2021-2022学年江西省吉安市泰和县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江西省吉安市泰和县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列说法不正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

3. 将点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 一个正多边形，它的每一个外角都等于，则该正多边形是(    )

A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形

5. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点根据图象可知，关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：；的值不变；的长不变；四边形的面积不变，其中，正确结论的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 若分式的值为，则______．
8. 如图，在中，，平分，与边交于点，，若点到的距离等于，则的长为______．

9. 在实数范围内规定新运算“”，其规则是：已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是______．
10. 若关于的方程产生增根，则______．
11. 如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，，，，则阴影部分的面积是______．

12. 如图，在▱中，，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止同时点也停止运动设运动其中时，以、、、四点组成的四边形是平行四边形，则的所有可能取值为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84分）

13. 分解因式；
    解方程：．
14. 解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．
     
15. 先化简，再求值：，然后从，，中选择适当的数代入求值．
16. 如图，的的网格中，，，均在格点上，请用无刻度的直尺作图保留作图痕迹，不写作法．
    在图中找一格点，使得为等腰三角形找到一个即可；
    在图中作出的角平分线．

17. 如图，平分交于点，于，于，，，若，求的长。
     

18. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于．
    求证：；
    若，，求的长．
     

19. 某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多元，用元购买的故事书与用元购买的文学书数量相等．
    求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
    若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共本，且购买文学书和故事书的总费用不超过元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
20. 如图，在平行四边形中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时，恰为等边三角形．
    猜想与的位置关系，并证明你的结论；
    连接，请说明四边形为平行四边形．

21. 如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为，
    求，，的值；
    若函数的函数值大于函数的函数值，则的取值范围是多少？
    求四边形的面积．

22. 阅读下面材料，解答后面的问题
    解方程：．
    解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘以得：，
    解得：，
    经检验：都是方程的解，当时，，解得：，
    当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，
    原分式方程的解为或上述这种解分式方程的方法称为换元法．
    问题：
    若在方程中，设，则原方程可化为：______ ；
    若在方程中，设，则原方程可化为：______ ；
    模仿上述换元法解方程：．
23. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
    
    原题：如图，点、分别在正方形的边、上，，连结，试猜想、、之间的数量关系．
    思路梳理
    把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点、、共线，易证≌______，故EF、、之间的数量关系
    为______．
    类比引申
    如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连结，试猜想、、之间的数量关系为______，并给出证明．
    联想拓展
    如图，在中，，，点、均在边上，且，若，，求的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：若，则，此选项不合题意；
B.当时，，此选项符合题意；
C.若，则，此选项不合题意；
D.若，则，此选项不合题意．
故选：．
根据不等式的性质，即可解答．
此题考查不等式的性质：性质、不等式的两边都加上或减去同一个数或同一个式，不等号的方向不变．性质、不等式两边都乘或除以同一个正数，正数不等号的方向不变．性质、不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号方向改变改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：将点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，则点的坐标是，即，
故选：．
让点的横坐标减，纵坐标加即可得到平移后点的坐标．
本题考查点的平移规律；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
这个正多边形的边数是．
故选：．
根据多边形的外角和是度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据图象可得：不等式的解集为：，
故选：．
以两函数图象交点为分界，直线在直线的下方时，．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图作于，于．
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，，故正确，
，
定值，故正确，
，是定值，故正确，
在旋转过程中，是等腰三角形，形状是相似的，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，故错误，
故选：．
如图作于，于只要证明≌，≌，即可一一判断
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
，
解得：．
故答案为：．
分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于此题考查的是对分式的值为的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为这个条件，所以常以这个知识点来命题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，
，
，
平分，
，
到的距离等于，
，
又，
，
，
故答案为：．
过作于，根据角平分线性质得出，再求出长，即可得出的长．
本题主要考查了角平分线性质，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据图示知，已知不等式的解集是．
则
，
且，
．
故答案是：．
根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程两边同时乘以得：，
解得：，
方程有增根，
，
，
，
，
故答案为：．
先求出分式方程的解，解得，再求出方程的增根为，根据即可求出的值．
本题考查了分式方程的增根，知道增根产生的原因是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：平移不改变图形的形状和大小，
直角梯形的面积直角梯形的面积，
直角梯形的面积直角梯形的面积直角梯形的面积直角梯形的面积，
阴影部分的面积直角梯形的面积
故答案为：．
阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去直角梯形的面积，也就是直角梯形的面积．
本题考查了直角梯形，梯形，平移的性质，解决本题的关键是利用平移的性质得到阴影部分的面积为一个直角梯形的面积．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
以点、、、为顶点组成平行四边形，
，
点的运动路线是，
则，
解得：，不符合题意；
点的运动路线是，
则，
解得：；
点的运动路线是，
则，
解得：；
点的运动路线是，
则，
解得：；
综上所述，或或时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：或或．
根据平行四边形的判定可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
此题考查了平行四边形的判定与性质等知识，求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
 

13.【答案】解：原式
；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解． 

【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法及分式方程的解法是解本题的关键．
 

14.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：原式




，
由分式有意义的条件可知：不能取，
，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

16.【答案】解：如图中，，即为所求．
如图中，射线即为所求．
 

【解析】构造或即可．
利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题即可．
本题考查作图应用与设计，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：平分交于点，，

，，

即
 

【解析】本题考查了角平分线的性质的应用，能根据角平分线性质得出是解此题的关键。
根据角平分线性质得出，再根据三角形的面积公式得到关于的等式，求出即可。
 

18.【答案】证明：连接、，

点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，且于，于．
，
在和中，

≌，
；
解：在和中，

≌，
，
，，
，
即，
解得． 

【解析】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
 

19.【答案】解：设去年文学书单价为元，则故事书单价为元，根据题意得：
 ，
解得：，
经检验是原方程的解，当时，
答：去年文学书单价为元，则故事书单价为元．
设这所学校今年购买本文学书，根据题意得．
，
，
最小值是；
答：这所中学今年至少要购买本文学书． 

【解析】设去年文学书单价为元，则故事书单价为元，根据用元购买的故事书与用元购买的文学书数量相等，列出方程，再进行检验即可得出答案；
设这所学校今年购买本文学书，根据购买文学书和故事书的总费用不超过元，列出不等式，求出不等式的解集即可得出答案．
此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
 

20.【答案】解：结论：，
理由如下：
为等边三角形，
，，
根据折叠的性质，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：由可知，，
由折叠可知，
、、三点在同一条直线上，
四边形是平行四边形，
，，
由折叠可知 ，
 ，，
四边形为平行四边形． 

【解析】由等边三角形的性质可得，，由折叠的性质和平行四边形的性质可证，可得，可求，可得结论；
由平行四边形的性质和折叠的性质可得，，可证四边形为平行四边形．
本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

21.【答案】解：对于直线，令，得到，即，
把代入中，得：，
把代入得：，即，
把坐标代入中得：，即，
故，，的值分别为：，，；
一次函数与交于，
由图象得：由一次函数图象可得当时，函数的函数值大于函数的函数值；
过作轴，垂足为，如图所示，

则． 

【解析】由的图象过点，且点的坐标为，可得的坐标，由一次函数的图象经过点与，即可求出，的值；
根据图象即可得出答案；
先求出点的坐标，再求出的解析式，然后根据即可求解．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法，四边形的面积公式，等解本题的关键用方程的思想解决问题．
 

22.【答案】；；
原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘以得：
解得：，
经检验：都是方程的解．
当时，，该方程无解；
当时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
原分式方程的解为． 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
和将所设的代入原方程即可；
利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出的值并检验是否为原方程的解，然后求解的值即可．
【解答】
解：将代入原方程，则原方程化为，
故答案为；
将代入方程，则原方程可化为
故答案为；
见答案．  

23.【答案】；；
；
解：联想拓展：如图，

把绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，由旋转得：，，，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，，，，，，≌，． 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题．
先根据旋转得：，计算，即点、、共线，再根据证明≌，得，可得结论；
如图，同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明≌，得，所以；
如图，同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明≌，得，先由勾股定理求的长，从而得结论．
【解答】
解：思路梳理：
如图，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即，
由旋转得：，，，，
，
即点、、共线，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
故答案为：，；
类比引申：
如图，，理由是：
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，则在上，
由旋转得：，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
见答案．