2021-2022学年湖北省随州市随县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖北省随州市随县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列各式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列说法中正确的是(    )

A. 想了解某河段的水质，宜采用全面调查
B. 数据，，，，的众数是
C. 想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查
D. 一组数据的波动越大，方差越小

4. 在下列各组线段中，能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 如图，点是▱对角线的交点，过点分别交，于点，，下列结论成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 直线经过一、二、三象限，则直线的图象可能是图中的(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，若，，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 甲、乙两车从城出发匀速驶向城．在整个行驶过程中，两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图，则下列结论中错误的是(    )

A. ，两城相距千米
B. 乙车比甲车晚出发小时，却早到小时
C. 乙车出发小时后追上甲车
D. 当甲、乙两车相距千米时，或

9. 如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连接，点为的中点，连接，，若，，给出以下结论：；；≌；其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 使式子有意义的取值范围是______．
12. 已知一组数据，，，，，的中位数为，则的值是______．
13. 如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，若，则______

14. 如图，“赵爽弦图”由个完全一样的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为______．

15. 一次函数的图象于轴、轴分别交于点，，点，分别是，的中点，是上一动点．当周长最小时，点的坐标为______．

16. 如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠，点的对称点是点，当点落在对角线上时，的长为______；当为直角三角形时，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 计算：
    ；
    化简求值：，其中．
18. 如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理，求需要绿化的空地的面积．

19. 为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了关于心肺复苏急救知识的专题讲座，并进行了心肺复苏急救知识测评．现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩百分制进行整理和分析成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：
    七年级名学生的测试成绩是：，，，，，，，，，．
    八年级名学生的测试成绩在组中的数据是：，，．
    七、八年级抽取的学生测试成绩统计表

根据上述信息，解答下列问题：
上述表格中______，______；
扇形统计图中______，组的圆心角的度数为______；
该校七年级有名学生，估计七年级测试成绩优秀的学生共有多少名？
你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握心肺复苏急救知识更好？请说明理由．写出一条理由即可

20. 已知：如图，一次函数与的图象相交于点．
    
    求点的坐标；
    若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积．
    结合图象，直接写出时的取值范围．
21. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点．
    
    证明：四边形是平行四边形；
    若，，求的周长．
22. 为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用元与使用面积间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米元．
    求与间的函数解析式；
    若校园文化墙总面积共，其中使用甲石材，设购买两种石材的总费用为元，请直接写出与间的函数解析式；
    在的前提下，若甲种石材使用面积多于，且不超过乙种石材面积的倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？

23. 定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
    根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
    对偶式与之间的关系为______
    A.互为相反数互为倒数绝对值相等没有任何关系
    已知，，求的值；
    解方程：提示：利用“对偶式”相关知识，令
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线过点和，且、满足．
    求直线的表达式；
    如图，直线与轴交于点，点在轴上方且在直线上，若面积等于，请求出点的坐标；
    如图，已知点，若点为射线上一动点，联结，在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、想了解某河段的水质，宜采用抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；
B、数据，，，，的众数是和，故本选项说法错误，不符合题意；
C、想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查，故本选项说法正确，符合题意；
D、一组数据的波动越大，方差越大，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据全面调查，众数，抽样调查，方差的意义求解即可．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了全面调查，众数，抽样调查．
 

4.【答案】 

【解析】解：、因为，所以不能组成直角三角形；
B、因为，所以不能组成直角三角形；
C、因为，所以能组成直角三角形；
D、因为，所以不能组成直角三角形．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

5.【答案】 

【解析】解：▱的对角线，交于点，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，，
又，
选项A正确，选项B、、不正确，
故选：．
证≌，得，，，进而得出结论．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：直线经过一、二、三象限，
，，
，
直线的图象经过第一、二、四象限，
故选：．
根据一次函数的图象即可确定和的符号，进一步判断即可．
本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，过作于，则，
，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
过作于，通过解直角三角形，即可得到的长，进而得到平行四边形的面积，再根据全等三角形的性质，即可得到图中阴影部分的面积．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知、两城市之间的距离为，故选项A不合题意；
甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故选项B不合题意；
设甲车离开城的距离与的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得，解得，
，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故选项C不合题意；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时乙还没出发，
当时，乙到达城，；
综上可知当的值为或或或，故选项D符合题意．
故选：．
观察图象可判断、，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断，再令两函数解析式的差为，可求得，可判断，可得出答案．
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
；
故选：．
根据勾股定理分别求出和，再根据即可得出答案．
此题考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出和是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
在和，
，
≌，
，
，
，
，
，故正确，
不妨假设，
在和中，
，
≌，
，
这与，，矛盾，
假设不成立，故错误，
不妨假设≌，
则，同法可证≌，
，
这与，，矛盾，
假设不成立，故错误，
，，
，
，
，
，，
故正确，
正确的有：，共个，
故选：．
正确，证明≌，可得结论．
错误，利用反证法证明即可．
正确，利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边中线的性质求出，可得结论．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用反证法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

11.【答案】且 

【解析】解：且，
且．
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：数据，，，，，的中位数为，
，
，
故答案为：．
将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题主要考查中位数和算术平均数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
 

13.【答案】 

【解析】解：菱形，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的邻角互补解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图可知，，，
，
．
故答案为：．
根据图形表示出小正方形的边长为，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出，然后利用完全平方公式整理即可得解．
本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：作点关于中的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，
长为定值，
当的值最小时，周长最小，
，，点，分别是，的中点，
，，
，
设直线为：，
把，，代入得，
，
解得看，，
，
令，
，
，
故答案为：．
作点关于中的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，根据中点坐标公式求出、点的坐标，再求出直线的解析式，再求出与轴的交点坐标即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、最短路线问题，熟练掌握这三个知识点的综合应用，最短路线问题中点的确定及求出直线的解析式是解题关键．
 

16.【答案】  或 

【解析】解：如图，在中，

将沿折叠，点的对称点是点，
，
，
；
当为直角三角形时，分两种情况：
如图，当点在线段上时，

，
，，三点共线，
，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，

，，，
，
设，则，
，
，
，
解得：，
，
综上，的值为或．
故答案为：；或．
由勾股定理求出的长，则可求出的长，分为两种情况，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．
本题考查了翻转变换、直角三角形的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

，
当时，
原式

． 

【解析】先算乘除，化为最简二次根式，再合并即可；
先化简，再代入即可．
本题考查二次根式的运算及分式化简求值，解题的关键是掌握化简二次根式，合并二次根式的法则及分式的基本性质，把所求式子化简．
 

18.【答案】解：，
，
，
，，
，
是直角三角形，，
需要绿化的空地的面积 

【解析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可．
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出是解题的关键．
 

19.【答案】       

【解析】解：七年级名学生的测试成绩出现次数最多的是，出现次，因此众数是，即，
八年级名学生的测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是，因此中位数是，即，
故答案为：；；
，
，
，
组的圆心角的度数为：．
故答案为：；；
名．
答：估计七年级测试成绩优秀的学生共有名；
八年级学生掌握心肺复苏急救知识更好，
理由：虽然七、八年级成绩的平均数相同，但是八年级的成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级学生掌握心肺复苏急救知识更好．
依据中位数、众数的计算方法可求出、；
求出八年级名学生的测试成绩在组中的频数，即可得的值，用乘组所占百分比即可；
样本估计总体即可；
通过比较平均数、中位数、众数得出答案．
本题考查频数分布表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．也考查了平均数、中位数、众数、方差．
 

20.【答案】解：解方程组
得，
所以点坐标为；
当时，，，则点坐标为；
当时，，，则点坐标为；
，
的面积；
根据图象可知，时的取值范围是． 

【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，也考查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面积．
将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点的坐标；
先根据函数解析式求得、两点的坐标，可得的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
根据函数图象以及点坐标即可求解．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，，
，即，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是菱形，，，
，，，
四边形是平行四边形，
，，
的周长为． 

【解析】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．
根据平行四边形的判定证明即可；
利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．
 

22.【答案】解：时，
设，
过，，
，
解得，
，
时，
设，
过，，
，
解得，
，
；

，
即；

设甲种石材为，则乙种石材，
，
，
由知，
，
随的增大而减小，
即甲，乙时，
．
答：甲种石材，乙种石材时，总费用最少，最少总费用为元． 

【解析】由图可知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
根据的结论，即可得出与间的函数解析式．
设甲种石材为，则乙种石材，根据实际意义可以确定的范围，结合的结论，利用一次函数的性质解答即可．
本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，
与互为倒数，
故答案为：；
，，
，
，

；
设，
 ，
，
即，
解得，
，
得，，
即，
，
．
求出与的积即可得出结论；
求出，，的值，再根据因式分解，代入计算即可；
根据“对偶式”的性质求出的值，再将两个方程联立得到，再由算术平方根的意义求解即可．
本题考查二次根式的化简，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义，理解“对偶式”的性质是正确解答的关键．
 

24.【答案】解：，
，，
，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的表达式为；
设直线交直线于，如图：

在中，令得，
，
面积等于，
，
，即，
，
；
在坐标轴上存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，
当在轴上时，过作轴于，过作于，如图：

，，
，
又，
≌，
，，
设，则，
，
，
在直线上，
，
解得，
，
当在轴上，左侧时，过作轴，过作于，过作于，如图：

同理可得：，，
设，则，
，
，
解得，
，
当在轴上，右侧时，过作轴，过作于，过作于，如图：

设，
同理可证≌，
，，
，
，即，
解得，
，
，
综上所述，的坐标为或或． 

【解析】由非负数性质求出，，再用待定系数法求出直线的表达式为；
设直线交直线于，根据面积等于，可得，即得；
分三种情况：当在轴上时，过作轴于，过作于，可得≌，，，设，则，可得，代入得，即得，当在轴上，左侧时，过作轴，过作于，过作于，同理可得，当在轴上，右侧时，过作轴，过作于，过作于，设，
同理可得．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的坐标及相关线段的长度，再列方程解决问题．