2021-2022学年浙江省宁波市效实中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年浙江省宁波市效实中学高一下学期期中数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．是虚数单位，复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接由复数的除法运算可得解.
【详解】复数，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.
2．已知向量满足，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的平行，列出关于m的方程，可求得答案.
【详解】由可得 ，
故选：D
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝2bsinA，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据正弦定理，把边化为角的正弦，再计算sinB的值．
【详解】△ABC中，a＝2bsinA，
由正弦定理得，sinA＝2sinBsinA，
又A∈（0，π），所以sinA≠0，
所以2sinB，
解得sinB．
故选：B
【点睛】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．
4．以下说法错误的是（ ）
A．平行六面体是四棱柱；B．底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥；D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.
【答案】C
【分析】根据平行六面体的定义，即可判断A,B;根据正棱锥的定义以及结构特征可判断C,D.
【详解】对于A，因为底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，故平行六面体是四棱柱，A正确；
对于B, 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体,符合平行六面体的定义，故B正确；
对于C，底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；
对于D, 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形,符合正棱锥的结构特征，D正确；
故选：C
5．已知是同一平面内的三个非零向量，下列命题中正确的是（ ）
A．；B．若且，则；
C．与不垂直；D．若，则共线且方向相反.
【答案】D
【分析】根据向量的数量积的定义向量的运算法则分析可知结果.
【详解】对于A，，
当时，，故A错；
对于B，，故当或，故B错；
对于C，
，故
与垂直，故C错；
对于D，，
两边同时平方并化简得，故D正确.
故选：D
6．已知两个不同的平面和三条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则；
B．若在平面内，且，则；
C．若是两两异面的直线，则存在直线与它们都相交；
D．若是两条异面直线，，且，则一定与相交.
【答案】C
【分析】对于 A,说明a,b也可能异面，即可判断；对于B，根据线面垂直的判定定理即可判断；对于C，作图分析，找到和都相交的一条直线即可判断；对于D，利用反证的方法加以判断.
【详解】对于A, 若,无法确定a是否在平面内，故a,b也可能异面，故A错误；
对于B,只有当a,b是相交直线时，若在平面内，且，才可推出，故B错误；
对于C, 是两两异面的直线，不妨设它们位置如图，
设a上一点A，直线b上一点B,连接AB,设过c和b平行的平面为，
设AB交于点D,则过点D和b平行的直线设为DC，交c于C点，
连接AC,并延长，则AC和b必相交于一点，设为P，
即直线PA与两两异面的直线a,b,c都相交，故C正确；
对于D，假设a,b与c都不相交，则 ，故 ，
这与是两条异面直线相矛盾，故假设不成立，
则必有或b一定与相交，故D错误，
故选：C
7．正方体的棱长为2，点分别是棱中点，则过点三点的截面面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作图作出过点三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长皆可求得截面面积.
【详解】如图，设AB的中点为H，连接HR并延长，交DA延长线于E,交DC延长线于F，连接PE交 于G,连接QF交 于I，连接GH,RI,则六边形PQIRHG为过点三点的截面，
由题意可知， ,则 ,
故,可知 ,即G为的中点，
同理可证I为的中点，故可知六边形PQIRHG为正六边形，
且边长为 ，
故其面积为 ，即过点三点的截面面积是 ，
故选：D
8．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
由正弦定理可得 ，即，
所以，因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，即，
故选A．
二、多选题
9．在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若，则有2解；
B．若，则；
C．若，则为锐角三角形；
D．若，则为等腰三角形或直角三角形.
【答案】BCD
【分析】利用正余弦定理都每项逐一判断即可
【详解】对于A，由正弦定理可得： ，，
此时无解，A错误；对于B， ， ，根据同角三角函数基本关系式可知，故B正确；对于C，， ，可知均为锐角，故为锐角三角形，故C正确；对于D，，由余弦定理可得：,
整理得：，或 即或 ，为等腰三角形或直角三角形，故D正确
故选：BCD
10．如图，正方体中，点分别是棱中点，以下说法正确的是（ ）
A．四点共面；
B．平面平面；
C．若点是线段中点，则平面；
D．直线与直线交于一点.
【答案】AD
【分析】证明四边形是平行四边形，即可判断A;利用反证的方法，推出矛盾，可判断B,C;证明四边形为梯形，可判断D.
【详解】对于A，设M为的中点， 连接,则,
故四边形 为平行四边形，

则,
由可知四边形为平行四边形，
则,故,
故四边形是平行四边形，即四点共面，故A正确；
对于B,连接 ,由 可知四边形是平行四边形，
故 ,平面,平面 ,故平面，
假设平面平面，则平面,与平面矛盾，
故B错误；
对于C，假设平面，则，由于点是线段中点，
故 ,不妨设正方体棱长为2,则 ，
故与矛盾，故C错误；
对于D，连接,由于点分别是棱中点，
故 ,在正方体中， ,故 ,且，
故四边形为梯形，故直线与直线交于一点，故D正确，
故选：AD
11．已知点为所在平面内一点，满足，（其中）.（ ）
A．当时，直线过边的中点；
B．若，且，则；
C．若时，与的面积之比为；
D．若，且，则满足.
【答案】ABD
【分析】对于A，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B，由条件可判断为等边三角形，利用数量积的定义即可求得的值；对于C，利用作图，结合向量加减法的几何意义，可判断与的面积之比；对于D,由得，，平方后结合数量积的运算可推得结果.
【详解】对于A，设AB的中点为D，则当时，有,
即得O,C,D三点共线，故直线过边的中点，故A正确；
对于B，由于且时，，
故O为的外心和重心，故为等边三角形，
则 ,由可得 ，
故，故B正确；
对于C，延长OA至,使 , 延长OB至,使,
连接,设其中点为E,连接OE并延长至 ，使 ,
连接 ,则四边形是平行四边形，
所以，而时，，
故,即 三点共线，且，
根据同底等高三角形面积相等，则,
即与的面积之比为,故C错误；
对于D，因为，且，
由得，，
所以,即，故D正确，
故选：ABD
12．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则与无关；B．若，则与无关；
C．若，则；D．若，，则的夹角为.
【答案】AC
【分析】根据题意确定可能有三种情况，比较大小，确定，利用，可得，判断A; 若，设,求得，判断B;若，则化简，判断C, 若，，利用数量积定义求得，判断D.
【详解】因为两组向量和均由3个和2个排列而成，
故可能有三种情况;
;②;③,
，
，
故；
若，则,则与无关,故A正确；
若，设，则，则与有关，B错误；
若，则，故C正确；
若，，则，
故，由于，故，故D错误；
故选：AC
三、填空题
13．已知､均为单位向量，若，则与的夹角为___________.
【答案】
【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案.
【详解】由､均为单位向量，，
得：，即，
所以，
故答案为：
14．如图，斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，，，点分别是线段的中点，则异面直线和所成角的余弦值为___________；
【答案】
【分析】连接，证明，再在中利用余弦定理求解作答.
【详解】在斜三棱柱中，连接，如图，
因点分别是对边的中点，则，，
则有四边形是平行四边形，，是异面直线和所成的角或其补角，
因,且，则都是正三角形，
于是得，在正中，，
在中由余弦定理得：，
所以异面直线和所成角的余弦值为.
故答案为：
15．如图：在等腰直角三角形中，点为边上靠近点的四等分点，过点作边的垂线，设点为垂线上任意一点，，则___________；
【答案】
【分析】利用向量的加减运算及向量的数量积运算进行化简求解即可.
【详解】由已知可得点为边上靠近点的四等分点，
则，
故答案为：-2
16．在三角形中，角的对边分别是，若，角的角平分线交边于点，且，则边c的大小为___________.
【答案】
【分析】根据，利用正弦定理边化角求得A，再利用，可得到，结合条件求得a,b的值，利用余弦定理求得答案.
【详解】由可得： ，
故，所以 ，
由于 ,故 ,
故由可得： ，
又 ，故，联立 ，
解得 ，
故 ，
故 ，
故答案为：
四、解答题
17．已知复数，其中为虚数单位.
(1)当，且是纯虚数，求的值；
(2)当时，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的种类及特点求参即可；
（2）根据复数的模长公式及两点间的距离公式，结合图形可得结果.
【详解】(1)是纯虚数，故有
，
经计算有，;
(2),所以有，如下图，根据几何意义，可知
.
18．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，面，，点为线段中点
(1)求证：面；
(2)求异面直线与所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立直角坐标系，求出平面的法向量，若与平面的法向量的数量积为0，则可证明；
（2）求异面直线所成的角的大小可以根据数量积的计算公式，即可求解.
【详解】(1)证明：
由面建立如图所示的直角坐标系，以A点为坐标原点，分别以，垂直于AD以及为方向建立轴，如图所示:
由底面是等腰梯形以及可知：，，
，
又由点为线段中点，可知
，，
设为平面的法向量，故可知：
，解得
令，可知平面的法向量一个法向量为：
根据线面平行的向量法判断法则可知面
(2)解：由题意得：由（1）分析可知，
可知向量互相垂直，故异面直线与所成角的大小为
19．如图，在菱形中，，
(1)若求；
(2)若菱形的边长为，
（i）用表示；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用平面向量基本定理，选择不共线的两个向量作为一组基底，所求向量用基底表示，然后按照数量积运算求解即可；
（2）同（1）选择作为平面内的一组基底向量，按照向量的运算法则表示目标向量；利用向量的数量积运算法则，结合三角函数的有界性，求解即可.
【详解】(1)解：在菱形中，，且，
又
(2)（i）菱形，
（ii）
，
的取值范围是：
20．已知的内角的对边分别为，且.
(1)若，求；
(2)若为的中点，且，求周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理结合，可得，结合正弦定理可得，结合可得答案；
（2）由，平方可得，结合余弦定理可得，结合条件解得b,c,即可求得答案.
【详解】(1)由余弦定理得 ，结合，
得：，即，
因为 ，故 ，而，
故；
(2)由题意可得为的中点，故，
故,而，
故，而，
故，又，即，
解得，所以周长为 .
21．某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，为路灯灯杆，，在处安装路灯，且路灯的照明张角，已知.
(1)求灯离地面的高度；
(2)当重合时，求路灯在路面的照明宽度；
(3)求此路灯在路面上的照明宽度的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）延长，过E点作DC的垂线，垂足为F点，利用可求出CF的长度即可灯离地面的高度.
（2）利用正弦定理和余弦定理以及三角形中角度的关系即可求得照明宽度.
（3）利用正余弦定理已经基本不等式进行求解即可.
【详解】(1)解：由题意得：
延长，过E点作DC的垂线，垂足为F点
，，
，
故灯离地面的高度等于
(2)当重合时，
根据余弦定理可知：
设
又，，
由正弦定理可知：
(3)由（1）可知：灯离地面的高度等于.
由三角形的面积公式易知：
又由余弦定理可知
当且仅当时，等号成立；
故，解得：
此路灯在路面上的照明宽度的最小值为.