人教版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数i第3节函数的奇偶性及周期性学案理含解析

第三节　函数的奇偶性及周期性

‖知识梳理‖

1．函数的奇偶性

►常用结论

(1)函数奇偶性的几个重要结论

①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

③既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

④奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

(2)有关对称性的结论

①若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称．

②若对于R上的任意x都有f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)中心对称．

2．函数的周期性

(1)周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

►常用结论

定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|；若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．

对称性与周期的关系：

(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．

(2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．

(3)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)

(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)

(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)

(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√

二、走进教材

2．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是(　　)

A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x

C．y＝|ln x| D．y＝2－x

答案：B

3．(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．

答案：1

三、易错自纠

4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为(　　)

A．{x|－1<x<0或x>1}

B．{x|x<－1或0<x<1}

C．{x|x<－1或x>1}

D．{x|－1<x<0或0<x<1}

解析：选D　由题意，得f(－x)＝－f(x)，∵x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0.奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

从而函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)的大致图象如图所示：

则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1<x<0或0<x<1}，故选D．

5．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是__________．

解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．

答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)

6．若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝________．

解析：因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(0)＝0，f(x＋2)＝f(x)，所以f＋f(2)＝f＋f(0)＝f＋0＝－f＝－4＝－2.

答案：－2

|题组突破|

1．(2019届山东青岛二模)下列函数是偶函数的是(　　)

A．f(x)＝xsin x B．f(x)＝x2＋4x＋4

C．f(x)＝sin x＋cos x D．f(x)＝log3(＋x)

解析：选A　选项A、B、C、D中函数的定义域均为R.对于选项A，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝(－x)(－sin x)＝xsin x＝f(x)，所以函数是偶函数；

对于选项B，f(－x)＝x2－4x＋4≠f(x)，所以函数不是偶函数；

对于选项C，f(－x)＝sin(－x)＋cos(－x)＝－sin x＋cos x≠f(x)，所以函数不是偶函数；

对于选项D，f(－x)＝log3(－x)＝log3＝－log3(＋x)＝－f(x)，所以函数是奇函数，不是偶函数．故选A．

2．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　　)

A．－1 B．1

C．－5 D．5

解析：选D　设F(x)＝f(x)＋x，由已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，得F(x)＝F(－x)，即f(x)＋x＝f(－x)－x，∴f(－x)＝f(x)＋2x，∴f(－2)＝f(2)＋2×2＝5.

3．(2020届贵阳摸底)若f(x)＝a－是奇函数，则a＝________．

解析：解法一：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即a－＝－a＋⇒a＝＋＝＋＝1.

解法二：因为函数f(x)是奇函数且x∈R，所以f(0)＝0，即a－＝0⇒a＝1.

答案：1

►名师点津

应用函数奇偶性可解决的3类问题

(1)判定函数奇偶性

①定义法

②图象法

③性质法

设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

(2)求函数解析式中参数的值

利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．

(3)利用函数的奇偶性求值

首先判断函数解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后结合已知条件通过化简、转换求值．

|题组突破|

4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2 015)＝________．

解析：∵f(x)＝－f，

∴f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)．

∴f(x)是以3为周期的周期函数，则f(2 015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.

答案：－2

5．函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________．

解析：∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，

∴f(x)是R上的奇函数．又f(x＋2)＝f(－x)，

∴f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，

∴f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，

∴f(2 016)＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 016＋2)＝f(2 016)－f(2 016)＝0，∴f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4.

答案：4

►名师点津

函数周期性问题的求解策略

(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．

函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主，多以选择题、填空题形式出现．

常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合．

●命题角度一　单调性与奇偶性结合

【例1】　(2019年全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　　)

A．f>f(2)>f(2)

B．f>f(2)>f(2)

C．f(2)>f(2)>f

D．f(2)>f(2)>f

[解析]　∵f(x)是定义域为R的偶函数，

∴f＝f(log34)．

∵log34>log33＝1，0<2<2<20＝1，

∴0<2<2<log34.

∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

∴f(2)>f(2)>f，故选C．

[答案]　C

●命题角度二　周期性与奇偶性结合

【例2】　(2020届四川五校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝2x＋ln x，则f(2 019)＝________．

[解析]　由f(x)＝f(x＋4)得f(x)是周期为4的函数，故f(2 019)＝f(4×505－1)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋ln 1)＝－2.

[答案]　－2

●命题角度三　单调性、奇偶性与周期性结合

【例3】　已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：

①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x1<x2时，都有>0；

②f(x＋4)＝－f(x)；

③y＝f(x＋4)是偶函数．

若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)

A．a<b<c B．b<a<c

C．a<c<b D．c<b<a

[解析]　由①得，f(x)在[4，8]上单调递增；由②得，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是周期为8的周期函数，所以c＝f(2 017)＝f(252×8＋1)＝f(1)，b＝f(11)＝f(3)；由③得，f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．结合f(x)在[4，8]上单调递增可知，f(5)<f(6)<f(7)，即b<a<c.故选B．

[答案]　B

►名师点津

函数性质综合问题的求解方法

(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

(2)函数周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

(3)解决函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

|跟踪训练|

1．(2019届石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝ B．y＝|x|－1

C．y＝lg x D．y＝

解析：选B　A中函数y＝不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故D错误．故选B．

2.(2019届四川达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1，0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c B．c>a>b

C．b>c>a D．a>c>b

解析：选D　∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1，0]上单调递减，∴a>c>b，故选D．

【例】　已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(　　)

A．0 B．m

C．2m D．4m

[解析]　y＝＝1＋，其图象如图，关于点(0，1)对称．又f(－x)＝2－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝2，∴y＝f(x)的图象也关于点(0，1)对称．又∵y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，∴由图象对称性可知，这些交点也关于点(0，1)对称．不妨设点(x1，y1)与(xm，ym)关于点(0，1)对称．点(x2，y2)与(xm－1，ym－1)关于点(0，1)对称，….由对称性可知x1＋xm＝0，x2＋xm－1＝0，…，y1＋ym＝2，y2＋ym－1＝2，….∴ (xi＋yi)＝xi＋yi＝0＋2×＝m.故选B．

[答案]　B

►名师点津

求解函数对称性问题的关键是利用条件判断出函数的对称中心或对称轴．

|跟踪训练|

(2019届江西南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x＋2)＝4，g(x)＝sin πx＋2.若函数f(x)的图象与g(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则 (xi＋yi)＝(　　)

A．n B．2n

C．3n D．4n

解析：选C　因为f(x)＋f(－x＋2)＝4，所以函数f(x)的图象关于(1，2)中心对称．因为g(x)＝sin πx＋2，所以g(x)的图象也关于(1，2)对称，所以xi＝n，yi＝2n，所以 (xi＋yi)＝3n，故选C．