2022届辽宁省辽南协作校高三第三次模拟考试数学试题含解析

2022届辽宁省辽南协作校高三第三次模拟考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：,,所以，故选A.

【解析】集合的运算.

2．在复平面内，复数对应的点是，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得出，再由复数的四则运算求解即可.

【详解】由题意得，则.

故选：A

3．下列一组数据、、、、、、、、、的分位数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用百分位数的定义可求得结果.

【详解】题干中共个数，因为，所以，所求的分位数为.

故选：D.

4．若等比数列的各项均为正数，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等比数列的性质结合对数的运算性质可得结果.

【详解】，

故选：B.

5．马林•梅森（MarinMersenne，1588-1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对作了大量的计算、验证工作．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如（其中p是素数）的素数，称为梅森素数（素数也称质数）．在不超过30的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】列举法找出所有不超过30的素数和梅森素数，计算随机抽取其中3个素数时，不含梅森素数的概率，用1减去即可求出含有一个梅森素数的概率.

【详解】不超过30的素数，有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,一共有10个.

其中梅森素数为：3,7，共有2个.

不含梅森素数的概率为,

则随机选取3个素数，至少有一个梅森素数的概率为.

故选：A.

6．一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（       ）（）

A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1

【答案】B

【分析】依题意求出半衰期，再把的值代入利用换底公式计算，即可求出结果．

【详解】解：根据题意，，即，解得，

，即，

所以，

所以；

故选：B

7．函数是R上的奇函数，函数图像与函数关于对称，则（       ）

A．0 B．-1 C．2 D．1

【答案】C

【分析】由函数是R上的奇函数，可得函数的图像关于点对称，根据条件可得函数的图像关于对称，从而得出答案.

【详解】函数是R上的奇函数，则

设，则，则函数的图像关于点对称

函数图像与函数关于对称，

所以函数的图像关于对称，所以

故选：C

8．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设直线的方程为：，，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，然后根据抛物线的定义可得，然后用基本不等式可求得答案.

【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为：

联立方程组，得

设，则有，即

由抛物线的定义可得

所以，当且仅当时等号成立

所以的最小值是

故选：D

【点睛】本题考查的是抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和基本不等式求最值，考查了学生的转化能力，属于中档题.

二、多选题

9．下列命题正确的是（       ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．命题“”的否定是“”

C．若，则

D．若，则

【答案】BD

【分析】对于A：求出不等式的解集，即可判断出两个命题的关系；

对于B：根据命题的否定规则即可判断；

对于C：根据对数定义域的限制条件即可判断；

对于D：根据不等式的性质即可进行判断.

【详解】因为，，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，所以选项A错误；命题“”的否定是“”，所以选项B正确；当且时，与没有意义，所以选项C错误；若，可得，则，所以选项D正确.

故选：BD.

10．已知长方体，，，则下列结论正确的是（       ）

A．平面平面 B．直线平面

C．直线与直线所成的锐角为 D．四面体外接球的半径为

【答案】AD

【分析】利用面面平行的判定定理可判断A选项；利用反证法可判断B选项；利用异面直线所成角的定义可判断C选项；求出长方体的体对角线长，可判断D选项.

【详解】如下图所示：

对于A选项，因为且，所以， 四边形为平行四边形，

所以，，因为平面，平面，平面，

同理可证平面，因为，所以，平面平面，A对；

对于B选项，若平面，平面，则，

因为平面，平面，，

，平面，平面，，

因为，故矩形不是正方形，则、不垂直，与假设矛盾，B错；

对于C选项，，所以，直线与直线所成的锐角为，

易知，，，

由余弦定理可得，

所以，直线与直线所成的锐角不是，C错；

对于D选项，因为长方体的体对角线为，

所以，四面体外接球的半径为，D对.

故选：AD.

11．已知函数的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为，图象沿x轴向左平移单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是（       ）

A．函数图象的一个对称中心为

B．当到时，函数的最小值为

C．若，则的值为

D．函数的减区间为

【答案】BCD

【分析】根据对称轴和平移可求出函数的解析式，然后根据余弦函数的图像和性质，即可求出对称中心，最值以及单调区间.

【详解】根据相邻两条对称轴之间的最小距离为，可知周期，故；

图象沿x轴向左平移单位后，得到是偶函数，所以 ，故

当，，故A错.

时，，，故B对.

，其中，故，C对.

令，故函数的减区间为，D对.

故选:BCD

12．已知函数，下列选项正确的是（       ）

A．点是函数的零点

B．，使

C．函数的值域为

D．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

【答案】CD

【分析】根据零点的定义即可判断A；利用导数求出函数的单调区间，从而可求得函数的值域，即可判断C；根据函数的单调性分别求出函数在和的最值，即可判断B；方程，即或，结合C选项，方程实数根的个数，即函数与函数的图象交点的个数，结合函数图象即可求出的范围，即可判断D.

【详解】解：对于A，因为，所以是函数的零点，故A错误；

对于C，当时，，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，

又当时，，，

故当时，，

当时，，则，

所以函数在上递增，

故，

故当时，，

综上所述，函数的值域为，故C正确；

对于B，由C可知，函数在上递增，在上递增，

则，

所以不存在，使，故B错误；

对于D，关于x的方程有两个不相等的实数根，

即关于x的方程有两个不相等的实数根，

所以或，

由C知，方程只有一个实数根，

所以方程也只有一个实数根，

即函数与函数的图象只有一个交点，

如图，画出函数的简图，

则或，

所以或，

所以实数a的取值范围是，故D正确.

故选：CD.

【点睛】本题考查了零点的定义，考查了利用到处求函数的单调区间及函数的值域，考查了利用导数解决方程实数根的个数的问题，考查了转化思想及数形结合思想.

三、填空题

13．已知半径为R的圆O内有一条长度为2的弦AB，则_______．

【答案】-2

【分析】设设M为弦AB的中点，连接OM,，将转化为，利用数量积的定义可求得答案.

【详解】设M为弦AB的中点，连接OM,则 ,

故

，

故答案为：

14．的展开式中的系数为_______________

【答案】12

【分析】写出的展开式的通项，令的指数等于3和1，即得展开式中的系数.

【详解】的展开式的通项.

令和，可得的系数为.

故答案为：12.

【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.

15．已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为__________．

【答案】

【分析】根据题意可得，结合椭圆的定义，利用勾股定理构造与的齐次方程即可求解.

【详解】

解：由题可知，为直角三角形，，直线过原点，，故，

又,则,

在中，,即，

又，解得：或（舍去）.

故答案为：.

16．已知空间四边形，，，，，球心O在平面ABC上，且与直线PA、直线PB、直线PC都相切，则球O的半径为__________．（直线与球面有唯一公共点称为直线与球相切）

【答案】

【分析】通过几何关系找到球心，根据已知条件利用等面积法即可求出球O的半径.

【详解】过点作平面,垂足为，

∴△≌△≌△,

∴,

∴为△外接圆的圆心，

又∵△为正三角形，

∴为△外接圆的中心，

由对称性可知点和重合，

由已知得,

过点作边上的垂线,垂足为，即,

,   ,

设与球心O相切于点，则,

,

则球O的半径为,

故答案为：.

四、解答题

17．在①，②，③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，

问题：在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，_______．

(1)求角B﹔

(2)求的范围．

【答案】(1)任选一条件，都有

(2)

【分析】（1）若选①由正弦定理可得，再由余弦定理可得，结合余弦定理可得答案; 若选②由余弦的二倍角公式结合余弦的差角公式可得出答案;若选③由正弦定理结合切化弦可得，从而得到，得出答案.

(2)由正弦定理可得，即，结合,利用正弦的差角公式和辅助角公式化简结合角的范围可得答案.

【详解】(1)选择①：∵，

∴由正弦定理可得：，

∴可得：，可得：，

∴由余弦定理可得：，

整理可得：，∴，

∵，可得：

选择②：，因为

，

所以，

又因为，所以；

选择③：因为，

由正弦定理可得，

又

由，可得，

因为，所以，因为，所以．

(2)在中，由（1）及，

故，

因为，则

﹒

所以的范围为

18．已知四棱锥，底面ABCD是平行四边形，且．侧面PCD是边长为2的等边三角形，且平面平面ABCD．点E在线段PC上，且直线平面BDE．

(1)求证：；

(2)设二面角的大小为，且．求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的性质可得线线平行，即可求证.

（2）根据二面角的大小，可得，进而可得线面角，即可求解.

【详解】(1)连AC交BD于F，连EF．

∵ABCD是平行四边形，∴

∵直线平面BDE，面PAC，面面，

∴∴

(2)方法一：取DC中点O，OC中点G，连PO，OF，GE，BG

∵侧面PCD是边长为2的等边三角形

∴，

∵平面平面ABCD，平面平面

∴平面ABCD

∵

∴

∵∴∴

∴是二面角的平面角

∴

∴∴∴

∴∴

∴，∵

∴，∴平面ABCD

∴为直线EB与平面ABCD所成的角

方法二：

取中CD点O，连PO，则，从而平面ABCD，以B为原点，以的正方向为x轴，y轴，z轴方向建立空间直角坐标系

令，则

设平面PBD的法向量，则

令，得

平面BCD的法向量

由得，即得

∴

设OE与平面ABCD所成的角为

则

∴OE即BE与平面ABCD所成的角得正切值．

19．已知数列中，满足对任意都成立，数列的前n项和为．

(1)若是等差数列，求k的值；

(2)若，且是等比数列，求k的值，并求．

【答案】(1)

(2)；当时，；当时，，.

【分析】（1）利用题干中的递推公式结合等差数列的性质即可求解;

（2）根据已知条件结合等比中项的性质，即可求解的值，解得，分别求解和时的前n项和为.

【详解】(1)若是等差数列，则对任意，

，即，所以，故.

(2)因为且得，

又是等比数列，则

即，得.

当时，，，故是以2为首项，公比为1的等比数列，

此时的前n项和；

当时，，即，

所以，且所以以为首项，公比为-1的等比数列，

又，

所以，当n是偶数时，

，

当n是奇数时，，

，

综上，当时，，

当时，.

20．2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．

(1)若该社区约有2000人，有两种分组方式可以选择：方案一是：10人一组；方案二：8人一组．请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由；

(2)我们知道核酸检测呈阳性，必须由专家二次确认，因为有假阳性的可能；已知该社区人员中被感染的概率为0.29%，且已知被感染的人员核酸检测呈阳性的概率为99.9%，若检测中有一人核酸检测呈阳性，求其被感染的概率．（参考数据：（，）

【答案】(1)方案一工作量更少，理由见解析.

(2)

【分析】（1）根据题干，分别得出两种方案中每组的化验次数的可能取值，分别计算概率，列出分布列，根据分布列求解数学期望，比较两种方案中哪种方案化验次数最少即可.

（2）根据已知条件，利用条件概率的计算公式求解即可.

【详解】(1)解：设方案一中每组的化验次数为，则的取值为1，11，

∴，

，

∴的分布列为：

．

故方案一的化验总次数的期望值为：次．

设方案二中每组的化验次数为，则的取值为1，9

，，

∴的分布列为：

∴．

∴方案二的化验总次数的期望为次．∵260<298，

∴方案一工作量更少．故选择方案一.

(2)设事件A：核酸检测呈阳性，事件B：被感染，

则由题意得，

由条件概率公式可得，

∴该人被感染的概率为.

21．设双曲线，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．

(1)求直线l倾斜角的取值范围；

(2)直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求面积的最小值，并求此时l的方程．

【答案】(1)

(2)最小值为；直线l的方程为.

【分析】（1）由题意设直线l的方程为，设，将直线方程代入双曲线方程，消去，利用根与系数的关系，由题意得，解不等式组可求出的范围，从而可求出直线l倾斜角的取值范围；

（2）由题意可得，由（1）得到的式子代入化简，换元后利用函数的单调性可求得结果

【详解】(1)由双曲线得，

则右焦点，显然直线l的斜率不为0，

设直线l的方程为，由得，

因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设，

则，

解得，

当时，直线l倾斜角，当时，直线l的斜率或，

综上，直线l倾斜角的取值范围为

(2)因为O是AB中点，所以

，令，则

，其中，且

又在单调减，所以，

当，即时求得，此时直线l的方程为

22．已知函数

(1)当时，证明函数有两个极值点；

(2)当时，函数在上单调递减，证明

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）构造函数求导,利用零点存在性定理,判断根的分布,进而可得函数的单调性,即可得极值.

（2）分离参数,转化为恒成立,构造函数,利用放缩法和分类讨论即可求解.

【详解】(1)定义域为

当时

令

∵时，，单调递减，时，，单调递增

所以使

此时时，，单调递增，

时，，单调递减

时，，单调递增

∴是函数的两个极值点．

(2)∵在上单调递减

∴恒成立

∴恒成立

①时，令

∵，∴

∴在单调递减，∴

又∵∴，∴

②时，，∵，∴

∴，∴

又∵，∴

令

令，∴

∴单调递减，∵

使，即

时，单调递增

时，单调递减

∴∴∴，∴

综上

【点睛】本题考查导数的综合应用，极值点，不等式的证明，参数的取值范围，利用导数判断函数的单调性是基本操作，导函数符号对函数单调性的影响，以及零点存在性定理，适当的放缩，把双变量问题通过放缩变成单变量问题.