人教版高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第5节函数y＝asinωx＋φ的图象及三角函数模型的简单应用学案理含解析

第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

‖知识梳理‖

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

►常用结论

由y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定第一个零点的方法

确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点作为突破口．具体如下：

“第一点”为ωx＋φ＝0；“第二点”为ωx＋φ＝；“第三点”为ωx＋φ＝π；“第四点”为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.

3．三角函数图象变换的两种方法(ω>0)

►常用结论

(1)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.(　　)

(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　)

(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)

(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、走进教材

2．(必修4P56T3改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2，4π， B．2，，

C．2，，－ D．2，4π，－

答案：C

3．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：

选用一个余弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为____________．

答案：y＝6－cos x

三、易错自纠

4．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2，， B．2，，

C．2，， D．2，，－

解析：选A　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.

5．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

解析：选A　函数y＝2sin＝2sin 2x－，可由函数y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到．

6．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．

解析：由图可知，T＝π，则T＝.所以ω＝＝3.

答案：3

|题组突破|

1．(2019年天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　　)

A．－2 B．－

C． D．2

解析：选C　由f(x)为奇函数可得，φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝0，所以f(x)＝Asin ωx，所以g(x)＝Asin ωx.由g(x)的最小正周期为2π，可得＝2π，故ω＝2，所以g(x)＝Asin x．又g＝Asin ＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，故f＝2sin ＝.

2．已知函数f(x)＝4cos xsin＋a的最大值为2.

(1)求a的值及f(x)的最小正周期；

(2)在坐标系上作出f(x)在[0，π]上的图象．

解：(1)∵f(x)＝4cos xsin＋a

＝4cos x＋a

＝sin 2x＋2cos2x＋a

＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a

＝2sin＋1＋a的最大值为2，

∴a＝－1，最小正周期T＝＝π.

(2)由(1)知，f(x)＝2sin，列表：

画图如下：

►名师点津

用“五点法”作图的注意点

(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式．

(2)求出周期T＝.

(3)求出振幅A.

(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点．

【例1】　(1)(2019届广东佛山第一中学模拟)某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ|<π)，则这段曲线的函数解析式可以为(　　)

A．y＝10sin＋20，x∈[6，14]

B．y＝10sin＋20，x∈[6，14]

C．y＝10sin＋20，x∈[6，14]

D．y＝10sin＋20，x∈[6，14]

(2)(2020届大同调研)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为(　　)

A．2，－ B．2，－

C．4，－ D．4，

[解析]　(1)令ω>0.由函数图象可知，函数的最大值M为30，最小值m为10，周期T＝2×(14－6)＝16，

∴A＝＝＝10，b＝＝＝20.

又知T＝，ω>0，

∴ω＝＝，

∴y＝10sin＋20.

又知该函数图象经过点(6，10)，

∴10＝10sin＋20，即sin＝－1.

又∵|φ|<π，∴φ＝π.

故函数的解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14]，故选A．

(2)记y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T，由题图可知＝－＝，解得T＝π，由T＝＝π，得ω＝2，所以y＝sin(2x＋φ)．由函数图象过点，得2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝－，故选A．

[答案]　(1)A　(2)A

►名师点津

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法

(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.

(2)求ω：确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.

(3)求φ：常用的方法有

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．

②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：

“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z.

|跟踪训练|

1．(2019届江西吉安五校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x的图象，只需将f(x)的图象(　　)

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

解析：选A　不妨设ω>0，由图象可知，A＝1，又知＝π－＝，得T＝π，

又∵T＝，ω>0，

∴ω＝＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．

又知函数图象经过点，

sin＝－1，

∴π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．

又∵|φ|<，∴φ＝，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin，故只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可得到g(x)＝sin 2x的图象，故选A．

【例2】　(2019届山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)说明函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin 2x－cos 2x的图象经过怎样的平移变换得到；

(3)若方程f(x)＝m在x∈上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

[解]　(1)由题图可知，A＝2，T＝4＝π，

∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，又∵f＝2，∴sin＝1，

∵|φ|<，

∴φ＝，∴f(x)＝2sin.

(2)y＝sin 2x－cos 2x

＝2sin

＝2sin，

故将函数y＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移个单位长度就得到函数y＝f(x)的图象．

(3)当－≤x≤0时，－≤2x＋≤，故－2≤f(x)≤，若方程f(x)＝m在x∈上有两个不相等的实数根，则曲线y＝f(x)与直线y＝m在x∈上有2个交点，结合图形，易知－2<m≤－.

故m的取值范围为(－2，－]．

►名师点津

解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．

|跟踪训练|

2.函数f(x)＝cos(πx＋φ)0<φ<的部分图象如图所示．

(1)求φ及图中x0的值；

(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．

解：(1)由题图得，f(0)＝，所以cos φ＝.

因为0<φ<，故φ＝.

由于f(x)的最小正周期等于2，

所以由题图可知，1<x0<2，

故<πx0＋<，

由f(x0)＝，得cos＝，

所以πx0＋＝，则x0＝.

(2)由(1)得，f(x)＝cos，因为f＝cos＝cos＝－sin πx，

所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx

＝cos πxcos－sin πxsin－sin πx

＝cos πx－sin πx

＝sin.

当x∈时，－≤－πx≤.

所以－≤sin≤1，

故当－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；

当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.

【例】　(2019年全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：

①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点

②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点

③f(x)在上单调递增

④ω的取值范围是

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①④ B．②③

C．①②③ D．①③④

[解析]　如图，根据题意知，xA≤2π<xB，根据图象可知函数f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2π<xB，有≤2π<，得≤ω<，所以④正确；当x∈时，<ωx＋<＋，因为≤ω<，所以＋<<，所以函数f(x)在上单调递增，所以③正确．

[答案]　D

►名师点津

本题通过三角函数的图象性质与零点，极值点交汇考查数形结合思想及逻辑推理能力．

|跟踪训练|

(2019届长春市第二次质量监测)定义在[0，π]上的函数y＝sin(ω>0)有零点，且值域M⊆－，＋∞，则ω的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

解析：选C　由0≤x≤π，得－≤ωx－≤ωπ－，当x＝0时，y＝－.因为函数y＝

sin在[0，π]上有零点，所以0≤ωπ－，ω≥.因为值域M⊆，所以ωπ－≤π＋，ω≤，从而≤ω≤.故选C．