人教版高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案理含解析

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

‖知识梳理‖

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tan α＝．

2．诱导公式

►常用结论

(1)同角三角函数的基本关系式的几种变形

①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

②sin α＝tan αcos α.

(2)诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.(　　)

(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)

(4)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、走进教材

2．(必修4P21A12改编)已知tan α＝－3，则cos2α－sin2α＝(　　)

A． B．－

C． D．－

答案：B

3．(必修4P29B2改编)已知α为锐角，且sin α＝，则cos(π＋α)＝(　　)

A．－ B．

C．－ D．

答案：A

三、易错自纠

4．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)

A．－ B．－

C． D．

解析：选D　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.∵|θ|<，∴θ＝.

5．已知sin(3π－α)＝－2sin，则sin αcos α＝________.

解析：∵sin(3π－α)＝－2sin，

∴sin α＝－2cos α，

∴tan α＝－2，

∴sin αcos α＝

＝＝

＝－.

答案：－

6．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则tan θ＝________．

解析：sin θ＋cos θ＝，平方得2sin θcos θ＝－，则＝－，分子分母同时除以cos2θ，得＝－，

所以12tan2θ＋25tan θ＋12＝0，

解得tan θ＝－或tan θ＝－.

因为θ∈，sin θ＋cos θ＝>0，故sin θ>|cos θ|>0，所以tan θ＝－.

答案：－

|题组突破|

1．若cos α＝－，则sin＝(　　)

A． B．－

C． D．－

解析：选D　∵cos α＝－，∴sin＝cos α＝－.

2．(2019届江西上饶模拟)已知sin＝，则cos的值等于(　　)

A． B．

C．－ D．－

解析：选A　由cos＝cos＝sinα－＝.

3．化简：＝________．

解析：＝＝cos α.

答案：cos α

4．sin π·cos π·tan的值是________．

解析：原式＝sin·cos·tan－π－＝··

＝××(－)＝－.

答案：－

►名师点津

应用诱导公式的思路与技巧

(1)使用诱导公式的一般思路

①化大角为小角．

②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．

(2)常见的互余和互补的角

①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．

②常见的互补的角：＋θ与－θ，＋θ与－θ等．

(3)三角函数式化简的方向

①切化弦，统一名．

②用诱导公式，统一角．

③用因式分解将式子变形，化为最简．

●命题角度一　公式的直接应用

【例1】　(1)已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin α＝(　　)

A．－ B．

C．± D．

(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．

[解析]　(1)∵α∈，

∴sin α>0.

∵cos α＝k，

∴sin α＝.

(2)因为sin 1°＝cos 89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝，故原式＝44＋＝.

[答案]　(1)B　(2)

●命题角度二　sin α，cos α齐次式问题

【例2】　(1)已知tan(π－α)＝－，则＝________．

(2)若3sin α＋cos α＝0，则的值为________．

[解析]　(1)由tan(π－α)＝－，得tan α＝，

则＝

＝＝＝－.

(2)由3sin α＋cos α＝0⇒tan α＝－，

则＝＝

＝＝.

[答案]　(1)－　(2)

●命题角度三　sin α ±cos α，sin αcos α之间的关系

【例3】　已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.

(1)求sin x－cos x的值；

(2)求的值．

[解]　(1)由sin x＋cos x＝，

平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，

整理得2sin xcos x＝－.

∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.

由x∈(－π，0)，知sin x<0.

又sin x＋cos x>0，

∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，

故sin x－cos x＝－.

(2)＝

＝，

由(1)及题意得，原式＝＝－.

►名师点津

在高考中，常给出角α的一个三角函数值，求其他异名三角函数值，解题的关键就是灵活掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用及变形应用．

(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦与余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以实现知一求二．

(3)对于齐次式问题要把式子中的常数化为cos2α＋sin2α的形式．

|跟踪训练|

1．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是(　　)

A．－2 B．2

C．±2 D．

解析：选B　tan θ＋＝＋＝＝2.故选B．

2．已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则＝(　　)

A． B．

C． D．

解析：选B　∵sin α＋cos α＝，即1＋2sin αcos α＝，

∴2sin αcos α＝－，∴(cos α－sin α)2＝1＋＝.

又∵－<α<0，∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝，

∴＝＝＝.故选B．

3．(2019届郑州质检)已知cos＝2sin，则的值为________．

解析：因为cos＝2sin，所以－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，

代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝.

所以＝

＝＝cos2α－＝.

答案：

【例】　(2018年全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)

A． B．

C． D．1

[解析]　解法一：由正切定义tan α＝，

则tan α＝＝，即a＝tan α，b＝2tan α.

又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝，得tan2α＝，∴tan α＝±，

∴|b－a|＝|2tan α－tan α|＝|tan α|＝.

解法二：由两点斜率公式，得tan α＝＝b－a.

又cos 2α＝cos2α－sin2α＝

＝＝，解得tan2α＝，∴tan α＝±，

∴|b－a|＝|tan α|＝.

[答案]　B

►名师点津

同角三角函数关系式创新应用多与直线的斜率、不等式交汇应用，求解时要紧扣三角函数定义及同角三角函数关系式．

|跟踪训练|

已知曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则＝(　　)

A． B．2

C． D．－

解析：选C　由f′(x)＝2x2，得tan α＝f′(1)＝2，所以＝＝.故选C．