2022届湖南省长沙市长郡中学高三下学期二模数学试题含解析

2022届湖南省长沙市长郡中学高三下学期二模数学试题

一、单选题

1．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图象判断出阴影部分为，由此求得正确答案.

【详解】，

由图象可知，阴影部分表示.

故选：A

2．在复平面内,复数对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】由题意，复数，

所以该复数在复平面内对应的点为，在第一象限.

故选：A.

3．在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是（       ）

A．60 B．160 C．180 D．240

【答案】B

【分析】根据二项式系数之和公式，结合二项式通项公式进行求解即可.

【详解】，解得.二项式的展开式的通项为：，

令，解得，所以的系数是.

故选：B.

4．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意作出轴截面图，求出圆台母线长，利用侧面积公式求解.

【详解】因为圆台下底面半径为5，球的直径为，

所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为，画出轴截面如图，

设圆台上底面圆的半径，则

所以球心到上底面的距离，即圆台的高为3，

所以母线长，

所以，

故选：C.

5．设等比数列满足，则的最大值为（       ）

A．64 B．128 C．256 D．512

【答案】A

【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可.

【详解】由，得.

又，得.故.

由，得，得，且.故当或4时，取得最大值，即.

故选：A.

6．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

【详解】因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.

7．已知函数的部分图像如图所示，则（       ）

A．函数的最小正周期是 B．函数关于直线对称

C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上的最大值是

【答案】D

【分析】根据函数的部分图像得出周期求出，将代入即可求出的值，进而得出的解析式，根据三角函数的性质及对称轴对称中心对应的函数值的特征进行分析即可求解.

【详解】由函数图像可知，所以，

因为，所以，故A错误；

又函数过点，所以，所以，

解得，因为，所以，所以，，

当时，，故不是函数的对称轴，故B错误；

当时，，因为在上不单调，故C错误；

当时，，所以，故D正确；

故选：D.

8．已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由分析知的值域为，当时，，要使的值域为，则，且，即可求出a的取值范围.

【详解】因为的值域为，所以的值域为.

当时，.

当时，①若，即，，此时不满足条件.

②若，即，，此时的值域不可能为.

③若，即，，要使的值域为，则，即

解得：或，又因为，所以.

故选：B.

二、多选题

9．2022年北京冬奥会成功举办.中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中错误的是（       ）

A．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降

B．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加

C．2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等

D．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6%

【答案】ACD

【分析】根据统计图，结合上升和下降的情况以及数据逐一判断即可.

【详解】对于A：2016年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加，2018年至2021年同比增长率逐年下降，故A错误；

对于B：由条形图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故B正确；

对于C：由条形图可知，2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是2015年滑雪人次为800万，2020年滑雪人次为1750万，同比增长基数差距大，同比增长人数不相等，故C错误；

对于D：由统计图可知，2016车至2021年，中国雪场滑雪人次的增长率约为，故D错误，

故选：ACD.

10．已知向量，则下列命题正确的是（       ）

A．存在，使得 B．当时，与垂直

C．对任意，都有 D．当时，

【答案】BD

【分析】A选项，利用向量平行及三角函数恒等变换得到方程，，故A错误；B选项，利用垂直得到方程，求出正切值；C选项，计算出两向量的模长，得到，C错误；利用向量的数量积列出，平方后得到，求出正切值.

【详解】对于选项A：若，则，即，

所以不存在这样的，故A错误；

对于选项B：若，则，即，得，故B正确；

对于选项C：，当时，，

此时，故C错误；

对于选项D：，两边同时平方得，化简得，等式两边同除以得，

即，所以，故D正确.

故选：BD.

11．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于两点A，B，O为坐标原点，则（       ）

A．C的准线方程为 B．若，则

C．若，则l的斜率为 D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分，则

【答案】BC

【分析】根据抛物线的定义，结合一元二次方程根与系数关系、中点坐标公式逐一判断即可.

【详解】因为抛物线的焦点F到准线的距离为2，所以，

所以抛物线方程为，则焦点，准线为，故A错误；

若，则，所以，所以，故B正确；

可设，

直线的方程为，与抛物线联立，

消去x，可得，

可得，

由抛物线的定义可得，

即，即，

解得，则直线的斜率为，故C正确；

对于D，若x轴平分，则，又轴，

所以，所以，

所以，即，所以，故D错误；

故选：BC.

【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.

12．已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（       ）

A． B．平面

C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为

【答案】BCD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.

【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则，

所以，

由平面，得，即，

化简可得：，

所以动点P在直线上，

对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误；

对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确；

对于选项C：，C选项正确；

对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．已知函数是奇函数，则__________.

【答案】1

【分析】根据函数奇偶性的性质进行求解即可.

【详解】设，因为是奇函数，

所以，

即，

整理得到，故.

故答案为：1.

14．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.记事件A为“抽取到的两张卡片上的数奇偶性相同”，事件B为“两张卡片上的数字均为偶数”，则________.

【答案】

【分析】利用条件概率公式进行求解即可.

【详解】，

故答案为：

15．已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是_________.

【答案】8

【分析】根据圆的性质，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】因为直线过圆心，所以，

因为a、b为正实数，

所以，当且仅当时取等号，即时取等号，

故答案为：8

四、双空题

16．已知数列的前n项和（a为常数），则________；设函数且，则__________.

【答案】     2；    

【分析】根据数列前n项和与第n项的关系、等差数列的定义、等差数列的性质，结合辅助角公式、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可.

【详解】当时，，

当时，显然成立，

因为当时，，

数列为等差数列，且公差，所以.

又因为.

令，因为，

所以为奇函数，

因为，所以在R上单调递增.

由题意得，

因为数列是公差不为0的等差数列，其中，

则，假设，

.

因为所以.

假设，同理可得，

综上，.

故答案为：2；

【点睛】关键点睛：构造新函数利用导数的性质判断单调性是解题的关键.

五、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，

(1)求角A的大小；

(2)请在① ② 两个条件任选一个，求的面积.（如果分别选择多个条件进行解答.按第一个解答过程计分）

【答案】(1);

(2)选① ，选② .

【分析】（1）根据正弦定理转化为角的三角函数，利用二倍角公式、诱导公式化简即可得解；

（2）选① 由正弦定理求出a, 再由余弦定理求出c, 利用三角形面积公式求解；选② 直接由余弦定理求出c，再由三角形面积公式求解.

【详解】(1)由可得：，

即，

即，

因为，

所以，

所以， 即, .

(2)选① ：，由正弦定理可得，

即，解得，

由余弦定理可得，即，解得(负值舍)，

所以.

选② ：，由余弦定理可得，

即，解得，

所以.

18．已知数列满足，.

(1)记，证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)；证明见解析

(2)

【分析】（1）根据递推关系，求出 的通项公式即可证明；

（2）将 前2n项之和分为奇数项和偶数项分别求和即可.

【详解】(1)因为，当n为奇数时， ，当n为偶数时，   ，且，

所以，

所以，∴，

所以为以2为首项，2为公比的等比数列，所以；

(2)因为，

所以，

所以数列的前项和；

综上，所以，数列的前项和.

19．某食品企业与甲、乙两超市签订了长期供应某种海鲜罐头的合同，每月供应一次，经调研发现：①每家超市的月需求量都只有两种：400件或600件，且互相不受影响；

②甲、乙两超市的月需求量为400件的概率分别为，.

(1)求两超市的月需求总量为1000件的概率；

(2)已知企业对此罐头的供货价格为30元／件，生产此罐头的成本为：800件内（含800）为20元／件，超过800件但不超过1000件的部分为15元／件，超过1000件的部分为10元／件.企业拟将月生产量X（单位：件）定为800或1000或1200.若两超市的月需求总量超过企业的月生产量，则企业每月按月生产量供货，若两超市的月需求总量不超过企业的月生产量，则企业每月按月需求总量供货.为保障食品安全，若有多余罐头企业每月自行销毁，损失自负.请你确定的值，使该企业的生产方案最佳，即企业每月生产此罐头的利润的数学期望最大，并说明理由.

【答案】(1)

(2)时，该企业每月生产此罐头的利润的数学期望最大，理由见解析

【分析】（1）确定两超市需求量为400件或600件的概率，根据相互独立事件的概率计算，可求答案；

（2）分别计算企业生产量为800,1000,1200件时的利润的期望值，比较可得答案.

【详解】(1)由题意得，甲超市需求量为400件或600件的概率分别为，，

乙超市需求量为400件或600件的概率分别为，，

故两超市的月需求总量为1000件的概率；

(2)记两超市月需求总量为，

则，，，

当时，此时800件没有剩余，故（元）；

当时，（元）；

当时，（元）；

则当时，该企业每月生产此罐头的利润的数学期望最大.

20．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，.

(1)证明：；

(2)求当面与面所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、性质建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积坐标表示公式进行运算证明即可；

（2）利用空间向量夹角公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.

【详解】(1)因为三棱柱是直三棱柱，

所以底面，底面，

所以，

因为，所以，

又，平面，

所以平面.

所以两两垂直.

以B为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.

所以.

由题设.

（1）因为，

所以，

所以；

(2)设平面的法向量为，

因为，

所以，即.

令，则.

因为平面的法向量为，

设平面与平面的二面角的平面角为，

则.

当时，取最小值为，

此时取最大值为，

所以，

此时，三棱锥的体积.

21．已知平面内两点，动点P满足：.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由椭圆的定义判断轨迹为椭圆，直接求方程即可；

（2）分析直线的斜率不存在时不合题意，直线的斜率存在时，设，当三点共线时，由相切求出，联立椭圆方程，由弦长公式求解，再证当时，求出直线方程可知过点，得证三点共线.

【详解】(1)因为.

所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆，

其中，

所以轨迹C的方程为.

(2)当直线的斜率不存在时，直线：，不合题意；

当直线的斜率存在时，设，

必要性：

若三点共线，可设直线，即，

由直线与曲线相切可得，解得，

联立可得，所以，

所以，

所以必要性成立；

充分性：

设直线即，

由直线与曲线相切可得，所以，

联立可得，

所以，

所以，

化简得，所以，

所以或，所以直线或，

所以直线过点，M，N，三点共线，充分性成立；

所以三点共线的充要条件是.

22．已知．其中，为自然对数的底数．

(1)设曲线在点处的切线为l，若l与两坐标轴所围成的三角形的面积为，求实数a的值．

(2)若，当时，恒成立时，求a的最大值．

【答案】(1)或

(2)3

【分析】（1）根据导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程，再求得l与两坐标轴的截距，进而利用l与两坐标轴所围成的三角形的面积为求解即可

（2）参变分离得到，再求导分析的单调性，求出极值点的表达式，进而得到的最小值范围，进而求得a的最大值

【详解】(1)由题，，故，故的方程为，即，由题意可得，令有，故，解得或

(2)当时成立，当时，恒成立即，设，则，令，则，设，当时，，故；当时，，故，综上有，故，故为增函数.又，因为，故，所以，故存在唯一零点使得，故当时，单调递减，当时，单调递增，故，又，即，

故，设，则，故为增函数，又，所以，，故，故要且为正整数则a的最大值为3

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，同时也考查了利用导数解决恒成立问题，遇到带参数时可以考虑参变分离，设极值点分析最值的范围，属于难题