2021-2022学年广东省华南师大附中高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年广东省华南师大附中高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数满足，则等于（       ）

A． B．7 C． D．5

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的加法及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；

【详解】解：因为

即，所以，解得，

所以；

故选：D

2．在四边形中，，则一定有（       ）

A．四边形是矩形 B．四边形是菱形

C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形

【答案】D

【分析】根据向量的线性运算可得，进而可得且即可求解.

【详解】因为，所以，

即且，

所以四边形的一组对边平行且相等，

所以四边形是平行四边形，

故选：D.

3．若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（       ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．不能确定

【答案】B

【分析】根据大边对大角，得到边长为6的边所对的角为最大角，利用余弦定理求出，得到这个三角形是钝角三角形.

【详解】大边对大角，故边长为6的边所对的角为最大角，设为，

则，

故为钝角，所以这个三角形是钝角三角形.

故选：B

4．若与是相反向量，且=3，则等于（       ）

A．9 B．0 C．-3 D．-9

【答案】D

【分析】直接根据向量的数量积公式求解即可.

【详解】由已知得

故选：D

5．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用侧面展开图是一个半圆，求得与之间的关系，代入表面积公式即可得解.

【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，

圆锥的侧面展开图是一个半圆，，

圆锥的表面积为，， ，

故圆锥的底面半径为，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求得母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题.

6．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】A：结合两直线的位置关系可判断或异面； B：结合线面平行的性质可判断； C：结合线面的位置关系可判断或相交； D：结合线面的位置关系可判断或.

【详解】A：若，则或异面，故A错误；

B：因为，所以在平面内存在不同于n的直线l，使得，则，从而，故，故B正确；

C：若，则或相交，故C错误；

D：若，则或，故D错误.

故选：B

7．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到关于轴对称的图象，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出的值．

【详解】函数，

将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，

因为函数是偶函数，

．

当时，．则的最小值为

故选：A

8．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题可判断为奇函数，且在上为增函数，所以不等式化为，利用单调性即可求解.

【详解】由题意可知，的定义域为，

，为奇函数，

，且在上为减函数，

由复合函数的单调性可知在上为增函数.

，，

，.

故选：.

二、多选题

9．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（       ）

A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．正方体

【答案】ACD

【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.

【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，

三棱锥平行于底面的截面是三角形，

正方体的截面可能是三角形，如图形成的截面三角形,

故选：ACD

10．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．与的夹角为

【答案】BC

【分析】先利用平面向量的数量积运算得到，即可得到的值，再利用平面向量的数量积运算得到，最后求解，即可判断选项.

【详解】，

∴，

∴，

∴，

，

，

∴与的夹角为，

故BC正确.

故选：BC.

11．对于，有如下命题，其中正确的有（       ）

A．若是锐角三角形，则不等式恒成立

B．若，则是等腰三角形

C．若，则为锐角三角形

D．若，则为钝角三角形

【答案】AD

【分析】A选项，利用是锐角三角形，得到且，结合正弦函数的单调性得到；B选项，得到或，判断是等腰三角形或直角三角形；C选项，利用正弦定理得到，得到C为钝角；D选项，利用平面向量数量积运算法则得到，结合余弦定理化简得到，判断出B为钝角.

【详解】若是锐角三角形，则且，所以，

因为在上单调递增，故，故，A正确；

，则或，所以或，

所以是等腰三角形或直角三角形，B错误；

，则，

由正弦定理得：，

所以，所以C为钝角，为钝角三角形，C错误；

，即，

所以，即，

整理得：，

所以，故B为钝角，为钝角三角形，D正确.

故选：AD

12．筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).

现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，简车的轴心距离水面的高度为2米，设简车上的某个盛水筒P到水面的距离为(单位：米)(在水面下则为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面为初始时刻，经过1秒后，下列命题正确的是（       ）(参考数据：)

A．，其中，且

B．，其中，且

C．当时，盛水筒再次进入水中

D．当时，盛水筒到达最高点

【答案】BD

【分析】若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，由题设知筒车的角速度，令易得，而、，即可求的解析式判断A、B的正误，、代入函数解析式求，即可判断C、D的正误.

【详解】

由题意知，如上图，若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，筒车的角速度，令且，

∴，故，而，

∴，故A错误，B正确；

当时，，且，，

∴，故盛水筒没有进入水中，C错误；

当时，，且，即，

∴，故盛水筒到达最高点，D正确.

故选：BD

【点睛】关键点点睛：画出筒车与水面的简单平面示意图，利用及盛水筒P到水面的距离与相关线段的等量关系，写出函数解析式.

三、填空题

13．已知复数，则_________．

【答案】5

【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算法则进行计算.

【详解】由题意得：，所以.

故答案为：5

14．一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________.

【答案】

【分析】将直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，可得到平行四边形，即可求出面积.

【详解】还原直观图为原图形如图，

，，

还原回原图形后，,

.

故答案为：.

【点睛】本题考查斜二测画法前后图形的关系，属于基础题.

15．在中，，，D为的中点，的面积为，则______________．

【答案】

【分析】在三角形BCD中，利用面积公式求出，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AC的长.

【详解】在三角形BCD中，由面积公式得：，

解得：，

在三角形ABC中，由余弦定理得：，

因为

故.

故答案为：

16．如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 _________ .

【答案】

【解析】分别取棱的中点，通过证明平面可得必在线段上，进而可求得长度的取值范围.

【详解】如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，

因为为所在棱的中点，所以，所以，

又平面平面，所以平面；

因为，所以四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，所以平面，

又，所以平面，

因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，

在直角中，，

同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，

当在中点时，，此时最短，位于处时最长，

，，

所以线段长度的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查空间点的存在性问题，解题的关键是取棱的中点，得出点必在线段上，从而将问题转化为在中.

四、解答题

17．已知是虚数单位，复数，R.

(1)当复数为实数时，求的值；

(2)当复数纯虚数时，求的值.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】(1)虚部为零，则为实数；

(2)虚部不为零，实部为零，则为纯虚数.

【详解】(1)当时，得；

(2)当时，得.

18．已知向量，．

(1)当实数为何值时，向量与垂直；

(2)若，，且A、B、C三点共线，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题，向量与垂直，结合数量积的坐标表示，即可求解；

（2）A、B、C三点共线，结合与不共线，即可得到方程组求解.

【详解】(1)由题，，

∵与垂直，∴，解得.

(2)∵A、B、C三点共线，∴，

∴存在实数，使得，

又与不共线，∴，∴．

19．已知函数．

(1)求的最小正周期和单调递减区间；

(2)试比较与的大小．

【答案】(1)，单调递减区间为，．

(2)

【分析】（1）首先利用诱导公式将函数变形，再根据正切函数的性质计算可得；

（2）根据函数的周期性及单调性判断即可；

【详解】(1)解：函数，

所以最小正周期

由，，

解得，

单调递减区间为，．

(2)解：因为，

又，函数在上单调递减，

所以，即

20．如图，己知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）；

(1)求证：平面．

(2)在上确定一点Q，使平面平面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解；

（2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面．

【详解】(1)证明：过点作，交于点，连接，

因为为的三等分点，可得，

又因为为的三等分点，可得，

因为且，所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，

又由平面，平面，所以平面.

(2)证明：取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点，

在中，因为分别为的三等分点，可得，所以，

因为平面，平面，所以平面；

又由（1）知平面，且，平面，

所以平面平面，

即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面．

21．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且．

（1）若，求的长；

（2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．

【答案】（1）1或3（2）

【详解】试题分析：（1）在中,因为，，，所以由余弦定理，且，，所以，解得或

（2）该空地产生最大经济价值等价于种植甲种水果的面积最大，所以用表示出，再利用三角函数求最值得

试题解析：（1）连结，已知点在以为直径的半圆周上，所以为直角三角形，

因为，，所以，，

在中由余弦定理，且，

所以，

解得或，

（2）因为，，

所以，

所以，

在中由正弦定理得：

所以，

在中，由正弦定理得：

所以，

若产生最大经济效益，则的面积最大，

，

因为，所以

所以当时，取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大

【解析】①解三角形及正弦定理的应用②三角函数求最值

22．已知函数

（1）若时偶函数，求实数的值；

（2）当时，不等式，对任意的恒成立，求实数t的取值范围.

（3）当时，关于的方程在区间恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）利用偶函数的定义，代入解析式，化简即可求解.

（2）判断函数为增函数，将不等式转化为，只需即可.

（3）根据题意，，将方程转化为，再利用函数的单调性，转化变形为：，通过与有个交点求解即可.

【详解】（1）由题意，若时偶函数，则

则有，

变形可得，

解得.

（2）当时，函数与函数都是增函数，

则为增函数，

不等式，对任意的恒成立，

即，对任意的恒成立，

设，

由，则，

所以 ，

所以，即，

所以实数t的取值范围为.

（3）根据题意，函数，且，

则，

即，

又由（2），当时，为增函数，

则，

即，

变形可得：，

设，

关于的方程

在区间恰有两个不同的实数解，

则函数的图像与有个交点，

对于，设，

则，

又由，则，则，，，

若函数的图像与有个交点，

必有，

故实数的取值范围为.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的综合应用，考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.