2021-2022学年广东省江门市部分名校高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年广东省江门市部分名校高二下学期期中数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．由村去村的道路有4条，由村去村的道路有3条，从村经村去村不同的走法有（ ）
A．7种B．9种C．11种D．12种
【答案】D
【分析】根据分步乘法计数原理，第一步由村去村的道路有4种走法，由村去村的道路有3种走法，一共种走法.
【详解】由分步乘法计数原理知有种不同的走法.
故选：D.
2．已知等差数列满足，，则（ ）
A．1B．C．2D．0
【答案】A
【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得.
故选：A.
3．函数的图象在点处的切线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出f(x)在x=0时的导数值，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程．
【详解】∵，
∴，，
∴，
故所求的切线方程为y-3=x-0，即．
故选：C．
4．展开式中的常数项为（ ）
A．80B．160C．320D．640
【答案】B
【分析】利用二项式定理进行求解.
【详解】因为展开式的通项公式为，
所以令，解得，
即展开式中的常数项为.
故选：B.
5．某高校食堂备有5类不同的菜品，3类不同的饮料，若要对这些菜品和饮料设计一个排序，要求饮料不能相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用“插空法”解决不相邻的排列问题.
【详解】先将5类菜品进行全排列，有种排法，再从这5类菜品形成的6个空位中选3个进行排列，有种排法，故不同的排法种数为.
故选：D.
6．某高校外语专家组为评审某校外语系的本科教育水平是否达标，从包含甲、乙两位专家在内的7人中选出4人组成评审委员会，若要求甲、乙至少有1人被选进评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ ）
A．30种B．15种C．20种D．25种
【答案】A
【分析】由题意知，甲、乙至少有1人被选进评市委员会，包括以下三类情形：甲被选进且乙没有被选进、甲没有被选进且乙被选进和甲、乙都被选进，结合分类计算原理，即可求解.
【详解】由题意知，甲、乙至少有1人被选进评市委员会，则包括以下三类情形：
①甲被选进且乙没有被选进，相当于只需再从其余5人中选3人，则有种不同的组成方式；
②甲没有被选进且乙被选进，相当于只需再从其余5人中选3人，则有种不同的组成方式；
③甲、乙都被选进，相当于只需再从其余5人中选2人，则有种不同的组成方式，
根据分类计数原理，可得种不同的组成方式.
故选：A.
7．已知，则（ ）
A．224B．C．D．448
【答案】D
【分析】根据二项展开式的项的特点，应将其变形成项所对应的二项式形式，再借助通项求解系数.
【详解】令，得，
则
可化为：，
二项展开式通项为：
所以
故选：D.
8．为支持某地新冠肺炎疫情的防控工作，某医院派出甲、乙等五名医护人员，分别派往，，三个区，每区至少一人，若甲、乙前往区或区，且甲、乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（ ）
A．12种B．24种C．30种D．48种
【答案】B
【分析】分甲乙和另一人三人一组，剩下两人一人一组以及甲乙一组，另外三人一组两人一组一人按照分组分配问题求解即可.
【详解】若甲、乙和另一人共三人分为一组，则有种安排方法；若甲、乙两人分为一组，另外三人分为两组，一组一人，一组两人，
则有种安排方法，故共有种安排方法．
故选：B.
二、多选题
9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（ ）
A．的周长为4
B．的周长为8
C．椭圆上的点到焦点的最短距离为1
D．椭圆上的点到焦点的最短距离为3
【答案】BC
【分析】根据椭圆的定义和椭圆的几何性质，即可求得三角形的周长和最短距离，得到答案.
【详解】由题意，椭圆，可得，则，
则的周长为，
又由椭圆的几何性质，可得椭圆上的点到焦点的最短距离为.
故选：BC
10．第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（ ）
A．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案
B．若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案
C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法
D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法
【答案】ABD
【分析】应用分步计数法，结合不平均分组分配、捆绑法、特殊位置法，利用组合排列数求各选项对应安排方法的方法数.
【详解】若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则先从5人中任选2人安排在短道速滑赛区，剩余3人在其余三个比赛区全排列，故有种，A正确：
若每个比赛区至少安排1人，则先将5人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故有种，B正确：
若甲、乙相邻，可把2人看成一个整体，与剩下的3人全排列，有种排法，甲、乙两人相邻有种排法，所以共有种站法，C错误；
前排有种站法，后排3人中最高的站中间有种站法，所以共有种站法，D正确.
故选：ABD
11．若，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A，利用赋值法求；对于B，利用二项展开式通项求出；对于C，利用赋值法求各项系数的和；对于D，两边求导，再利用赋值法求解.
【详解】令，可得.又，所以，A正确；
展开式的通项公式为
因为，
所以，B正确；
令，可得，C错误；
对两边同时求导，
得，
令，可得，D正确.
故选：ABD.
12．已知函数，若对恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】BC
【分析】首先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，根据函数的奇偶性与单调性可得在上恒成立，参变分离可得恒成立，设，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而求出参数的取值范围，即可得解；
【详解】解：因为的定义域为，且，
又，所以为在上单调递增的奇函数.
所以等价于，
即在上恒成立，则
设，则
当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
故.
故选：BC
三、填空题
13．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.
【答案】
【分析】根据可求出结果.
【详解】因为平面，所以，
则，解得.
故答案为：
14．已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为______.
【答案】
【分析】根据标准方程写出渐近线方程，进而得到离心率的表达式，对其求解即可.
【详解】双曲线：的渐近线方程为：
所以，所以的离心率
故答案为：.
15．现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各1张，一共可以组成的币值有______种．
【答案】7
【分析】三种币值分别任选一张、两张或全选，结合组合数求组成的币值种数.
【详解】三种币值分别任选一张、两张或全选，则组成的币值有种．
故答案为：7
16．如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个1区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为_______．
【答案】
【分析】利用分类计数原理以及排列数进行计算求解.
【详解】解：由题意得：
若只有2，4区域种的花相同，则有种种法；
若只有3，5区域种的花相同，则有种种法；
若2、4区域种的花相同，3，5种的花也相同，则有种种法，由分类加法计数原理知共有种不同的种法.
故答案为：
四、解答题
17．某班有5名同学报名参加三个智力竞赛项目．
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限，有多少种不同的报名方法？
(2)每项只报1人，且每人至多参加一项，有多少种不同的报名方法？
【答案】(1)
(2)60
【分析】（1）直接利用分步乘法计数原理求解；
（2）由项目选人，利用分步乘法计数原理求解.
【详解】(1)每人都可以从这三个竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有；
(2)每项限报1人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有5种选法，第二个项目有4种选法，第三个项目有3种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有种.
18．（1）从含有3件次品的40件产品中，任意抽取3件产品进行检验，抽出的产品中恰好含有2件次品的抽法有多少种？
（2）从0，2中任取1个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？
【答案】（1）111；（2）30；
【分析】（1）利用分步计数方法，结合组合数求抽出的产品中恰好含有2件次品的抽法种数.
（2）应用分类计数方法，讨论含0、不含0两种情况，分别求出没有重复数字的三位数，然后加总即可.
【详解】（1）依题意知，有3件次品，37件合格品，
所以抽出的3件产品中恰好含有2件次品的抽法有种.
（2）第一类：含0可以组成个没有重复数字的三位数；
第二类：不含0可以组成个没有重复数字的三位数.
因此，一共可以组成30个没有重复数字的三位数.
19．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且在处取得极值.
(1)求的解析式；
(2)当时，求的最大值与最小值.
【答案】(1)；
(2)，﹒
【分析】(1)根据f(x)图像在处的切线斜率为-12得，根据在处取得极值得，根据在f(x)上得f(1)=-1，据此列出三个方程即可求出a、b、c，从而确定f(x)的解析式；
(2)根据f(x)导数的正负，判断f(x)的单调性，从而可确定其最大值和最小值．
【详解】(1)，，
由题意得，即
解得，，，
∴，
∴，令，得或．
则：
符合题意．
(2)由(1)可知，在上单调递增，在上单调递减，且，
，，
∴，．
20．已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系，求出，再利用与的关系式求出；
（2）首先求出，再利用裂项求和的方法求出.
【详解】(1)因为，所以，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即
当时
当时，符合上式，
所以的通项公式为.
(2)由（1）得
所以
.
21．某校在“五四青年节”进行文艺汇演，高一、高二、高三分别选送了5，3，2个节目，求在下列条件下不同的安排种数（用具体数字作答）．
(1)若高二的节目互不相邻，高三的节目必须相邻；
(2)由于一些特殊原因，高一的，，，，这5个节目中，必须在其余4个节目前面演出，高二的，，这3个节目中，必须按，，的顺序（可不相邻）出场；
(3)演出结束后，学校安排高一年级的12个班去打扫，，，四个区域的卫生，12个班被平均分成四组，每个区域安排一组，且1，2班必须打扫同一个区域，3，4班也必须打扫同一个区域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，结合分步计数原理即可求解；
（2）定序问题用除法即可求解；
（3）安排1，2班与从其他8个班中选出的1个班为一组，有种分法，再安排3，4班与从其他7个班中选出的1个班为一组，有种分法，剩下6个班平均分为两组，然后再分配到，，，四个区域取有种分法，最后根据分步计数原理即可求解.
【详解】(1)解：先排高三的节目，其必须相邻，有种不同的排法，将高三的节目看作一个整体，再与高一的5个节目一起看作6个不同的元素全排列，有种不同的排法，再将高二的3个节目插入6个元素构成的7个空中，有种排法，由分步乘法计数原理可得，共有种不同的排法；
(2)解：高一的5个节目全排列，有种不同的排法，其中必须在其余4个节目前面，有种排法，
高二的3个节目全排列有种不同的排法，三个年级的10个节目全排列有种不同的排法，故符合要求的共有种排法；
(3)解：安排1，2班与从其他8个班中选出的1个班为一组，有种分法，再安排3，4班与从其他7个班中选出的1个班为一组，有种分法，剩下6个班平均分为两组，有种分法，然后这四个组分别去打扫，，，四个区域的卫生，有种分法，所以共有种分法.
22．设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求正整数的最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）3.
【分析】（1）对a分类讨论，利用导数讨论单调性；
（2）先判断出，且，定义研究单调性，利用零点存在定理判断出的零点即可求解.
【详解】解:（1）.
当时，，函数在区间内单调递增，
所以，函数的单调增区间为，无单调减区间；
当时，由，得；由，得.
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为. .
（2）由（1）知：如果函数有两个零点，则，且，
即，即：，..
令
可知在区间内为增函数，且

所以存在
当时，；当时，.
所以，满足条件的最小正整数
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
3
0
0
极大值15
极小值