北师大版高考数学一轮复习第2章第3节函数的奇偶性与周期性课时作业理含解析

这是一份北师大版高考数学一轮复习第2章第3节函数的奇偶性与周期性课时作业理含解析，共8页。
第三节 函数的奇偶性与周期性授课提示：对应学生用书第275页[A组　基础保分练]1.（2021·石家庄模拟）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）A.y＝　　　　　　　 B.y＝|x|－1C.y＝lg x  D.y＝解析：∵函数y＝|x|－1和y＝是偶函数，其中y＝|x|－1在（0，＋∞）上单调递增，y＝在（0，＋∞）上单调递减.答案：B2.若函数f（x）＝（x－a）（x＋2）为偶函数，则实数a＝（　　）A.0  B.1C.－1  D.2解析：f（x）＝（x－a）（x＋2）＝x2＋（2－a）x－2a为偶函数，则2－a＝0，即a＝2.答案：D3.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋m，则f（－2）＝（　　）A.－3  B.－C.  D.3解析：因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f（－2）＝－f（2）＝－（22－1）＝－3.答案：A4.已知函数f（x）是奇函数，在（0，＋∞）上是减函数，且在区间[a，b]（a＜b＜0）上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a]上（　　）A.有最大值4  B.有最小值－4C.有最大值－3  D.有最小值－3解析：根据题意作出y＝f（x）的简图如图所示，由图知，选B.答案：B5.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x）.若f（2）＞1，f（7）＝a，则实数a的取值范围为（　　）A.（－∞，－3）  B.（3，＋∞）C.（－∞，－1）  D.（1，＋∞）解析：因为f（x＋3）＝f（x），所以f（x）是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f（7）＝f（7－9）＝f（－2）.又因为函数f（x）是偶函数，所以f（－2）＝f（2），所以f（7）＝f（2）＞1，所以a＞1，即a∈（1，＋∞）.答案：D6.已知函数y＝f（x），满足y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数，且f（1）＝，设F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（3）＝（　　）A.  B.C.π  D.解析：由y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数知，f（－x）＝f（x），f（x＋2）＝f（－x＋2）＝f（x－2），故f（x）＝f（x＋4），则F（3）＝f（3）＋f（－3）＝2f（3）＝2f（－1）＝2f（1）＝.答案：B7.若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝__________.解析：因为f（x）为偶函数，所以f（－x）－f（x）＝0恒成立，所以－xln（－x＋）－xln（x＋）＝0恒成立，所以xln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a＝1.答案：18.（2021·乐山模拟）已知函数f（x）满足：f（－x）＋f（x）＝0，且当x≥0时，f（x）＝－1，则f（－1）＝__________.解析：因为f（－x）＋f（x）＝0，所以f（x）为奇函数，又当x≥0时，f（x）＝－1，则f（0）＝－1＝0，所以m＝－1.所以当x≥0时，f（x）＝－1，所以f（－1）＝－f（1）＝－＝.答案：9.已知函数f（x）＝是奇函数.（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.解析：（1）设x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.又f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），于是x＜0时，f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，结合f（x）的图像知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3].[B组　能力提升练]1.已知函数f（x）＝asin x＋b＋4，若f（lg 3）＝3，则f＝（　　）A.  B.－C.5  D.8解析：因为f（x）＝asin x＋b＋4，则f（－x）＝－asin x－b＋4，所以f（x）＋f（－x）＝8，由于f＝f（－lg 3），因此f（lg 3）＋f（－lg 3）＝8，即3＋f（－lg 3）＝8，所以f（－lg 3）＝5，即f＝f（－lg 3）＝5.答案：C2.已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时f（x）＝log2（x＋2）＋x＋b，则|f（x）|＞3的解集为（　　）A.（－∞，－2）∪（2，＋∞）B.（－∞，－4）∪（4，＋∞）C.（－2，2）D.（－4，4）解析：由题意知，f（0）＝1＋b＝0，所以b＝－1，所以f（x）＝log2（x＋2）＋x－1，所以f（2）＝3，且该函数在R上单调递增.因为|f（x）|＞3＝f（2），所以f（x）＞f（2）或f（x）＜－f（2）＝f（－2），所以x＞2或x＜－2.答案：A3.设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f等于（　　）A.－  B.－C.  D.解析：f＝f＝f＝－f＝－2××＝－.答案：A4.（2021·郴州模拟）已知f（x）是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f（x－1）≤f（2x）的解集为（　　）A.  B.C.[－1，1]  D.解析：因为f（x）是定义在[2b，1－b]上的偶函数，所以2b＋1－b＝0，所以b＝－1，因为f（x）在[2b，0]上为增函数，即函数f（x）在[－2，0]上为增函数，故函数f（x）在（0，2]上为减函数，则由f（x－1）≤f（2x），可得|x－1|≥|2x|，即（x－1）2≥4x2，解得－1≤x≤.又因为定义域为[－2，2]，所以解得综上，－1≤x≤.答案：B5.已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，则对任意实数a，b，“a＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（－x）＝f（|x|），由于f（x）在[0，＋∞）上单调递增，因此若a＞|b|≥0，则f（a）＞f（|b|），即f（a）＞f（b），所以a＞|b|是f（a）＞f（b）的充分条件；若f（a）＞f（b），则f（|a|）＞f（|b|），可得|a|＞|b|≥0，由于a，b的正负不能判断，因此无法得到a＞|b|，则a＞|b|不是f（a）＞f（b）的必要条件，所以“a＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的充分不必要条件.答案：A6.函数y＝f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x＋2）是偶函数，则下列结论成立的是（　　）A.f（1）＜f＜fB.f＜f（1）＜fC.f＜f＜f（1）D.f＜f（1）＜f解析：因为函数f（x＋2）是偶函数，所以f（x＋2）＝f（－x＋2），所以函数f（x）的图像关于x＝2对称，所以f＝f，f＝f.因为y＝f（x）在[0，2]上单调递增，且＜1＜，所以f＜f（1）＜f，即f＜f（1）＜f.答案：B7.定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（2－x）及f（x）＝－f（－x），且在[0，1]上有f（x）＝x2，则f＝__________.解析：函数f（x）的定义域是R，f（x）＝－f（－x），所以函数f（x）是奇函数.又f（x）＝f（2－x），所以f（－x）＝f（2＋x）＝－f（x），所以f（4＋x）＝－f（2＋x）＝f（x），故函数f（x）是以4为周期的奇函数，所以f＝f＝f＝－f.因为在[0，1]上有f（x）＝x2，所以f＝＝，故f＝－.答案：－8.（2021·柳州模拟）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x＋6）＋f（x）＝2f（3），y＝f（x－1）的图像关于点（1，0）对称且f（2）＝4，则f（22）＝__________.解析：因为y＝f（x－1）的图像关于点（1，0）对称，所以y＝f（x）的图像关于点（0，0）对称，即函数f（x）为奇函数，由f（x＋6）＋f（x）＝2f（3）得，f（x＋12）＋f（x＋6）＝2f（3），所以f（x＋12）＝f（x），T＝12，因此f（22）＝f（－2）＝－f（2）＝－4.答案：－49.已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x）＋f（－x）＝0，f（x－1）＝f（x＋1），若当x∈[0，1）时，f（x）＝ax＋b（a＞0且a≠1），且f＝.（1）求实数a，b的值；（2）求函数g（x）＝f2（x）＋f（x）的值域.解析：（1）因为f（x）＋f（－x）＝0，所以f（－x）＝－f（x），即f（x）是奇函数.因为f（x－1）＝f（x＋1），所以f（x＋2）＝f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，所以f（0）＝0，即b＝－1.又f＝f＝－f＝1－＝，解得a＝.（2）当x∈[0，1）时f（x）＝ax＋b＝－1∈，由f（x）为奇函数知，当x∈（－1，0）时，f（x）∈，又因为f（x）是周期为2的周期函数，所以当x∈R时，f（x）∈，设t＝f（x）∈，所以g（x）＝f2（x）＋f（x）＝t2＋t＝－，即g（x）＝－∈.故函数g（x）＝f2（x）＋f（x）的值域为.[C组　创新应用练]1.（2021·兰州模拟）对任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数（例如[3.4]＝3，[－3.4]＝－4等）.设函数f（x）＝x－[x]，给出下列四个结论：①f（x）≥0；②f（x）＜1；③f（x）是周期函数；④f（x）是偶函数.其中正确结论的个数是（　　）A.1  B.2C.3  D.4解析：由题意有[x]≤x＜[x]＋1，∴f（x）＝x－[x]≥0，且f（x）＜1，∴①②正确；∵f（x＋1）＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－（[x]＋1）＝x－[x]＝f（x），∴f（x）为周期函数，③正确；∵f（－0.1）＝－0.1－[－0.1]＝－0.1－（－1）＝0.9，f（0.1）＝0.1－[0.1]＝0.1－0＝0.1≠f（－0.1），∴f（x）不是偶函数，④错误.答案：C2.（2019·高考全国卷Ⅱ）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x＋1）＝2f（x），且当x∈（0，1] 时，f（x）＝x（x－1）.若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≥－，则m的取值范围是（　　）A.  B.C.  D.解析：当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x－1），∴当x∈（0，1]时，f（x）∈.∵f（x＋1）＝2f（x），∴当x∈（－1，0]时，x＋1∈（0，1]，f（x）＝f（x＋1）＝（x＋1）x，f（x）∈；当x∈（－2，－1]时，x＋1∈（－1，0]，f（x）＝f（x＋1）＝f（x＋2）＝（x＋2）（x＋1），f（x）∈；…；当x∈（1，2]时，x－1∈（0，1]，f（x）＝2f（x－1）＝2（x－1）（x－2），f（x）∈；当x∈（2，3]时，x－1∈（1，2]，f（x）＝2f（x－1）＝4f（x－2）＝4（x－2）（x－3），f（x）∈[－1，0]；….f（x）的图像如图所示.若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≥－，则有2＜m≤3.设f（m）＝－，则4（m－2）（m－3）＝－，∴m＝或m＝.结合图像可知，当m≤时，符合题意.答案：B3.（2021·湘潭模拟）已知定义在R上的偶函数y＝f（x＋2）的图像连续，当x＞2时，函数y＝f（x）是单调函数，则满足f（x）＝f的所有x之积为__________.解析：因为函数y＝f（x＋2）是连续的偶函数，所以直线x＝0是它的图像的对称轴，所以直线x＝2就是函数y＝f（x）图像的对称轴.因为f（x）＝f，所以x＝1－或x＋1－＝4.由x＝1－，得x2＋3x－3＝0，设方程的两根为x1，x2，所以x1x2＝－3；由x＋1－＝4，得x2＋x－13＝0，设方程的两根为x3，x4，所以x3x4＝－13.所以x1x2x3x4＝39.答案：39