2021-2022学年山东省济宁市高新区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省济宁市高新区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列根式中，为最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若代数式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

3. 矩形、菱形都具有的性质是(    )

A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线垂直、平分且相等

4. 若、是方程的两个解，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路分别与矩形的一条边平行，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 有下列四种说法：其中说法正确的有(    )
   两个菱形相似；
   两个矩形相似；
   两个平行四边形相似；
   两个正方形相似

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 如图，，与相交于点，且，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，点是的边上一点，连接，添加下列条件，不能判定∽的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 将矩形如图放置，为坐标原点，若点，点的纵坐标是，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为，，，则的长为______ ．

12. 随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某口罩每盒原价为元，连续两次降价后每盒的售价为元，则平均每次下降的百分率为______．
13. 据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是          ．

14. 如图，中，已知点、、分别为、、的中点，设的面积为，的面积为，则：______．

15. 对于任意的正数、定义运算“”为：，则的运算结果为______．

三、解答题（本大题共7小题，共55分）

16. 计算：
17. 解方程：；
    解方程：．
18. 已知：关于的方程．
    求证：方程总有实数根；
    若方程有一根小于，求的取值范围．
19. 如图，已知的顶点的坐标分别为，，．
    在第四象限画出关于原点的位似，要求新图形与原图形的位似比为：，并写出点的坐标；
    求的面积．

20. 如图，点、、分别是各边的中点，连接，，．
    求证：四边形为平行四边形；
    从下列条件，平分，中选择一个添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是______写序号，并证明．

21. 某超市销售一种衬衫．平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低元，平均每天可多售出件．
    若每件衬衫降价元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
    在每件盈利不少于元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为元，问每件衬衫应降价多少元？
    该衬衫每天的销售获利能达到元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能．请说明理由．
22. 如图所示，在矩形中，，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，如果、同时出发，用秒表示移动的时间，那么：
    点运动多少秒时，的面积为；
    当为何值时，与相似？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念即可得出答案．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，再根据分式的分母不为列出不等式解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：．
由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故选：．
先根据根与系数的关系得到，，再利用乘法公式展开得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

6.【答案】 

【解析】解：道路的宽应为米，
由题意得，，
故选：．
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；
两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；
两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；
两个正方形相似，正确．
故选：．
直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．
此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
又，，，
，
．
故选：．
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出的长．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

9.【答案】 

【解析】解：、，，
∽，故本选项错误；
B、，，
∽，故本选项错误；
C、，，
∽，故本选项错误；
D、根据和不能判断∽，故本选项正确；
故选：．
根据相似三角形的判定定理有两角分别相等的两三角形相似，有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似逐个进行判断即可．
本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，

过点作轴于点，
，，
，
又，
∽，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
点，点的纵坐标是，
，
，
，
，
点的坐标是：
故选：．
首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出，，进而得出答案．
此题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识，正确得出的长是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
又，
，
，
解得，
故答案为：．
根据菱形的性质和勾股定理，可以求得的长，然后根据等面积法即可求得的长．
本题考查菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确等面积法，利用数形结合的思想解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：设平均每次下降的百分率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
平均每次下降的百分率为．
故答案为：．
设平均每次下降的百分率为，利用经过两次降价后的价格原价平均每次下降的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：．
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故答案为：．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

14.【答案】： 

【解析】解：点、分别为、的中点，
，
，
，
，
是的中点，
，
：：，
：：
故答案为：：．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用表示出、、，的面积，然后表示出的面积，再表示出的面积，即可得解．
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
 

15.【答案】 

【解析】解：，


．
故答案为．
根据题意选择合适的对应法则．因为，所以选择第二种对应法则；，选第一种对应法则．
主要考查二次根式的乘法运算及化简．定义新运算题型能很好的考查学生对新情景知识的学习能力．读懂题意，按照定义是关键．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了分母有理化，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
所以，；
．
，
，
或，
所以，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

18.【答案】证明：关于的方程，
，
，
，
关于的方程总有实数根；

解：由知，，
，
，，
方程有一根小于，
，
，
即的取值范围为． 

【解析】先求出，再判断出不小于，即可得出结论；
先求出方程的两根，由一根小于建立不等式求解，即可得出结论．
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，解不等式，建立不等式是解本题的关键．
 

19.【答案】解：如图，为所作，点的坐标为；

的面积． 

【解析】把、、点的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．
 

20.【答案】、 

【解析】证明：已知、、为、、的中点，
为的中位线，根据三角形中位线定理，
，．
即，，
四边形为平行四边形．
解：选平分证明四边形为菱形，
平分，
，
又为平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形为菱形．
选证明四边形为菱形，
，，，，
又，
，
平行四边形为菱形．
故答案为：、．
根据三角形中位线定理可证；
若选平分，在中为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明；若选：根据三角形中位线定理即可证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线性质定理，菱形的判定定理．认真分析图中的几何关系，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定定理是解题关键．
 

21.【答案】解：件，
元．
答：均每天可售出件衬衫，此时每天销售获利元．
设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又每件盈利不少于元，
．
答：每件衬衫应降价元．
该衬衫每天的销售获利不能达到元，理由如下：
设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
即该衬衫每天的销售获利不能达到元． 

【解析】利用日销售量每件衬衫降低的价格，可求出日销售量，再利用每天销售该种衬衫获得的利润每件盈利日销售量，即可求出每天销售该种衬衫获得的利润；
设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该种衬衫获得的利润每件盈利日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
该衬衫每天的销售获利不能达到元，设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该种衬衫获得的利润每件盈利日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到元．
本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混用运算以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：当运动时间为时，，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当为或时，的面积等于；
，，，，
，
，
当时，∽，
，
解得：；
当时，∽，
，
解得：．
当或时，与相似． 

【解析】当运动时间为时，，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值；
由题意可设，，又由，，即可求得的值，然后分别从当时，∽与当时，∽，然后利用方程即可求得的值．
本题考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．