2021-2022学年福建省龙岩市长汀县七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年福建省龙岩市长汀县七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 在实数，，，中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 以下调查中，最适合用来全面调查的是(    )

A. 了解全班学生的身高情况 B. 了解全国中学生的心理健康状况
C. 调查汀江流域水质情况 D. 调查春节联欢晚会收视率

5. 点向右平移个单位后与轴上点重合，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 满足不等式的最小负整数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，点，，经过点的直线轴，是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，则与的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 某种商品每件的进价为元，商场按进价提高标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打_______折(    )

A.  B.  C.  D.

10. 中国奇书易经中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满进，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是(    )
     

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 比较大小： ______
12. 已知点在坐标轴上，则______．
13. 是二元一次方程的一个解，则的值为______．
14. 质检部门为了检测某品牌服装的质量，从同一批次共件产品中随机抽取件进行检测，检测出次品件，由此估计这一批产品中的次品件数是______件．
15. 已知，都是有理数，观察表中的运算，则______．

16. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点，以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 解方程组：．
18. 解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．
     
19. 如图，三角形在平面直角坐标系中，完成下列问题：
    请写出三角形各顶点的坐标；
    求出三角形的面积；
    若把三角形向上平移个单位，在向右平移个单位得到三角形，在图中画出平移以后的图形．

20. 如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，为射线上一点，连结，且．
    求证：；
    若，试判断与的位置关系，并说明理由．

21. 对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．
    例如：点的一对“相伴点”是点与．
    点的一对“相伴点”的坐标是______与______；
    若点的一对“相伴点”重合，则的值为______；
    若点的一个“相伴点”的坐标为，求点的坐标．

22. 年月日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校学生全员观看了太空授课直播，为了了解学生心中“最受启发的实验”的情况，随机抽取了部分学生每人只选择一个实验进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

根据以上信息，回答下列问题：
被调查的学生中，认为最受启发的实验是的学生人数为______人，认为最受启发的实验是的学生人数占被调查学生总人数的百分比为______；
本次调查的样本容量为______，样本中认为最受启发的实验是的学生人数为______人；
若该校共有名学生，请根据调查结果，估计认为最受启发的实验是的学生人数．

23. 年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：
    已知购买个冰墩墩和个雪容融需要元；购买个冰墩墩和个雪容融需要元；
    请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？
    北京奥运官方特许零售店开始销售的第一天个小时内全部售罄，于是从厂家紧急调配个商品，拟租用甲、乙两种车共辆，一次性将商品送到指定地点，若每辆甲种车的租金为元可装载个商品，每辆乙种车的租金为元可装载个商品，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．

24. 如图，已知，，，点在线段上，，点在直线上，．
    求证：．
    如图，当点在线段上时，求的度数；
    在点运动过程中，点点不与点、重合从点出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，请求出的度数．

25. 在平面直角坐标系中，如果点满足且，则称点为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．
    判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；，，．
    如果点不是“自大点”，求出的取值范围．
    如图，正方形的初始位置是，，，，现在正方形开始以每秒个单位长的速度向下轴负方向平移，设运动时间为秒，当正方形成为“自大忘形”时，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最大的数是，
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用二次根式的性质化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：点所在的象限在第二象限．
故选：．
直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、了解全班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项符合题意；
B、了解全国中学生的心理健康状况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、调查汀江流域水质情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、调查春节联欢晚会收视率，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

5.【答案】 

【解析】解：点向右平移个单位，得到点的坐标是，
，
，
，
，
故选：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点的坐标．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

6.【答案】 

【解析】解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
不等式的最小负整数为，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项得到其解集，继而得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，
轴，点是直线上的一个动点，点，
设点，
当直线时，的长度最短，点，
，
点的坐标为．
故选：．
根据经过点的直线轴，可知点的纵坐标与点的纵坐标相等，可设点的坐标，根据点到直线垂线段最短，当时，点的横坐标与点的横坐标相等，即可得出答案．
本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确垂线段最短．
 

8.【答案】 

【解析】解：联立得：，
得：．
故选：．
已知两等式消去即可得到与的关系式．
此题考查了解二元一次方程，利用了消元的思想，消去是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设打折，
由题意可得：，
解得，
即至多打折，
故选：．
根据利润率不低于和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用数字表示事件，理解“逢五进一”的计数规则是正确计算的前提．根据计数规则可知，从右边第位的计数单位为，右边第位的计数单位为，右边第位的计数单位为，右边第位的计数单位为依此类推，可求出结果．
【解答】
解：天，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：，，
；
故答案为：．
先把写成，再进行比较即可．
此题考查了实数的大小比较，把写成是本题的关键，是一道基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：点在坐标轴上，横坐标是，
一定不在轴上，当点在轴上时，纵坐标是，即，
解得：故填．
根据点在坐标轴上的坐标特点解答即可．
本题主要考查了坐标轴上的点的坐标的特点，即点在上时，纵坐标为；在轴上时，横坐标等于．
 

13.【答案】 

【解析】解：是二元一次方程的一个解，
，
解得：．
故答案为：．
首先把代入二元一次方程，然后根据解一元一次方程的方法，求出的值即可．
此题主要考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

14.【答案】 

【解析】解：随机抽取件进行检测，检测出次品件，
次品所占的百分比是：，
这一批产品中的次品件数是：件，
故答案为：．
先求出次品所占的百分比，再根据共件产品，直接相乘得出答案即可．
此题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由表可知：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以



，
故答案为：．
根据表格得出方程组，求出、的值，再求出即可．
本题考查了解二元一次方程组和求代数式的值，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：观察，发现规律：，，，，，，
，，，为自然数．
，
点的坐标为．
故答案为：．
根据友好点的定义及点的坐标为，顺次写出几个友好点的坐标，可发现循环规律，据此可解．
本题考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律：每个点为一个循环是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
由得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
则原方程组的解是． 

【解析】方程组利用代入消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，；
的面积；
如图，为所求．
 

【解析】利用点的坐标表示方法求解；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积；
利用点平移的坐标变换规律得到点、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

20.【答案】证明：，
，
又，，
，
，理由如下：
平分，
，
，，
，
又
，
． 

【解析】根据互相垂直的意义，以及同角或等角的余角或补角相等，得出结论；
根据角平分线、以及同角或等角的余角或补角相等，得出，利用内错角相等两直线平行，得出结论．
本题考查角平分线、互相垂直的意义，同角等角的余角补角相等，以及平行线的性质和判定，等量代换在证明过程中起到非常重要的作用．
 

21.【答案】     

【解析】解：，
，，
点的一对“相伴点”的坐标是与，
故答案为：，；

点，
，，
点的一对“相伴点”的坐标是和，
点的一对“相伴点”重合，
，
，
故答案为：；

设点，
点的一个“相伴点”的坐标为，
或，
或，
或．
根据新定义求出，，即可得出结论；
根据新定义，求出点的一对“相伴点”，进而得出结论；
设出点的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论．
此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
 

22.【答案】       

【解析】解：由题意可知，被调查的学生中，认为最受启发的实验是的学生人数为人，认为最受启发的实验是的学生人数占被调查学生总人数的百分比为，
故答案为：；；
本次调查的样本容量为：；
样本中认为最受启发的实验是的学生人数为：人，
故答案为：；；
样本中认为最受启发的实验是的学生人数为：人，
人，
答：估计该校认为最受启发的实验是的学生人数为人．
由频数分布表可得认为最受启发的实验是的学生人数，由扇形图可得认为最受启发的实验是的学生人数占被调查学生总人数的百分比；
由组的学生人数及其频率可得本次调查的样本容量，用总人数乘频率可得样本中认为最受启发的实验是的学生人数；
用样本估计总体即可．
本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息，求出本次调查的样本容量是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：设个冰墩墩的售价为元，个雪容融的售价为元，根据题意，得：
，
解得，
答：个冰墩墩的售价为元，个雪容融的售价为元；
设租用甲种车辆，则租用乙种车辆，总租金为元，根据题意，得：
，
由题意，得，
解得，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值为，
此时，
即当租用甲种车辆，租用乙种车辆，总租金最低，最低费用为元． 

【解析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
设个冰墩墩的售价为元，个雪容融的售价为元，根据“购买个冰墩墩和个雪容融需要元；购买个冰墩墩和个雪容融需要元”，列出方程组求解即可；
设租用甲种车辆，则租用乙种车辆，总租金为元，根据题意求出与的关系式，并根据题意求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：，，
，
又，
；
解：当点在线段上时，点在延长线上，如图：

，，
，
又，
，
，
，
；
当点在延长线上时，点在线段上，如图：

，，
，
；
综上所述，的度数为或． 

【解析】由，得，由，得，故；
由，，得，即可得；
分两种情况：当点在线段上时，点在延长线上，可得；当点在延长线上时，点在线段上，可得．
本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用．
 

25.【答案】解：；理由：
点满足且，则称点为“自大点”，
，满足，
，，
不是“自大点”；
，，
是“自大点”；
，，
不是“自大点”，
综上，三个点中点是“自大点”；
如果点是“自大点”，
，
解得：，
当或时，点不是“自大点”，
的取值范围是或；
正方形的初始位置是，，，，
平移之后的坐标分别为，，，，
当点平移后的点是“自大点时”，，
解得：，
故A点平移后的点不是“自大点时”，或，
同理，当点和点平移后的点不是“自大点时”，或，
同理，当点平移后的点不是“自大点时”，或，
当平移后的正方形边界及其内部的所有点都不是“自大点”时，或者或或．
当正方形成为“自大忘形”时，的取值范围为：或者或者或． 

【解析】利用“自大点”的定义解答即可；
利用“自大点”的定义列出不等式组解答即可；
用表示出平移后的正方形的四个顶点的坐标，利用中的方法求得平移后的正方形的三个顶点不是“自大点”时的的范围即可得出结论．
本题主要考查了一元一次不等式组的解法，正方形的性质，本题是新定义型，准确理解并熟练应用新定义是解题的关键．