人教版高考数学一轮复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和学案理含解析

第三节　等比数列及其前n项和

‖知识梳理‖

1．等比数列的有关概念

(1)定义

①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．

②符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)．

(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式

3．等比数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．

(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq．

特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a.

(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠1)．

(4)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列．

(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk．

►常用结论

1．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．

3．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

4．当q≠0且q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，这时k＝.

5．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(　　)

(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)

(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)

(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)

(5)等比数列中不存在数值为0的项．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

二、走进教材

2．(必修5P53A1(2)改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)

A．－ B．－2

C．2 D．

答案：D

3．(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．

答案：27，81

三、易错自纠

4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝an－1(a是不为0的实数)，则{an}(　　)

A．一定是等比数列

B．一定是等差数列

C．是等差数列或是等比数列

D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

解析：选C　当a＝1时，{an}的各项都为0，则这个数列是等差数列，但不是等比数列；当a≠1时，由Sn＝an－1知，{an}是等比数列，但不是等差数列，故选C．

5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)

A．31 B．32

C．63 D．64

解析：选C　由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.

6．设{an}是公比为正数的等比数列，Sn为{an}的前n项和，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．

解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，

由a5＝a1q4＝16，a1＝1，得q4＝16，解得q＝2，

所以S7＝＝＝127.

答案：127

|题组突破|

1．(2019年全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)

A．16 B．8

C．4 D．2

解析：选C　设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，又数列{an}的各项均为正数，所以q＝2.又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.

2．(2019年全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________．

解析：解法一：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1.又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.

解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1.又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.

答案：

3．(2019年全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．

解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.

因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.

(2)由(1)得，bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋2n－1＝＝n2.

►名师点津

等比数列基本量运算的解题策略

(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．

(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.

|题组突破|

4．(2019届福州市质检)等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3＝4，a2a6＝64，则S5＝(　　)

A．32 B．31

C．64 D．63

解析：选B　解法一：设首项为a1，公比为q，因为an>0，所以q>0，由条件得解得所以S5＝＝31，故选B．

解法二：设首项为a1，公比为q，因为an>0，所以q>0，由a2a6＝a＝64，得a4＝8，又a3＝4，所以q＝2，a1＝1，所以S5＝＝31，故选B．

5．(2020届贵阳摸底)若等比数列{an}的各项均为正数，a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)

A．12 B．10

C．8 D．2＋log35

解析：选B　由等比数列的性质知，a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，所以a5a6＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log395＝10.故选B．

6．(2020届陕西摸底)在等比数列{an}中，若an＞0，a2a4＝1，a1＋a2＋a3＝7，则公比q＝(　　)

A． B．

C．2 D．4

解析：选B　解法一：由题意得q＞0，a1＞0，因为所以解得故选B．

解法二：由等比数列的性质得a＝a2a4＝1，结合an＞0，得a3＝1.由a1＋a2＋a3＝7，得＋＋a3＝7，则＋＝6，结合q＞0，得q＝，故选B．

►名师点津

等比数列常见性质的应用

等比数列性质的应用可以分为三类

(1)通项公式的变形．

(2)等比中项的变形．

(3)前n项和公式的变形．

根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

【例】　(2019届广州市调研测试)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．

(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？

[解]　(1)证明：∵a3＝7，a3＝3a2－2，∴a2＝3，

∴an＝2an－1＋1，

∴a1＝1.

又＝＝2(n≥2)，且a1＋1＝2，

∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．

(2)由(1)知，an＋1＝2n，

∴an＝2n－1，

∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2，

∴n＋Sn－2an＝n＋(2n＋1－n－2)－2(2n－1)＝0，

∴n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列．

►名师点津

等比数列的判定方法

(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．

(2)等比中项法：若数列{an}中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．

(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．

[提醒]　(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．

(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

|跟踪训练|

(2020届大同调研)在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1＋n－2(n≥2，且n∈N*)．

(1)求a2和a3的值；

(2)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式；

(3)求数列{an}的前n项和Sn.

解：(1)∵a1＝3，an＝2an－1＋n－2，∴a2＝2a1＋2－2＝6，∴a3＝2a2＋3－2＝13.

(2)证明：∵an＝2an－1＋n－2，n≥2，∴an＋n＝2(an－1＋n－1)，n≥2.

又a1＋1＝4，∴{an＋n}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＋n＝4×2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－n.

(3)由(2)得an＝2n＋1－n，∴Sn＝22－1＋23－2＋…＋2n－(n－1)＋2n＋1－n＝22·－＝2n＋2－.

【例】　(2019届南宁二中、柳州高中第二次联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还．意思是：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第五天走的路程为(　　)

A．48里 B．24里

C．12里 D．6里

[解析]　由题意知，该人每天走的路程数构成公比为的等比数列，记为{an}，设其前n项和为Sn，由S6＝378，得＝378，解得a1＝192，所以a5＝192×＝12(里)，故选C．

[答案]　C

►名师点津

求解等比数列应用问题的关键是建立等比数列模型．

|跟踪训练|

(2019届安徽池州模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是：某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程，则下列说法错误的是(　　)

A．此人第二天走了九十六里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

C．此人第三天走的路程占全程的

D．此人后三天共走了四十二里路

解析：选C　记每天走的路程里数为an(n＝1，2，3，…，6)，

由题意知{an}是公比为的等比数列，

由S6＝378，得＝378，

解得a1＝192，所以a2＝192×＝96，故A正确；

此人第一天走的路程比后五天走的路程多192－(378－192)＝6(里)，故B正确；

a3＝192×＝48，>，故C不正确；

前3天走的路程为192＋96＋48＝336(里)，

则后3天走的路程为378－336＝42(里)，故D正确．故选C．