人教版高考数学一轮复习第5章平面向量第3节平面向量的数量积及应用举例学案理含解析

第三节　平面向量的数量积及应用举例

‖知识梳理‖

1．平面向量的数量积

2.向量的夹角

►常用结论

两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．

3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.

►常用结论

平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)

(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)

(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)

(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×

二、走进教材

2．(必修4P108A10改编)设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：A

3．(必修4P108A2改编)在圆O中，长度为的弦AB不经过圆心，则·的值为________．

答案：1

三、易错自纠

4．给出下列说法：

①向量b在向量a方向上的投影是向量；

②若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角；

③(a·b)c＝a(b·c)；

④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.

其中正确的说法有________个．

答案：0

5．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为________．

解析：由题意，得＝(2，1)，＝(5，5)．由定义知，在方向上的投影为＝＝.

答案：

6．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，则a·b＝________．

解析：当a，b的夹角为0°时，a·b＝15；当a，b的夹角为180°时，a·b＝－15.

答案：15或－15

|题组突破|

1．(2019年全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)

A．－3 B．－2

C．2 D．3

解析：选C　因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C．

2．(2020届陕西摸底)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝4，则(a－b)·b＝(　　)

A．－16 B．－13

C．－12 D．－10

解析：选C　(a－b)·b＝a·b－b2＝|a||b|cos 60°－|b|2＝2×4×－42＝－12.故选C．

3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.

解析：解法一(几何法)：因为·＝2·，

所以·－·＝·，

所以·＝·.

因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，

所以2||＝||·||cos ，化简得||＝2.

故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12.

解法二(坐标法)：如图，建立平面直角坐标系xAy.

依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，则由·＝2·，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，

所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.

故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.

答案：12

►名师点津

求非零向量a，b的数量积的3种方法

常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直．

●命题角度一　平面向量的模

【例1】　(1)(2019届昆明调研)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，3)，则|2a－b|＝(　　)

A． B．2

C． D．10

(2)(2019届长春质检)已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________．

[解析]　(1)∵a＝(－1，2)，∴2a＝(－2，4)．∵b＝(1，3)，∴2a－b＝(－3，1)，∴|2a－b|＝，故选C．

(2)由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos ＋2×1×3×cos ＋2×1×3×cos ＝4，所以|a＋b＋c|＝2.

[答案]　(1)C　(2)2

●命题角度二　平面向量的夹角

【例2】　(1)(2019年全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)

A． B．

C． D．

(2)(2019年全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．

[解析]　(1)设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，

∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a||b|cos α＝|b|2.

又|a|＝2|b|，∴cos α＝.∵α∈[0，π]，∴α＝.故选B．

(2)由题意可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.

[答案]　(1)B　(2)

●命题角度三　平面向量的垂直

【例3】　(1)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)

A．直角梯形 B．矩形

C．菱形 D．正方形

(2)(2020届四川五校联考)已知a＝(2，－1)，b＝(λ，1)，若a⊥b，则λ＝________．

[解析]　(1)由＋＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0得·＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C．

(2)因为a⊥b，所以a·b＝0，即2×λ＋(－1)×1＝0，解得λ＝.

[答案]　(1)C　(2)

►名师点津

平面向量数量积求解问题的策略

(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．

(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.

(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：

①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.

②|a±b|＝＝.

③若a＝(x，y)，则|a|＝.

|跟踪训练|

1．(2019年全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝(　　)

A． B．2

C．5 D．50

解析：选A　依题意得a－b＝(－1，1)，∴|a－b|＝＝，故选A．

2．(2019年北京卷)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________．

解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，即－4×6＋3m＝0，解得m＝8.

答案：8

3．(2019年全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cos〈a，b〉＝________．

解析：cos〈a，b〉＝＝＝－.

答案：－

平面向量的数量积常与最值、范围问题相结合创新考点．该类题目能力要求较高，难度大，有一定的综合性．

【例】　(1)(2019届武汉调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)

A．1＋ B．1－

C．－1 D．1

(2)如图，在平面四边形ABCD中，|＋|＝|－|，＝2，＝－2，||＝||＝2，若F为线段DE上的动点，则·的最小值为(　　)

A．1 B．2

C．4 D．3

[解析]　(1)如图，作出，使得＋＝.∵⊥，∴·＝0，∴(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·.由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A．

(2)由|＋|＝|－|，得AB⊥BC．由＝2，得BC∥AD，则AD⊥AB．又＝－2，||＝||＝2，所以AB＝3，BC＝BE＝2，AD＝AE＝1.以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，3)，C(2，0)，B(0，0)，D(1，3)，E(0，2)，所以DE所在的直线方程为y＝x＋2.设F(x，y)(0≤x≤1)，则＝(x，y)，＝(x－2，y)，所以·＝x(x－2)＋y2＝x2－2x＋(x＋2)2＝2x2＋2x＋4.因为0≤x≤1，所以当x＝0时，·取得最小值4.故选C．

[答案]　(1)A　(2)C

►名师点津

平面向量中有关最值、范围问题的2种解题思路

(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．

(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．

|跟踪训练|

在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．

解析：不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．由题意可设M(a，2－a)，N(a＋1，1－a)(由题意可知0<a<1)，

∴＝(a，2－a)，＝(a＋1，1－a)，

∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)

＝2a2－2a＋2＝2＋.

∵0<a<1，

∴·∈.

答案：