2022届河南省豫北名校联盟高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题含解析

2022届河南省豫北名校联盟高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由集合的并集运算即可得出结果.

【详解】

故选：D

2．已知为实数，为虚数单位，若，则（       ）

A． B． C．1 D．3

【答案】B

【分析】根据，转化为，再利用复数相等求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查复数的运算及复数相等，属于基础题.

3．针对时下的“抖音热”某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（       ）人

附表：

附：A．20 B．40 C．60 D．80

【答案】C

【分析】设男女生人数共有n人，根据男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，算出a，b，c，d的值，代入公式解得，然后根据有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则有求解.

【详解】设男女生人数共有n人，则男生喜欢欢抖音的人数有，男生不喜欢欢抖音的人数有，

女生喜欢欢抖音的人数有，男生不喜欢欢抖音的人数有，

所以，

因为有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，

所以，

解得，

所以，

所以调查人数中男生可能有60人.

故选：C

【点睛】本题主要考查独立性检验，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

4．平面向量与的夹角为，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量模的计算公式计算即可得答案.

【详解】解：因为向量与的夹角为，，，

所以，，

所以根据向量模的计算公式得

故选：C

5．已知函数，则下列结论中错误的是（       ）

A．为偶函数 B．的最大值为

C．在区间上单调递增 D．的最小正周期为

【答案】C

【分析】利用二倍角公式和三角函数性质对每个选项进行判断即可.

【详解】已知函数，

当， 时，

，

当， 时，

，

A选项，，所以 为偶函数正确，

B选项，的最大值为，正确，

C选项，在区间上不单调，错误，

D选项，的最小正周期是，D选项正确，

故选：C.

6．已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，平面，且，则该三棱锥外接球的表面积为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由于球中球心与球的小圆圆心的连线垂直于这个小圆，利用也垂直于这个小圆，即可利用球心与小圆圆心建立起直角三角形，，根据题意可求出是底面三角形的外接圆的半径，利用计算即可，最后即可求出球的表面积．

【详解】由已知得，作下图

，连结，延长至圆上交于H，

过作交于，

则为，所以，为斜边的中点，

所以，为的中位线，为小圆圆心，则为的中点，则

，则，，

则球的半径

球的表面积为

答案选D.

【点睛】本题考查计算球的表面积，关键在于利用进行计算，难点在于构造三要素相关的直角三角形进行求解，难度属于中等．

7．等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则（       ）

A．5 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据是等比数列，由 ，得到，再由对数运算求解.

【详解】已知向量，，

所以，

因为是等比数列，

所以，

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，等比数列的性质，以及对数运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

8．已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据圆的半径大于零可求得；利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离，利用弦长可求得；综合可得的取值范围.

【详解】由题意知，圆的方程为：，则圆心为，半径为

则：，解得：

圆心到直线的距离为：

，解得：

综上所述：

本题正确选项：

【点睛】本题考查直线被圆截得弦长相关问题的求解，关键是明确弦长等于，易错点是忽略半径必须大于零的条件.

9．已知在中，，，角的平分线，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先在中，利用正弦定理得到，进而得到，从而得到，然后在中，利用正弦定理求解.

【详解】在中，由正弦定理得

，所以，

因为，

所以，，

，

在中，由正弦定理得：，

所以.

 故选：C

【点睛】本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10．实数满足条件，则的最小值为（        ）

A．16 B．4 C．1 D．

【答案】D

【详解】有题得如下可行域：

则过时，的最小值为，故选D．

11．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线右支于点，且为线段的中点，则该双曲线的离心率是

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得点的坐标，根据中点坐标公式求得点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简后求得双曲线的离心率.

【详解】由于双曲线焦点到渐近线的距离为，所以，所以，由于是的中点，故，代入双曲线方程并化简得，即，.

【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查中点坐标公式，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.双曲线焦点到渐近线的距离是一个定值，这个要作为结论来记忆.要求双曲线的离心率，可从一个等式中得到，本题通过双曲线上一个点的坐标来得到一个等式，由此解出双曲线的离心率.

12．已知函数，函数在定义域内恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】函数在定义域内恰有三个不同的零点，则函数的图象与的图象恰有三个不同的交点,数形结合找到临界位置,平移函数即可得解

【详解】函数在定义域内恰有三个不同的零点，则函数的图象与的图象恰有三个不同的交点.

由得: ,

相切时有: 得;

由得,

相切时有: 得.

在处切线斜率为.

如图所示，函数的图象与函数的图象相切，函数的图象过点，函数的图象过点，函数的图象与函数的图象相切，从而结合图象可知实数的取值范围为，

故选:A.

【点睛】本题主要考查了利用数形结合研究函数的零点,将其转化为两个函数的交点,准确作图是解题的关键,属于中档题.

二、填空题

13．若曲线在点处的切线经过坐标原点，则__________．

【答案】

【详解】y′＝αxα－1，∴y′|x＝1＝α.

曲线在点(1,2)处的切线方程为y－2＝α(x－1)，将点(0,0)代入方程，得α＝2.

14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则________.

【答案】

【解析】运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．

【详解】解：设的内切圆与相切于D，E，F，

设，

则，

由椭圆的定义，可得，，

即有，

即有：，即，

再由，

故答案为：.

【点睛】本题考查椭圆的方程的定义，考查切线的性质，内心的定义，属于中档题．

15．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳.19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件.图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在处测得处的仰角为37度，在处测得处的仰角为45度，在处测得C处的仰角为53度，点所在等高线值为20米，若管道长为50米，则点所在等高线值为______.（参考数据）

【答案】50

【分析】根据垂直投影图画出水平投影图，利用三个直角三角形可求出B的高度.

【详解】根据垂直投影图，画出水平投影图如下：

由，，得，设，

则，得

由，得，

解得，所以点所在等高线值为20+30=50.

故答案为：50.

【点睛】新文化类题目，先仔细读懂题意，再转化为数学模型，利用相关数学知识可解；

此题的关键是由俯视图（垂直投影）画出正视图（水平投影），利用三角函数可解.

16．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为______.

【答案】

【分析】利用导数研究函数可得函数的单调性情况，且时，，时，，同时注意，则，所以，构造函数，，利用导数求其最小值即可．

【详解】函数的定义域为，，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

又，所以时，；时，；时，，

同时注意到，

所以若存在，，使得成立，

则且，

所以，所以，

所以构造函数，而，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：利用同构的方式将联系起来，这样就构造了新函数，然后利用导数研究函数的单调性及最值.

三、解答题

17．随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和），现已知，求解下列问题；

（1）经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程；

（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润（单位：万元）满足，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．

参考公式；线性回归方程，其中

【答案】（1）；（2）开设8或9个分店时，才能使得总利润最大．

【分析】（1）先求得，再根据提供的数据求得，，写出回归直线方程；

（2）由（1）结合，得到，再利用二次函数的性质求解.

【详解】（1）由题意得，

所以．

（2）由（1）知，，

所以当或时能获得总利润最大．

18．已知三棱柱，，平面，，为棱上一点，若.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）要证线面垂直，只要证垂直于平面内的两条相交直线，根据题目所给垂直关系可得，在根据比例关系，即可得解；

（2）通过转体积法可得，即可得解,

【详解】（1）平面，平面，

所以，又，

所以平面，

平面，所以，

所以，

在和有：，

可得，

所以 ，，

所以平面，得证；

（2）

.

19．已知等比数列满足：，．

（1）求的通项公式；

（2）令，其前项和为，若的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用等比数列的通项公式将已知条件转化为关于和的方程，即可求解；

（2）由（1）可得的通项，利用等差数列的求和公式可求得，再利用基本不等式即可求最值.

【详解】由题意两式相除可得：，

所以，解得：．

即的通项公式为．

（2），

，

因为，，当且仅当即时等号成立，

所以

得，

所以的最大值为.

【点睛】易错点睛：对于函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：

（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；

（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；

（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.

20．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，的周长为为坐标原点，

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用题意定义可求出，再根据离心率可得答案；

（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可表示出的面积，再利用函数的性质可得答案.

【详解】（1）设椭圆半焦距为由题意可知，

由离心率有，

所以椭圆方程为，

（2）设直线，联立方程组，

消去得，

设，

有，

由，

所以的面积，

函数，令，

则，

因为，所以，。

所以在上单调递增，

因为，所以，

当且仅当时取等号，

所以，

所以面积的最大值为．

【点睛】本题考查了椭圆的方程、椭圆与直线的位置关系，解题的关键点是利用韦达定理表示出三角形的面积，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.

21．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若恒成立，求正实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）利用导数，并讨论、研究的符号，进而判断的单调性；

（2）将问题转化为恒成立，构造中间函数，只需求时的范围即可.

【详解】（1）且，

∴时，即单调递增；

时，有，即在上单调递增；有，即在上单调递减；

综上，时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增；

（2）由题设，，即恒成立，

令，则，

∴由（1）知：时有极小值也是最小值，故只需即可.

若，则，即在上递减，又，

∴时，，即恒成立.

∴正实数的范围为.

【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为恒成立，并构造函数并应用导数研究最值，进而求参数a的范围.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为－2cos=3．

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）曲线与相交于两点，求的值．

【答案】（1）；；（2）3．

【分析】（1）曲线参数方程消去参数t，可得到的普通方程，进而将其转化为极坐标方程即可，利用极坐标方程与直角坐标方程间的关系，可将的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）结合曲线、的极坐标方程，可得，设两点所对应的极径分别为，可求得的值，进而可得到的值．

【详解】曲线的普通方程为，

即极坐标方程为

曲线的直角坐标方程为，

即．

曲线的极坐标方程为，代入，

可得，

则．

【点睛】求解与极坐标有关的问题的主要方法：

（1）直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；

（2）转化为直角坐标系，用直角坐标求解.

23．已知函数

（1）解不等式；

（2）若，且，求证：.

【答案】（1），（2）证明见解析

【解析】（1）将已知条件代入函数可得分段函数，然后分类讨论求解不等式即可；

（2）将不等式化简展开得，再平方作差即，再进行因式分解得，即得证该不等式成立

【详解】解：（1）由题意得，

当时，由，解得，

当时，不成立，

当时，由，解得，

所以不等式的解析为，

（2）由题意可得，要证

即证，

即证

因为

所以

所以，所以，

所以

【点睛】方法点睛：此题考查了解绝对值不等式、证明不等式，常见的方法有：

（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合的思想；

（2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

（3）通过构造函数，利用函数图像求解；

（4）证明不等式的方法有：比较法、分析法、综合法等