2022届河南省南阳市第一中学校高三下学期第四次月考数学（文）试题含解析

2022届河南省南阳市第一中学校高三下学期第四次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合，然后根据并集的定义即可求解.

【详解】解：因为集合，，

所以，

故选：D.

2．设复数z满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先化简出，再计算即可.

【详解】由题知，于是.

故选：C

3．下列函数中，在为增函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据复合函数的单调性判断ABC，利用导数判断D．

【详解】解：A不正确，在每一个单调区间上增，在不是增函数，时函数不存在；B是对称轴为，在不是增函数；C在为减函数，D求导得可，可知D正确

故选：D．

4．已知，则随机选取1个，取到的使的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出不等式的解，再利用几何概型求解.

【详解】因为，，

所以，

所以随机选取1个，取到的使的概率为.

故选：C.

5．如图，在正六边形中，若，为的中点，则（       ）

A．7 B．5 C．3 D．1

【答案】B

【分析】由，再延长AB，DC交于点H，得到各所求向量间的夹角再求解即可

【详解】如图，延长AB，DC交于点H，

则，，

所以

．

故选：B．

6．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为3，离心率为，则以双曲线C的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线焦点到渐近线的距离求得，结合离心率求得，从而求得抛物线的标准方程.

【详解】双曲线的右焦点到渐近线的距离为，

离心率，

，

所以双曲线的右顶点为，

对于抛物线，，

所以抛物线方程为.

故选：C

7．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：

其中，则两个班数学成绩的方差为（       ）

A．3 B．2

C．2.6 D．2.5

【答案】C

【分析】根据方差公式即可求出．

【详解】由题意可知两个班的数学成绩平均数为，则两个班数学成绩的方差为

．

故选：C．

8．已知某锥体的正视图和侧视图如图，则该锥体的俯视图不可能是

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【详解】A项，该椎体是底面边长为2，高为的正四棱锥.

B项，该椎体为底面半径为，高为的圆锥.

C项，该椎体是底面为等腰直角三角形，高为的三棱锥.

D项，由于该图形不满足三视图原则“宽相等”，所以不可能是该锥体的俯视图，故D项不符合题意.

故本题正确答案为D

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

9．已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题干可判断数列为等比数列，通过题干中的条件可求得的通项公式，代入数列中，利用分组求和法及等比数列求和公式进行求解.

【详解】因为，故数列为等比数列，又，所以；

则；

所以.

故选：D.

10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=（       ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】A

【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得

，故选A．

【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．

11．已知数列的前n项和为，若，且，则（       ）

A．-8 B．-3 C．-2 D．8

【答案】B

【分析】先由求,判断出从第二项起为公比为-1的等比数列，得到，代入n=2022即可解出.

【详解】因为①，

所以当时，有，即.

当时，有②，

①-②得：，所以，

即，

所以从第二项起为公比为-1的等比数列.

所以，即.

因为，所以，所以.

所以，解得：-3.

故选：B

12．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设切点为，求得曲线在切点处的切线方程为，进一步求得表达式，讨论的单调性即可求其取值范围.

【详解】设切点为，，

曲线在切点处的切线方程为，

整理得，令，，令，，

所以．

令，则．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．故，

则的取值范围是．

故选：D.

二、填空题

13．若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为__________．

【答案】

【分析】由侧面积是底面积的倍求母线长，进而可以得高，然后可得体积.

【详解】因为侧面积是底面积的倍，所以，所以，因此高为，所以圆锥的体积为.

故答案为：

14．在中，a，b，c分别为三角形的三边长，，，则b的值为______.

【答案】2或3

【分析】先由得，再由余弦定理求得，解方程即可求得b的值.

【详解】由可得，由余弦定理得，

即，解得，又，解得或.

故答案为：2或3.

15．已知，且，求的值为_____．

【答案】

【分析】注意到，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意范围的确定.

【详解】，则，注意到

，于是

，不妨记

，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：

，而，于是

.

故答案为：.

16．过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若点是AC的中点，且，则线段AB的长为_____________

【答案】

【详解】设过抛物线 的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于，因为是的中点，且,所以，解得，即，则的方程为，联立，得，解得，所以.

三、解答题

17．关于棉花质量，主要有以下几个指标：品级、长度、马克隆值、回潮率、含杂率、短纤维率、危害性杂物、棉结等．为研究棉花质量，提高棉花品质，某研究机构在一批棉花中随机抽查了200份棉花样品中的马克隆值、回潮率，得下表：

(1)估计事件“该批棉花马克隆值不超过4.2，回潮率不超过9%”的概率；

(2)根据所给数据，完成下面的列联表：

(3)根据（2）中的列联表，判断是否有99.9%的把握认为该批棉花马克隆值与回潮率有关？

附：

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)有99.9%的把握认为该批棉花马克隆值与回潮率有关

【分析】（1）运用频率估计概率的办法求解；

（2）根据题中的数据按照要求计算即可；

（3）根据列联表中的数据结合公式计算后可得答案.

【详解】(1)由题中的图表，在抽查的200份棉花样品中“马克隆值不超过4.2，回潮率不超过9%”共有份，

所以估计事件“该批棉花马克隆值不超过4.2，回潮率不超过9%”的概率；

(2)由所给数据，所得的列联表如下：

(3)由（2）中列联表中的数据，可得：

，

因此，有99.9%的把握认为该批棉花马克隆值与回潮率有关.

18．在中，角，，所对的边分别为，，，且.

(1)判断的性状，并加以证明；

(2)，，点，分别在线段，上，且，求2的最小值.

【答案】(1)直角三角形；证明见解析

(2)

【分析】（1）由余弦的二倍角公式变形后利用余弦定理化角为边，从而得三角形形状；

（2）求出面积，得为定值，用余弦定理求并利用基本不等式得最小值．

【详解】(1)由，得，所以，       

由余弦定理得，整理得，所以，是直角三角形；

(2)由，，得，，

，       

，

所以，

当且仅当时等号成立，所以的最小值是．

19．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱的中点．

（1）设经过、、三点的平面交于，证明：为的中点；

（2）若底面，且，求四面体的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连结，利用线面平行的判定定理证得平面，利用线面平行的性质定理可以证得，进而得到，即得为的中点；

（2）先利用线面垂直的判定定理证得平面.然后取中点，连，证明平面，找到四面体的高，利用体积公式计算即得解.

【详解】（1）

证明：连结.

因为底面为矩形，所以.

又平面，且平面，

所以平面.

又平面，且平面平面，

所以.

又因为，所以

因为为的中点，所以为的中点.

(2)

平面，平面，

，又，

平面.

取中点，连，

是中点，

，即且平面，

又的面积.

四面体的体积.

【点睛】方法点睛：求几何体的体积常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3）等体积法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.

20．已知椭圆：的离心率为，且短轴长等于双曲线：的实轴长.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若，为椭圆上关于原点对称的两点，在圆：上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意直接列方程求解；

（2）根据题意可得，设直线的方程代入求解，注意讨论斜率是否存在.

【详解】(1)依题意有，解得，.

∴椭圆的标准方程为

(2)∵点在圆：上，

∴

又∵为等边三角形，且为线段的中点，

∴，

①当直线的斜率不存在时，，为椭圆的上下顶点，

∴，不符合题意；

②当直线的斜率存在时，设，直线的方程为

联立

解得，

∴，解得

∴直线的方程为：

21．已知函数且.

（1）求a；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

【答案】（1）a=1；（2）见解析.

【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）＝a可得h（x）min＝h（），从而可得结论；

（2）通过（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，记t（x）＝f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）＝0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0可知f（x0），另一方面可知f（x0）＞f（）．

【详解】（1）解：因为f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），

则f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）＝a．

则当a≤0时h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上单调递减，

所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0．

因为当0＜x时h′（x）＜0、当x时h′（x）＞0，

所以h（x）min＝h（），

又因为h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，

所以1，解得a＝1；

另解：因为f（1）＝0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），

所以等价于f（x）在x＝1处是极小值，

所以解得a＝1；

（2）证明：由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，

令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t（x）＝2x﹣2﹣lnx，则t′（x）＝2，

令t′（x）＝0，解得：x，

所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在两根x0，x2，

且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，

所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，

所以f（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，

由x0可知f（x0）＜（x0）max；

由f′（）＜0可知x0，

所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，

所以f（x0）＞f（）；

综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）对于直线方程，消参即可，对于极坐标方程代入公式整理即可；

（2）点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径.

【详解】(1)由得，

故直线的普通方程是．

由，

代入公式得，

故曲线的直角坐标方程是．

(2)方法一：的直角坐标方程为，

曲线：化为标准方程是，

圆心到直线的距离为，

则点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径，即．

方法二：设点，点到直线的距离

，

当时，最大值为．

23．已知函数．

(1)当m＝2时，解不等式；

(2)若函数有三个不等实根，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分段法解绝对值不等式；（2）有三个不等实根转化为有两个大于0的实根，列出不等式组，求出实数m的取值范围.

【详解】(1)当m＝2时，，

，

解得：或

综上：不等式的解集为.

(2)由题意得：有三个不等实根，

令，则与有三个交点，

结合函数图象可知，满足要有两个交点，

即有两个大于0的实根，

故，解得：

所以实数m的取值范围是.