人教版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数i第8节函数与方程及函数模型的应用学案理含解析

第八节　函数与方程及函数模型的应用

‖知识梳理‖

1．函数的零点

(1)函数的零点的概念

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)函数的零点与方程的根的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

►常用结论

有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

3.指数、对数、幂函数模型性质比较

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)

(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、走进教材

2．(必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)

A．(1，2) B．(2，3)

C．(3，4) D．(4，5)

答案：B

3．(必修1P112T1改编)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是(　　)

A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点

B．函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点

C．函数f(x)在区间[2，16)上无零点

D．函数f(x)在区间(1，16)内无零点

答案：C

4．(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：

则对x，y最适合的拟合函数是(　　)

A．y＝2x B．y＝x2－1

C．y＝2x－2 D．y＝log2x

答案：D

5．(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)

A．2020年 B．2021年

C．2022年 D．2023年

答案：B

三、易错自纠

6．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)

A．(1，2) B．(2，3)

C．和(3，4) D．(4，＋∞)

解析：选B　易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，得f(2)·f(3)<0，故选B．

7．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是_______________________________．

答案：y＝

函数的零点问题是命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，归纳起来常见的命题角度有：(1)函数零点个数的判断；(2)函数零点所在区间的判定；(3)已知方程根或函数零点求参数范围．

●命题角度一　函数零点个数的判断

【例1】　函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．3　　  B．2

C．1 D．0

[解析]　解法一：由f(x)＝0，

得或

解得x＝－2或x＝e，

因此函数f(x)共有2个零点．

解法二：函数f(x)的图象如图所示，

由图象知函数f(x)共有2个零点．

[答案]　B

►名师点津

判断函数零点个数的3种方法

(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

●命题角度二　函数零点所在区间的判定

【例2】　(2019届太原模拟)函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(　　)

A． B．(1，2)

C．(2，e) D．(e，3)

[解析]　因为y＝ln x与y＝x－在(0，＋∞)上均单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln 2－＝ln <0，f(e)＝－＋e－2>0，所以f(2)·f(e)<0，故函数f(x)的零点所在的区间是(2，e)．

[答案]　C

►名师点津

判断函数零点所在区间的3种方法

(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．

(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

●命题角度三　已知方程根或函数零点求参数范围

【例3】　(2019届昆明市高三质检)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝2有两个解，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2) B．(－∞，2]

C．(－∞，5) D．(－∞，5]

[解析]　解法一：当x≥1时，由ln x＋1＝2，得x＝e，由方程f(x)＝2有两个解知，当x<1时，方程x2－4x＋a＝2有唯一解．令g(x)＝x2－4x＋a－2＝(x－2)2＋a－6，则g(x)在(－∞，1)上单调递减，当x<1时，g(x)＝0有唯一解，则g(1)<0，得a<5，故选C．

解法二：随着a的变化引起y＝f(x)(x<1)的图象上下平移，作出函数y＝f(x)的大致图象，如图，由图象知，要使f(x)＝2有两个解，则a－3<2，得a<5，故选C．

[答案]　C

►名师点津

已知函数有零点(方程有根)

求参数取值范围的3种常用的方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．

【例4】　(2019届山东三校联考)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单元：元)满足如下关系：W(x)＝其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元．已知这种水果的市场价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该珍稀水果树的单株利润为f(x)(单位：元)．

(1)求f(x)的函数关系式；

(2)当投入的肥料费用为多少时，该珍稀水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

[解]　(1)由已知，得f(x)＝15W(x)－20x－10x

＝15W(x)－30x

＝

＝

(2)由(1)得，f(x)＝

＝

当0≤x≤2时，f(x)max＝f(2)＝390；当2<x≤5时，f(x)＝780－30≤780－30×2＝480，当且仅当＝1＋x，即x＝4时等号成立．

因为390<480，所以当x＝4时，f(x)max＝480，

所以当投入的肥料费用为40元时，种植该果树的单株利润最大，最大利润是480元．

►名师点津

已知函数模型求解实际问题的3个步骤

(1)根据已经给出的实际问题的函数模型，分清自变量与函数表达式的实际意义，注意单位名称，并注意相关量之间的关系．

(2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋势和最优问题．

(3)最后回归问题的结论．

|跟踪训练|

(2019年北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)

A．1010.1 B．10.1

C．lg 10.1 D．10－10.1

解析：选A　由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，lg ＝－25.25，∴lg ＝－10.1，lg ＝10.1，＝1010.1.故选A．

【例】　(2019届南昌市重点中学测试)已知定义在R上的函数f(x)，当x>－1时，f(x)＝且f(x－1)为奇函数，若方程f(x)＝kx＋k(k∈R)的根为x1，x2，…，xn，则x1＋x2＋…＋xn的所有可能取值为(　　)

A．－6或－4或－2 B．－7或－5或－3

C．－8或－6或－4或－2 D．－9或－7或－5或－3

[解析]　∵f(x－1)为奇函数，∴其图象关于(0，0)中心对称，则y＝f(x)的图象关于(－1，0)中心对称，结合函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，由f(－1)＝0及x>－1时f(x)＝作出函数f(x)的图象，同时作出函数y＝kx＋k＝k(x＋1)的图象(过定点(－1，0)的直线)如图所示，当直线y＝kx＋k分别位于①、②、③、④位置时，直线y＝kx＋k与函数f(x)的图象分别有9，7，5，3个交点，且交点关于点(－1，0)两两对称，∴方程f(x)＝kx＋k分别有9，7，5，3个不等实根，根的和分别为－9，－7，－5，－3，故选D．

[答案]　D

►名师点津

函数的零点问题是函数的图象与性质的综合运用问题，因此在解题过程中，要深入分析函数的性质，根据函数的性质作出函数的图象，从而解决函数的零点问题．

|跟踪训练|

(2019届石家庄市质检)已知函数f(x)＝其中e为自然对数的底数，则对于

函数g(x)＝[f(x)]2－f(x)＋a有下列四个命题：

命题1　存在实数a，使得函数g(x)没有零点；

命题2　存在实数a，使得函数g(x)有2个零点；

命题3　存在实数a，使得函数g(x)有4个零点；

命题4　存在实数a，使得函数g(x)有6个零点．

其中，正确命题的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选D　设h(x)＝4x3－6x2＋1(x≥0)，则h′(x)＝12x(x－1)(x≥0)，∴x>1时，h′(x)>0；0<x<1时，h′(x)<0，∴函数h(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，∴h(x)的极小值为h(1)＝－1.又h(0)＝1，h＝0，∴函数f(x)的大致图象如图1所示．设f(x)＝t(t≥－1)，则u＝g(x)＝[f(x)]2－f(x)＋a，即u＝t2－t＋a，令t2－t＋a＝0，则a＝－t2＋t(t≥－1)，作出函数y＝－t2＋t(t≥－1)的图象如图2所示，当a>时，方程t2－t＋a＝0无解，∴函数g(x)没有零点；当0<a<时，方程t2－t＋a＝0有2个不相等的实根t1，t2，不妨设t2>t1，则0<t1<t2<1，由图1得函数g(x)有6个零点；当a＝0时，方程t2－t＋a＝0有2个不相等的实根t1＝0，t2＝1，由图1得函数g(x)有4个零点；当a＝－2时，方程t2－t＋a＝0有2个不相等的实根t1＝－1，t2>1，由图1得函数g(x)有2个零点．∴4个命题全部正确，故选D．