2021-2022学年重庆市忠县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年重庆市忠县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 下列式子是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列三边能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 数学兴趣小组名学生的期中考试数学成绩、、、、的众数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 使得函数有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列命题为真命题的是(    )

A. 四边相等的四边形是正方形
B. 有一组邻边相等的矩形是正方形
C. 对角线相等的四边形是正方形
D. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

6. 已知、、是的三条边，则下列选项中能判定是直角三角形的是(    )

A. ，， B.
C. ：：：： D. ：：：：

7. 估算的运算结果应在(    )

A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间

8. 设不完全相同的个数据的平均数为；将这个数据与平均数组成个新的数据组．下列统计量中，两组数据一定不同的是(    )

A. 方差 B. 中位数 C. 众数 D. 平均数

9. 矩形中如右图所示，对角线、交于点，为的中点，连接，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 甲、乙两人分别从，两处同时出发，匀速相向而行，相遇时，甲比乙多走米．设甲从处出发后的行走时间为分钟，两人之间的距离为米，如图中的折线表示甲从出发至甲到达地这一进程中与之间的函数关系．根据图象提供的信息，若相遇后，甲的速度变为原来的，乙的速度不变，则当甲到达地时，乙距离地还有米．(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如果关于的不等式组有且只有两个奇数解，且一次函数不经过第四象限，则符合条件的所有整数之和为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：是“整弦数”；两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；若为“整弦数”，则不可能为正整数；若，，，且，，，，，均为正整数，则与之积为“整弦数”；若一个正奇数除外的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”其中结论正确的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 的倒数是______．
14. 如图，已知一次函数与的图象都经过，且分别与轴分别交于点、，则的面积为______．

15. 若四点，，，，则______．
16. 如图，正方形中，点是上一点，连接，将沿翻折得到，交于点，连接，若，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 如图，在平行四边形中，，为对角线．
    尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点、，垂足为，连接、；保留作图痕迹不写作法
    在的条件下，若，，求四边形的面积．

19. 年，中共中央办公厅国务院办公厅印发了关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见简称“双减”文件，张校长为了解本校学生家长对“双减”文件的知晓情况，通过开展问卷测评活动，并从测评卷中随机抽取名家长测评成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    设表示抽取家长的测评成绩，请在答题卡统计表填写统计数据：

直接写出名家长的测评成绩中位数和众数；
已知该校有名家长，请估计成绩不低于分家长约有多少人？

20. 在如图的平面直角坐标系中，设直线为，直线、分别与轴相交于点、已知点、．
    求直线的解析式；
    求的面积．

21. 如图，小李同学想测自己居住楼的高度，他起先站在点从处张望向自己家的阳台时，测得仰角恰为，接着他向楼的方向前进了，从处仰望楼顶时，测得仰角恰为，已知小李同学身高为，，设参考数据：
    求他起先站立位置与楼的距离结果保留根号；
    求楼高结果保留一位小数．

22. 若一个四位正整数的四个数位上的数字之和为，则称这个四位正整数为“发财数”．
    直接写出最小的“发财数”和最大的“发财数”；
    设，，且，均为整数，若是一个“发财数”，求与的数量关系，并写出的所有可能取值．
23. 忠信大道有古箭台和望夫台两段隧道，古箭台隧道挖出立方米泥土，望夫台隧道挖出立方米泥土．若要把这些泥土全部运往，两处填筑，处需要泥土立方米，其余泥土处需要．已知古箭台隧道泥土运往，两处的费用分别为元立方米和元立方米；从望夫台隧道泥土运往，两处的费用分别为元立方米和元立方米设从古箭台隧道运往处泥土立方米，总运费为元．
    求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
    要使总运费最少，古箭台隧道的泥土应怎么调运？
24. 如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，，已知等腰的面积为．
    求直线的解析式；
    若点是轴上一点，点是直线上一点，当的周长最小时，请求出点的坐标．
    点为轴上一点，在平面直角标系中是否存在点，使得点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

25. 在如图中，已知，，在边上取，点是线段上一动点，且，，连接．
    如图，当点与点重合时，若，求的长；
    如图，若点为的中点，连接，求证：；
    如图，在的条件下，连接与交于点，若，直接写出的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，故该选项不符合题意；
B、原式，故该选项不符合题意；
C、原式，故该选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
，，三边不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，
，，三边不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
，，不能作为直角三角形三条边，
故C不符合题意；
D、，，
，
，，能作为直角三角形三条边，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：名学生的期中考试数学成绩、、、、，
众数是，
故选：．
根据题目中的数据，可以直接写出这组数据的众数．
本题考查众数，解答本题的关键是明确众数的定义，会求一组数据的众数．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据二次根式，可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、四边相等的四边形是菱形，故错误，是假命题，不符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，故错误，是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，是假命题，不符合题意．
故选：．
利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】A、，，
，
不是直角三角形，
故A不符合题意；
B、，
，
，
，
不是直角三角形，
故B不符合题意；
C、：：：：，
设，，，
，，
，
是直角三角形，
故C符合题意；
D、：：：：，，
，
不是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的运算结果应在与之间；
故选：．
先根据二次根式的混合运算进行计算，再估算出的范围，即可得出结果．
本题考查了二次根式的混合运算及估算无理数的范围，正确估算出的范围是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将这个数据与平均数组成个新的数据组，则方差变为原方差的，而中位数，众数可能与原来的相同，平均数一定与原来的相同，
故选：．
分别根据方差、中位数、众数以及平均数的定义判断即可．
本题考查了平均数、众数、中位数及方差．掌握求一组数据的平均数、众数、中位数、方差的方法，是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】四边形是矩形，
，，，
，
，

为的中点，
，
，
，
．
故选：．
根据矩形的性质证得平行，从而得出，根据两直线平行，内错角相等得出，再计算即可．
本题考查了矩形的性质以及中位线定理，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；  角：矩形的四个角都是直角； 边：邻边垂直；  对角线：矩形的对角线相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：设甲从出发到与乙相遇所在直线的解析式为，把点，代入得，
，
解得：，
解析式为，
两地相距千米，
由图可知，甲、乙行驶了小时后相遇，设乙的速度为千米小时，
则，解得：，
甲行驶的路程为千米，速度为千米小时，
相遇后速度降为原来的，
即千米小时，
设甲车从相遇到地用了小时，则有，
解得，此时乙走了千米，
乙距离地还有米，
故选：．
根据图象求出甲从出发到与乙相遇所在直线的解式，再求出甲和乙的路程和速度即可．
本题考查了一次函数的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应和表示的数量关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
由不等式组有且只有两个奇数解，得到，
解得：，
一次函数不经过第四象限，
，
解得：，
且为整数，
整数的值为：，、、，
故符合条件的所有整数的和为：．
故选：．
表示出不等式组的解集，由解集有且只有两个奇数解确定出的取值，利用一次函数的性质得出的取值范围进而得出符合题意的值．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确得出的取值范围是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
是“整弦数”，不符合题意；
如，是“整弦数”，
，
两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；
若为“整弦数”，则为正整数”，不符合题意；
，，，且，，，，，均为正整数，
，
与之积为“整弦数”，符合题意；
设一个正奇数除外为为正整数，
且等于两个连续正整数的和，
较小的正整数为，较小的正整数为，
，
这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．
故选：．
根据“整弦数”的定义即可求解；
举出反例即可求解；
根据“整弦数”的定义即可求解；
先求出与之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；
先设一个正奇数除外为为正整数，进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
此题主要考查了整数问题的综合运用，勾股数以及数字变化规律，正确理解“整弦数”的定义是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：的倒数为．
故填．
根据倒数的定义，与它的倒数的积为，由此即可求解．
此题主要考查了求实数的倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

14.【答案】 

【解析】解：把点代入，得，
解得，
点．
把点代入，得，
解得，
点．
，
．
故答案为：．
可先根据点的坐标用待定系数法求出，的值，即求出两个一次函数的解析式，进而求出它们与轴的交点，即，的坐标．在中，底边的长应该是，纵坐标差的绝对值，高就应该是点横坐标的绝对值，因此可根据三角形的面积公式求出三角形的面积．
本题考查的是两条直线相交问题和一次函数的图象上点的坐标特点，通过已知点的坐标来得出两函数的解析式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点为，连接、，过点作轴于，
，，，，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
取的中点为，连接、，过点作轴于，证≌，得，，再证是等腰直角三角形，得，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点，过点作于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，，
，
四边形为矩形，
，
由翻折的性质得：≌，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，先得出，再利用翻折的性质得出≌，进而得出，最好利用直角三角形的判定定理得出结论．
本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
 

17.【答案】解：


；



． 

【解析】先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
根据乘法分配律和完全平方公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：图形如图所示：


四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分线段，
，
四边形是菱形，
四边形的面积． 

【解析】根据要求作出图形即可；
证明四边形是菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：填表如下：

将名家长的测评成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数分别是，，因此名家长的测评成绩的中位数是，
名家长的测评成绩中出现次数最多的是，共出现次，因此名家长的测评成绩的众数是；
人．
答：估计成绩不低于分家长约有人． 

【解析】根据频数统计的方法，可得到家长成绩在各个组的频数；
根据中位数的定义可求出名家长的测评成绩中位数；根据众数的定义可求出名家长的测评成绩的众数；
求出样本中家长成绩不低于分的所占的分率，再乘即可．
本题考查频数分布表、中位数、众数、样本估计总体，掌握中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

20.【答案】解：设直线的解析式，
将点、点分别代入得：
，
解得，
所以直线的解析式为；
将代入直线，得，
解得，
所以直线的解析式为，
在直线中，令，解得，
在直线中，令，解得，
即，，
所以【】． 

【解析】根据待定系数法可以求得直线的解析式；
将坐标代入直线解得的值，从而解得点与点坐标，由此解得三角形的面积．
本题考查了一次函数图象的简单应用，根据一次函数图象得到各种数据是解题的关键．
 

21.【答案】解：设，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
他起先站立位置与楼的距离为；
由题意得：
，
由得：，
，
楼高约为． 

【解析】设，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答；
根据题意得：，再利用的结论可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】解：最小的“发财数”为；最大的“发财数”为．
，，，且，均为整数，
的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．
为“发财数”，
，
与的数量关系为，
又，均为整数，且，
或或或，
的所有可能取值为，，，． 

【解析】根据“发财数”的定义，即可找出最小及最大的“发财数”；
由为“发财数”，即可得出关于，的二元一次方程，化简后即可得出与的数量关系，再结合，均为整数，且，即可找出的所有可能值．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：根据题意，从古箭台隧道运往处泥土立方米，则从望夫台隧道运往处泥土立方米，从古箭台隧道运往处泥土立方米，则从望夫台隧道运往处泥土立方米，
得：，
，
应满足的关系式为：，
解之：，
与之间的函数关系式为．
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，，
因此从古箭台隧道运往处泥土立方米，其余运往处总运费最少． 

【解析】从古箭台隧道运往处泥土立方米，则从望夫台隧道运往处泥土立方米，从古箭台隧道运往处泥土立方米，则从望夫台隧道运往处泥土立方米；再根据每立方米的运费从而可得出与的函数关系．
可取至之间的任何数，利用函数增减性求出即可．
此题主要考查了一次函数应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题关键．
 

24.【答案】解：是等腰三角形，
，
设，则，
等腰的面积为，
，
解得或舍去，
，，
设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
作关于直线的对称点，作关于轴的对称点，连接交轴于，交于，如图：

，，
，，，，
关于直线的对称点为，
，，，
，
，
关于轴的对称点为，
，，
的周长，
而、、、共线，最小，
此时的周长最小，最小值即为线段的长度，
由，得直线解析式为，
令得，
；
存在点，使得点、、、为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设，，而，，
若，为对角线，则，的中点重合，且，
，
解得，
；
若，为对角线，则，的中点重合，且，
，
解得或，
或；
若，为对角线，则，的中点重合，且，
，
解得与重合，舍去或，
，
综上所述，的坐标为或或或． 

【解析】设，根据等腰的面积为，可解得，即得，，用待定系数法可得直线解析式为；
作关于直线的对称点，作关于轴的对称点，连接交轴于，交于，由，，得，，，，可得，，而的周长，当、、、共线，最小，的周长最小，由，得直线解析式为，即得；
设，，而，，若，为对角线，则，的中点重合，且，，可得；若，为对角线，则，的中点重合，且，，可得或；若，为对角线，则，的中点重合，且，，可得．
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，最短路径问题，菱形的性质及应用等知识，解题的关键是分类思想及方程思想的应用．
 

25.【答案】解：当点与点重合时，如图，

，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
点是的中点，
，
，延长交于，
，在中，，
，
，
在中，；

证明：如图，连接并延长至，使，连接，，

点是的中点，
，
，，
≌，
，，
，
，由知，是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
在等腰中，，
，
；

设，则，
，
，，
． 

【解析】先判断出，再判断出是等边三角形，再求出，，，即可求出答案；
如图，连接并延长至，使，连接，，证明≌，推出，，再证明≌，推出，，推出，在等腰中，，可得，可得结论；
设，则，推出，，，代入求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．