北师大版高考数学一轮复习第8章第9节第3课时定点定值探索性问题课时作业理含解析

第3课时 定点、定值、探索性问题

授课提示：对应学生用书第373页

[A组　基础保分练]

1．（2021·蚌埠模拟）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）经过点P（0，1），离心率e＝．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l经过点Q（2，－1）且与C相交于A，B两点（异于点P），记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，证明：k1＋k2为定值．

解析：（1）因为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），经过点P（0，1），所以b＝1．又e＝，所以＝，解得a＝2．

所以椭圆C的方程为＋y2＝1．

（2）证明：若直线AB的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，此时直线与椭圆相切，不符合题意．

设直线AB的方程为y＋1＝k（x－2），即y＝kx－2k－1，

联立得（1＋4k2）x2－8k（2k＋1）x＋16k2＋16k＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝，x1x2＝，

k1＋k2＝＋

＝

＝

＝2k－

＝2k－

＝2k－（2k＋1）＝－1．

所以k1＋k2为定值，且定值为－1．

2．（2021·广州四校联考）设斜率不为0的直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，与椭圆＋＝1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，k3，k4．

（1）若直线l过点（0，4），证明：OA⊥OB；

（2）求证：的值与直线l的斜率的大小无关．

证明：设直线l的方程为y＝kx＋m，k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2）．

（1）依题意，两式相乘得（x1x2）2＝16y1y2，

若直线l过点（0，4），则直线l的方程为y＝kx＋4，将直线l的方程代入抛物线x2＝4y，得x2－4kx－16＝0，易知Δ＞0，

∴x1x2＝－16，∴y1y2＝16，

∴·＝x1x2＋y1y2＝0，∴·＝0，

∴OA⊥OB．

（2）设C（x3，y3），D（x4，y4）．

联立y＝kx＋m和x2＝4y，化简得x2－4kx－4m＝0，易知Δ＞0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，

k1＋k2＝＋＝＋＝k，

联立y＝kx＋m和＋＝1，化简得（2＋3k2）x2＋6kmx＋3m2－12＝0，

在Δ＝（6km）2－4（2＋3k2）（3m2－12）＞0的情况下，

x3＋x4＝，x3x4＝，

k3＋k4＝＋＝2k＋＋＝2k＋＝2k＋＝，

∴＝－，是一个与直线l的斜率k无关的值．

[B组　能力提升练]

1．（2021·临沂模拟）过点P的椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），其离心率e＝．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且与y轴交于一点M（不是原点），＝λ1，＝λ2，证明：λ1＋λ2为定值．

解析：（1）解方程组解得a＝2，b＝，

∴椭圆C的方程是＋＝1．

（2）证明：F（1，0），由题意可知直线AB斜率存在且不为0，

设直线AB的方程为x＝my＋1（m≠0），则M，

∴＝，＝（1－x1，－y1），＝，＝（1－x2，－y2）．

∵＝λ1，＝λ2，

∴y1＋＝－λ1y1，y2＋＝－λ2y2，

∴λ1＝－1－，λ2＝－1－，

∴λ1＋λ2＝－2－－＝－2－．

联立方程组消去x得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0，

∴y1＋y2＝，y1y2＝，

∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－·＝－．

∴λ1＋λ2为定值．

2．已知曲线C1：x2＋y2＝r2（r＞0）和C2：＋＝1（a＞b＞0）都过点P（0，－2），且曲线C2的离心率为．

（1）求曲线C1和曲线C2的方程；

（2）设点A，B分别在曲线C1，C2上，PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1＝4k2＞0时，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

解析：（1）曲线C1：x2＋y2＝r2（r＞0）和C2：＋＝1（a＞b＞0）都过点P（0，－2），

∴r＝2，b＝2，

∴曲线C1的方程为x2＋y2＝4．

∵曲线C2的离心率为，

∴e2＝＝1－＝，

∴a＝4，

∴曲线C2的方程＋＝1．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA的方程为y＝k1x－2，代入到x2＋y2＝4，消去y，可得（1＋k）x2－4k1x＝0，

解得x＝0或x1＝，

∴y1＝，

直线PB的方程为y＝k2x－2，代入方程＋＝1，

消去y，可得（1＋4k）x2－16k2x＝0，

解得x＝0或x2＝，

∴y2＝．

∵k1＝4k2，

∴直线AB的斜率k＝＝－，

故直线AB的方程为y－＝－，

即y＝－x＋2，

所以直线AB恒过定点（0，2）．

[C组　创新应用练]

（2021·大同调研）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率e＝．

（1）设E是直线y＝x＋2与椭圆的一个交点，求|EF1|＋|EF2|取最小值时椭圆的方程；

（2）已知N（0，1），是否存在斜率为k的直线l与（1）中的椭圆交于不同的两点A，B，使得点N在线段AB的垂直平分线上？若存在，求出直线l在y轴上截距的范围；若不存在，说明理由．

解析：（1）∵e＝，∴＝，椭圆的方程可化为＋＝1，将＋＝1与y＝x＋2联立，

消去y化简得4x2＋12x＋12－3b2＝0，由Δ＝144－16×（12－3b2）≥0，解得b2≥1，即b≥1，∴|EF1|＋|EF2|＝2a＝2b≥2，当且仅当b＝1时，|EF1|＋|EF2|取最小值2，

∴椭圆的方程为＋y2＝1．

（2）设直线l在y轴上的截距为t，则直线l的方程为y＝kx＋t，代入＋y2＝1，消去y整理得，

（1＋3k2）x2＋6ktx＋3t2－3＝0，∵直线l与椭圆交于不同的两点，

∴Δ1＝（6kt）2－12（t2－1）（1＋3k2）＞0，即t2＜1＋3k2．

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为Q，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2t＝，

∴AB的中点Q的坐标为，

∴当k≠0时，＝－，化简得1＋3k2＝－2t，代入t2＜1＋3k2得－2＜t＜0，又－2t＝1＋3k2＞1，∴t＜－，故－2＜t＜－．

当k＝0时，－1＜t＜1．

综上，k≠0时，直线l在y轴上截距的范围为；k＝0时，直线l在y轴上截距的范围为（－1，1）．