2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考数学（文）试题含解析

2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合或，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出A的补集，然后再利用并集的运算规则求解.

【详解】解：由题意得：

.

故选：D.

2．已知命题：的虚部为；命题：在复平面内，复数对应的点位于第二象限.则下列命题为真命题的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由复数的除法和乘法运算化简复数，再由复数的概念和几何意义可判断命题 的真假，再对各个选项进行判断，即可得出答案.

【详解】，其虚部为，命题正确.

，

在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，命题错误.

故命题为真命题.

故选:C.

3．某高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的1000名学生编号：1到1000，再用系统抽样的方法随机抽取50位同学了解他们的学习状况，若编号为253的同学被抽到，则下列几个编号中，可能被抽到的是 （       ）

A．83 B．343 C．103 D．213

【答案】D

【分析】根据题意，求得组距为，设第1组中抽取的号码为，根据，求得，结合选项，即可求解.

【详解】由题意，把高三年级的1000名学生编号：1到1000，用系统抽样的方法随机抽取50位同学，

可得组距为，

因为编号为253的同学被抽到，则编号为253的号码位于第13组，

设第1组中抽取的号码为，可得，解得，

令，解得，不符合题意；

令，解得，不符合题意；

令，解得，不符合题意；

令，解得，符合题意.

故选：D.

4．已知的终边与单位圆交于点，则（       ）

A． B． C． D．－1

【答案】A

【分析】根据余弦值的定义可得，再根据二倍角的余弦公式求解即可

【详解】由题得，所以.

故选：A

5．已知抛物线：，若上一点到准线的距离为3，则该点到原点的距离为（       ）

A． B． C． D．4

【答案】C

【分析】由抛物线的定义结合两点间的距离即可求出答案.

【详解】由题得的准线方程为，设该点坐标为，

则，解得，所以，

所以该点到原点的距离为.

故选:C.

6．设等差数列的前项和为，，则（       ）

A．56 B．63 C．67 D．72

【答案】B

【分析】结合等差数列通项公式化简等式，可求得，再结合求值即可；

【详解】设的公差为，则，所以，所以.

故选：B

7．已知向量，满足，，，则（       ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数

【详解】设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故.

故选：B

8．执行如图所示的程序框图，则最后输出的一组结果为（       ）

A．0，25，75 B．4，18，78 C．12，4，84 D．16，0，84

【答案】C

【分析】模拟执行程序即可判断.

【详解】解：第一次输出0，25，75，之后；

第二次输出4，18，78，之后；

第三次输出8，11，81，之后；

第四次输出12，4，84，之后，，结束程序.

故选：C.

9．已知圆锥的底面半径为，当圆锥的侧面积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据圆锥的侧面积公式可得，即可得母线与底面所成角的余弦值为，进而可得正切值.

【详解】设圆锥的母线长为，由题意可得圆锥的侧面积，解得，所以母线与底面所成角的余弦值，由同角三角函数关系可得，，因此母线与底面所成角的正切值.

故选:A

10．已知等比数列的前项和为，且，则“数列递增”是“数列递增”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】从“数列递增”和“数列递增”两方面作为条件分别证明结论是否成立即可.

【详解】因为，且数列递增，所以，因此，所以数列递增，所以“数列递增”是“数列递增”的充分条件；

若数列递增，则，所以，又，所以对成立，即，则，但是的符号不确定，所以数列不一定递增，所以“数列递增”是“数列递增”的不必要条件；

因此“数列递增”是“数列递增”的充分不必要条件.

故选：A

11．若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】根据垂直性质可得，再求导根据导数的几何意义可得切线的方程为，再设函数与直线切于点，列式求解即可

【详解】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.，

设函数与直线切于点，

所以，故，

即，，解得或.

故选：D

12．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先设，，为第一象限的焦点，根据题意得到，从而得到，利用余弦定理得到，再根据即可得到.

【详解】设，，为第一象限的焦点，

则.

在中，，

所以，

化简得：，即，

因为双曲线为等轴双曲线，所以，

所以，解得.

故选：D

二、填空题

13．圆与圆的公共弦所在直线方程______．

【答案】

【分析】将圆的方程作差即可求得公共弦所在直线方程.

【详解】圆，即，圆，即，

作差得：，即公共弦所在直线方程为，

故答案为：.

14．已知函数满足以下三个条件：①的导函数为奇函数；②；③在区间上单调递增，则的一个解析式为_________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由题，可以从常见的奇函数（如正比例函数）作为入手，即可设出，再进一步通过满足其它条件，确定参数的范围，即可写出其中一个符合的解析式

【详解】因为的导函数为奇函数，所以可设，因为，所以，又在区间上单调递增，所以，

因此或等均可.

故答案为： （答案不唯一）

15．鲁洛克斯三角形是指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形，如图①.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触.由于这个性质，机械加工中把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出圆角正方形（视为正方形）的孔来.图②是鲁洛克斯三角形钻头（阴影部分）与它钻出的圆角正方形孔洞的横截面，现有一个质点飞向圆角正方形孔洞，则其恰好被钻头遮挡住，没有穿过孔洞的概率为_________.

【答案】

【分析】设正方形的边长为，求出鲁洛克斯三角形面积，再利用几何概型求解.

【详解】解：设正方形的边长为，鲁洛克斯三角形由三个弓形与正三角形组成，

其面积为，

故所求概率.

故答案为：

三、双空题

16．若实数，满足约束条件，则该约束条件表示的平面区域面积为_________，的最大值为_________.

【答案】     6     6

【分析】先根据约束条件画出可行域，用面积公式求出阴影部分面积；再用的几何意义，表示点与平面区域中的点连线斜率的相反数，只需将点代入即可得的最大值.

【详解】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示：

则该约束条件所表示的平面区域面积，

目标函数，表示点与平面区域中的点连线斜率的相反数，故，即，的最大值为6.

故答案为：6，6.

四、解答题

17．在中，内角，，所对的边分别为，，，.

(1)求；

(2)若，面积为，求的周长．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）根据三角形内角的关系可化为，再利用倍角公式及诱导公式可求得；

（2）利用正弦定理化角为边可得，即，再根据三角形的面积可得，再利用余弦定理可求得，从而可得出答案.

【详解】(1)解：因为，所以，

因为，

所以，

所以，

又，所以，

因为，所以，

故；

(2)解：因为，

所以，所以，

又，所以，

由余弦定理得，

所以，

解得，

所以，则a+b+c=3，

故△ABC的周长为3．

18．如图所示，圆柱中，是母线，为圆柱底面圆的圆周上一点（异于点，且，，三点不共线），为线段的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)若，，求三棱锥的体积的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】（1） 由题意可证得平面，再由面面垂直的判定定理即可得出答案.

（2）由等体积法表示出三棱锥的体积为，再由三角函数的值域即可得出棱锥的体积的最大值.

【详解】(1)证明：由题知，             

又平面，且平面，所以，       

又，平面，所以平面，       

又平面，所以平面平面.

(2)解：由题得三棱锥的体积

，             

当且仅当时，三棱锥的体积取得最大值2.

19．某公司为了解宣传投入对产品销售量的影响，对某款主打产品的宣传投入费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据进行了统计，得到如下统计数据：

(1)已知变量，具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

(2)若宣传投入费用定为50万元，试预测该产品销售量能否超过100万件.

参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】(1)

(2)预测该产品销售量能超过100万件.

【分析】（1）根据最小二乘法即可求解线性回归方程，（2）将代入第一问的回归方程中即可预测.

【详解】(1)由题意得，，

，

代入得，

，

所以.

(2)当时，代入，得，

所以预测该产品销售量能超过100万件.

20．已知函数，其中.

(1)若的极小值为－16，求；

(2)讨论的零点个数.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)求出导函数，进而求得极小值点，再代入求解即可.

(2)画出函数的大致图像，结合图像分类讨论即可求得结论.

【详解】(1)由题得，其中，

当时，，单调递增，无极值；

当时，令，解得或；令，解得，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，，

所以当时，取得极小值，

所以，解得.

(2)由（1）知当时，的极小值为，

的极大值为，

当，即时，有三个零点，如图①曲线 ；

当，即时，有两个零点，如图②曲线；

当，即时，有一个零点，如图③曲线；

当时，，易知有一个零点.       

综上，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点.

21．已知椭圆：的左、右顶点分别，，上顶点为，的面积为3，的短轴长为2.

(1)求的方程；

(2)斜率不为0的直线交于，两点（异于点），为的中点，且，证明：直线恒过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标与基本量的关系求解即可；

（2）由题意设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，结合可得，再代入韦达定理化简求解即可

【详解】(1)由题意得，解得，，故的方程为.

(2)证明：由题意设直线的方程为，，，

联立，得，       

所以，即，

，，

因为，所以，所以，       

即，则，

整理得，       

所以，即

整理得，解得或，       

当时，直线的方程为，恒过点，舍去；

当时，直线的方程为，恒过点，符合题意，

即直线恒过定点.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；

(2)点，分别在曲线和直线上，求的最小值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）通过消参求得曲线C的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得直线l的直角坐标方程.

（2）设，利用点到直线的距离公式及三角函数，的最小值.

【详解】(1)由消去参数，得为曲线的普通方程，

令，，得为直线的直角坐标方程.

(2)设，             

由题可知的最小值即点到直线的距离的最小值，

而点到直线的距离，其中，

当时，，             

所以的最小值为.

23．已知正实数，满足.证明：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）化简可得，再根据基本不等式求解即可；

（2）根据结合基本不等式求解即可

【详解】(1)由，得，

又，所以，当且仅当时等号成立.

(2)，

当且仅当时等号成立.

故.