2022届吉林省长春市第二实验中学高三下学期5月月考数学试题含解析

2022届吉林省长春市第二实验中学高三下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先解出集合A，再求出.

【详解】集合.

因为，所以.

故选：B

2．已知复数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出，代入计算即得解.

【详解】解：由题可得，

所以.

故选：A.

3．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得到回归直线方程，后来工作人员不慎将下表中的实验数据丢失.

则上表中丢失的实验数据的值为（       ）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

【答案】D

【分析】根据给定数据求出样本中心点，再借助回归直线必过样本中心点即可计算作答.

【详解】由表中数据可得，，

将点代入中，得，解得，

所以丢失的实验数据的值为2.5.

故选：D

4．已知函数是奇函数，当时，，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数为奇函数求出当时，函数的函数解析式，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.

【详解】解：因为函数是奇函数，所以，且

当时，则，

则，

所以当时，，

则，解得，

，解得，

所以不等式的解集是.

故选：B.

5．已知，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知得值，待求式用二倍角公式变形再转化为关于的二次齐次式，弦化切代入求值．

【详解】由得，

．

故选：D．

6．已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得出关于、的值，可求得、的值，再利用等比数列的求和公式可求得.

【详解】由等比数列的性质可知，因为，则，

由已知可得，可得，，则，

因此，.

故选：B.

7．已知实数满足，则目标函数的最大值为（       ）

A． B．5 C． D．3

【答案】D

【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．

【详解】作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，

联立，解得，即点，

作直线，在直线中，表示直线的纵截距，因此直线向上平移时，纵截距增大，即增大，

所以平移直线，当它过点时，有，

故选：D．

8．已知实数a，b满足，且，则的最小值为（       ）.

A．1 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】对已知等式进行变形，然后利用基本不等式进行求解即可.

【详解】由，

，

当且仅当时取等号，即时取等号，

故选：C

9．已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于y轴对称，则的最小值为（       ）

A．1 B．2 C． D．5

【答案】D

【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的奇偶性进行求解即可.

【详解】，

因为该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，

所以，

因为的图象关于y轴对称，

所以是偶函数，

因此有，

因为，所以当时，有最小值，最小值为5，

故选：D

10．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取的中点，连接，，即可得到，从而为异面直线与所成的角的平面角，再利用余弦定理计算可得．

【详解】解：取的中点，连接，，，，

由正方体的性质可知且，所以为平行四边形，

所以，

所以异面直线与所成的角的平面角为，

又，

则，，

则，

所以，

故选：C．

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，．在第一象限的渐近线上恰好存在一点M使为直角，若，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据双曲线渐近线方程，结合锐角三角函数定义、余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可.

【详解】该双曲线的渐近线方程为：，由题意可知，

因为为直角，所以有，则有，

因为，

即，，

因此，

在中，由余弦定理可知：

，

故选：C

12．已知函数在上有且只有一个零点，则实数的最小值为（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】先判断函数的奇偶性，，设，则，再对分和两种情况讨论得解.

【详解】解：由题可知，，为偶函数，，且.

设，则，

当时，，故在上单调递增，

故当时，，即，所以在上单调递增，

故在上没有零点.

由为偶函数，可知在上有且只有一个零点；

当时，存在，使，

当时，，即在上单调递减，

故，即，所以在上单调递减，

故，且，则在上有零点，此时不符合条件.

故，即实数的最小值为.

故选：D.

二、填空题

13．曲线在处的切线与直线平行，则___________.

【答案】

【分析】求得，得到，根据题意得到，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

可得，，

因为曲线在处的切线与直线平行，

可得，所以.

故答案为：

14．已知，是抛物线上的动点，且满足，则中点的横坐标的最小值为___________.

【答案】

【分析】先过点，分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，即可得解.

【详解】设抛物线的准线为，焦点为，则，

过点作于，过点作于，

连接，，则，

得，解得，所以的最小值为，

故答案为：.

15．在三棱锥中，点在底面的射影是的外心，，则该三棱锥外接球的体积为___________.

【答案】

【分析】先由正弦定理得，外接圆的半径，再由勾股定理，即可求出半径,从而可得外接球体积.

【详解】解：设的外心为,连接,则球心在

上，连接,

则为外接圆的半径r,

连接,设外接球的半径为R,

则,

在中，由正弦定理得

解得,即,

在中，

在,中,即

,解得：,

所以外接球的体积为：，

故答案为：

三、解答题

16．在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】由题可知，，，设，则，将模长和数量积代入由二次函数的性质求出最小值.

【详解】由题可知，，，设，

则则所以

，

当时，的最小值为.

故答案为：.

17．设中角，，的对边长分别为，，，.

(1)求角；

(2)若，的面积，的平分线交于点，求线段的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和差的正弦公式化简可得，从而得解；

（2）由面积公式，在中，利用余弦定理，求出，可得，进而知，再在中，由正弦定理，即可得解．

【详解】(1)解：由正弦定理及，知，

所以，

所以，

即，

因为，所以，

又，所以．

(2)解：因为，的面积，

所以，所以，

在中，由余弦定理知，，所以，

因为，所以为直角三角形，且，

因为的平分线交于点，所以，

所以，

在中，由正弦定理知，，即，

解得．

18．如图，已知四棱锥中，平面，且.

(1)求证：平面；

(2)当直线与底面所成的角都为，且时，求出多面体的体积.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，设交于点，连接，根据相似比证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）根据平面，可得即为直线与底面所成的角的平面角，即为直线与底面所成的角的平面角，再根据即可得出答案.

【详解】(1)证明：连接，设交于点，连接，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

又平面，平面

所以平面；

(2)解：因为平面，

所以即为直线与底面所成的角的平面角，

即为直线与底面所成的角的平面角，

所以，

所以，

，，

设点到平面的距离为，

因为，

所以，

故，

，

所以.

19．已知高三某学生为了迎接高考，参加了学校的5次模拟考试，其中5次的模拟考试成绩如表所示，

设变量满足回归直线方程.

(1)假如高考也符合上述的模拟考试的回归直线方程，高考看作第10次模拟考试，预测该生2021年的高考的成绩；

(2)从上面的5次考试成绩中随机抽取3次，其中2次成绩大于500分的概率.

参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.

【答案】(1)511

(2)

【分析】（1）根据题中公式求出，从而可求得回归方程，再将代入，即可得出答案；

（2）利用古典概型概率公式即可得出答案.

【详解】(1)解：，

则，，

所以，，

所以回归方程为，

当时，，

所以预测该生2021年的高考的成绩为511；

(2)解：上面的5次考试成绩中，成绩大于500分的有2次，

则2次成绩大于500分的概率为.

20．已知椭圆的左､右焦点分别为，下顶点为，直线与的另一个交点为，连接，若的周长为，且的面积为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆交于两点，当为何值时，恒成立？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知，根据椭圆的定义及的周长，可以求解出的值，在求解出直线的方程，与椭圆联立，求出点坐标，再利用的面积即可求解出的值，进而求解出椭圆方程；

（2）把直线的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理及建立方程，即可求解出的值.

【详解】(1)设，由椭圆定义可知，的周长为，故，

直线的方程为与椭圆联立可得，

所以的面积为，即，解得

或（舍去），则，所以椭圆的标准方程为.

(2)联立，得，，

由（1）可知，，设，，

则，，，，

所以，解得

或（舍去），所以当时，恒成立.

21．已知函数.

(1)讨论函数的单调性与极值；

(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.

（2）时，，令，求函数的最小值，得到答案.

【详解】(1)，.

①当时，恒成立，

在R上单调递增，无极大值也无极小值；

②当，时，，

时，，

在上单调递减，在单调递增.

函数有极小值为，无极大值.

(2)若对任意，恒成立，

则恒成立，即.

设，则，令，

解得，当时，，当时，，

在上为减函数，在上为增函数，，

，当时满足对任意，恒成立，

实数a的取值范围为.

22．在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求的直角坐标方程和的极坐标方程；

(2)设点，直线与交于、两点，求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线的普通方程，将直线的参数方程化为普通方程，再将普通方程转换为极坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，列出韦达定理，利用的几何意义以及韦达定理可求得所求代数式的值.

【详解】(1)解：将曲线的极坐标方程化为普通方程可得，即，

将直线的参数方程化为普通方程可得，

将直线的普通方程化为极坐标方程可得.

(2)解：易知点在直线上，设点、在直线上对应的参数分别为、，

将直线的参数方程代入曲线的普通方程可得，，

由韦达定理可得，，

所以，，

因此，.

23．已知函数.

(1)解关于的不等式；

(2)求满足的实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）转化为分段函数，即可求解；

（2）直接化简，即可求解.

【详解】(1)函数，

因为，，

故当时，，解得，，所以；

当时，，解得，无解；

当时，，解得，

故解集为：

(2)，即，

解得：或.