，则，
设圆锥底面圆半径为，则，
解得，，
，，
这两个圆锥的高之差的绝对值为，
故答案为：．
先根据球的体积公式求出两个圆锥体积之和，再求出圆锥的底面圆的半径，最后求出两圆锥的高，从而求出答案．
本题考查球的体积公式，圆锥的体积公式，属基础题．
 

17.【答案】解：在中，由正弦定理得：，
所以，故，
因为，，
所以，
故． 

【解析】根据正弦定理可得，再根据两角和的正切公式求解，进而得到求出面积即可．
本题考查正弦定理以及两角和的正切公式的应用，属基础题．
 

18.【答案】解：由，得，
因为，，所以，所以．
设与的夹角为，
因为，，
所以，
因为，所以． 

【解析】由，得，将题设条件代入即可求解；
分别计算和，再代夹角公式即可求解．
本题主要考查向量数量积的性质及其运算，考查向量垂直的性质，向量夹角的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，，，由于，，为互斥事件，
根据已知，得，
解得：，，，
所以任取一球，得到红球、黄球、蓝球的概率分别是，，；
由知红球、黄球个数分别为，，用，，表示红球，用，表示黄球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，则样本空间，，所以，每个样本点出现的可能性相可，因此这个试验是古典概型．
设“取出两球颜色相同”，，，，，，，，，，，，，，
所以，所以；
综上，红球、黄球、蓝球的概率分别是，，，取出两球颜色相同的概率为． 

【解析】分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，，，因为，，为互斥事件，列方程即可求解；
求出古典概型的样本空间，以及所求事件的样本即可求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件的概率公式的合理运用．
 

20.【答案】解：由频率分布直方图可知，月均用水量在的频率为．
同理，在，，，，，等组的频率分别为，，，，，．
由，
解得．
由知，位居民月均用水量不低于吨的频率为：．
由以上样本的频率分布，
可以估计万居民中月均用水量不低于吨的人数为：．
设中位数为吨．
前组的频率之和为：
，
而前组的频率之和为：，
．
由，解得．
故可估计居民月均用水量的中位数为吨． 

【解析】由频率分布直方图中小矩形面积之和为，能求出．
先求出位居民月均用水量不低于吨的频率，由此能估计万居民中月均用水量不低于吨的人数．
设中位数为吨，利用频率分布直方图列出方程，能估计居民月均用水量的中位数．
本题考查实数值的求法，考查频数、中位数的估计，考查频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
 

21.【答案】证明：取中点，连接，，
因为点、分别为、的中点，
所以，，
因为四边形为长方形，所以，且，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，平面；

证明：由知平面，
又平面，平面平面
所以；
解：因为平面，所以为三棱锥的高，
所以． 

【解析】取的中点，连接，，由条件可证明，从而可得线面平行；
根据线面平行的性质即可证明；
利用等体积转化，根据题中数据，即可求出结果．
本题考查了空间中的平行关系的证明以及三棱锥体积的计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：由，
而，
所以可得，
在三角形中，，
由，
可得；
，，
为等边三角形，连接，
由折叠性质可知，两点关于折线对称，
，，
设，，则，，
在中，，，
由，
则在中，由正弦定理得：，
即，可得，
因为，所以，
所以，
所以当，即时，，
则取得最小值，
即的最小值为． 

【解析】由两角和的正切公式及诱导公式可得角的正切值，再由角的范围，可得角的大小；
由可得为等边三角形，即可得，由对称性可得，设，，由三角形中角的关系及正弦定理可得的表达式，再由角的范围，可得的最小值．
本题考查两角和的正切公式及正弦定理的应用，属于中档题．