北师大版高考数学一轮复习第8章第5节椭圆课时作业理含解析

第五节 椭圆

授课提示：对应学生用书第361页

[A组　基础保分练]

1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为（　　）

A．4　　　　　　　　 B．3

C．2  D．5

解析：连接PF2（图略），由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4．

答案：A

2．过点A（3，－2）且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程为（　　）

A．＋＝1  B．＋＝1

C．＋＝1  D．＋＝1

解析：法一：设所求椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则a2－b2＝c2＝5，且＋＝1，解方程组得a2＝15，b2＝10，故所求椭圆方程为＋＝1．

法二：椭圆＋＝1的焦点坐标为（±，0），设所求椭圆方程为＋＝1（λ＞0），将点A（3，－2）代入，得＋＝1（λ＞0），解得λ＝10或λ＝－2（舍去），故所求椭圆方程为＋＝1．

答案：A

3．（2021·衡水模拟）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，则＝（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：因为e＝＝＝，所以8a2＝9b2，所以＝．

答案：D

4．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）

A．＋＝1  B．＋y2＝1

C．＋＝1  D．＋＝1

解析：由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，

所以C的方程为＋＝1．

答案：A

5．（2020·石家庄质检）倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1（a>b>0）的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得（b2＋a2）y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则又＝2，

所以（c－x1，－y1）＝2（x2－c，y2），所以－y1＝2y2，可得所以＝，所以e＝．

答案：B

6．（2021·惠州调研）设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，可求得|PF2|＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝．

答案：D

7．（2021·郑州模拟）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右顶点为A（1，0），过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为　　　_________．

解析：因为椭圆＋＝1的右顶点为A（1，0），所以b＝1，焦点坐标为（0，c），因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1，a＝2，所以椭圆的方程为＋x2＝1．

答案：＋x2＝1

8．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|＝，椭圆C的离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．

解析：（1）由题意知，离心率e＝＝，|PF2|＝＝，得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．

（2）由条件可知F1（－，0），直线l：y＝x＋，联立直线l和椭圆C的方程，得消去y得5x2＋8x＋8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1·x2＝，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝＝，所以S△AOB＝·|y1－y2|·|OF1|＝．

9．已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．

（1）若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

（2）若＝2，·＝，求椭圆的方程．

解析：（1）若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c．

所以a＝c，e＝＝．

（2）由题知A（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝，设B（x，y）．

由＝2，得（c，－b）＝2（x－c，y），

解得x＝，y＝－，即B．

将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2．①

又由·＝（－c，－b）·＝，

得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1．②

由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2．

所以椭圆的方程为＋＝1．

[B组　能力提升练]

1．（2021·吉安模拟）如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：设圆柱的底面圆的直径为d，则椭圆的短轴长为d．

因为截面与底面成45°角，所以椭圆的长轴长为d，

所以椭圆的半焦距为 ＝，

则e＝＝＝．

答案：A

2．设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P，则直线PF1的斜率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：因为e＝＝，故可设a＝3，c＝，则b＝2，S△PF1F2＝b2tan＝b2tan 45°＝|PF1|·|PF2|＝4，因为P在第一象限，所以|PF1|＞|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，故|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以直线PF1的斜率kPF1＝＝．

答案：B

3．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2．若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由椭圆C：＋＝1可得a2＝4，b2＝3，c＝＝1，可得F1（－1，0），F2（1，0），

由AF2⊥F1F2，令x＝1，得y＝±× ＝±，

不妨设A点坐标为．

设P（m，n），则点P坐标满足＋＝1，

又－≤n≤，

则·＝（m＋1，n）·＝n≤，

可得·的最大值为．

答案：B

4．（2021·温州模拟）正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：设正方形的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m＞c．又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，∴＋＝1＞＋＝e2＋，整理得e4－3e2＋1＞0，e2＜＝，∴0＜e＜．

答案：B

5．若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为_________．

解析：设点A在点B上方，F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝，则可设A（c，b2），B（x0，y0），由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，故即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1．

答案：x2＋＝1

6．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|－|PF1|的最小值为_________．

解析：由椭圆的方程可知F2（3，0），由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|．所以|PM|－|PF1|＝|PM|－（2a－|PF2|）＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝＝5，2a＝10，所以|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5．

答案：－5

7．（2020·高考全国卷Ⅱ）已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合．C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．

（1）求C1的离心率；

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．

解析：（1）由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝．

不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c．

由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2．

解得＝－2（舍去）或＝．

所以C1的离心率为．

（2）由（1）知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1．

设M（x0，y0），则＋＝1，y＝4cx0，

故＋＝1．　①

因为C2的准线为x＝－c，

所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1（舍去）或c＝3．

所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x．

[C组　创新应用练]

1．有一个高为12 cm，底面圆半径为3 cm的圆柱形玻璃杯，杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃杯厚度忽略不计），当玻璃杯倾斜时，杯中水面的形状为椭圆，则在杯中的水不溢出的前提下，椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由题意知，当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时，杯中水面所形成的椭圆的离心率最大，易知此时椭圆的长轴长为＝6，短轴长为6，所以椭圆的离心率e＝＝，所以e∈．

答案：C

2．已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的上顶点B和左焦点F，并被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是_________．

解析：依题意，知b＝2，kc＝2．

设圆心到直线l的距离为d，

则L＝2≥，

解得d2≤．又因为d＝，所以≤，

解得k2≥．

于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，解得0＜e≤．

答案：

3．（2021·衡水模拟）“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．2019年，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为　　　　千米．

解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．

由题意知解得2c＝85．

即椭圆形轨道的焦距为85千米．

答案：85