人教版高考数学一轮复习第9章解析几何第2节两直线的位置关系学案理含解析

第二节　两直线的位置关系

‖知识梳理‖

1．两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．

(2)两条直线垂直

如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．

►常用结论

两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．

2．两直线相交

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解．

3．距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝．

特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝_．

(2)点到直线的距离公式

平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．

(3)两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.

►常用结论

1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．

2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.

3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.

4．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．

5．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．

6．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．

7．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．

8．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)

(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)

(5)两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

二、走进教材

2．(必修2P114A10改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)

A． B．

C．7 D．

答案：D

3．(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________．

答案：1

三、易错自纠

4．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　)

A． B．

C．8 D．2

解析：选D　∵＝≠，∴m＝8，∴直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，∴两平行线之间的距离d＝＝2.

5．已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝(　　)

A．－7或－1 B．－7

C．7或1 D．－1

解析：选B　由题意可得a≠－5，

所以＝≠，解得a＝－7(a＝－1舍去)．

6．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________．

解析：由题意得，＝1，

∴|a＋1|＝.∵a>0，∴a＝－1.

答案：－1

|题组突破|

1．直线ax＋y＋7＝0与4x＋ay－3＝0平行，则a＝(　　)

A．2 B．2或－2

C．－2 D．－

解析：选B　由直线ax＋y＋7＝0与4x＋ay－3＝0平行，可得＝≠，解得a＝±2，故选B．

2．已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝(　　)

A．2或 B．或－1

C． D．－1

解析：选B　∵直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，

l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，

∴2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，

解得a＝或a＝－1.故选B．

3．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A.P，Q分别为l1，l2上任意一点，点M为线段PQ的中点．若|AM|＝|PQ|，则m的值为(　　)

A．2 B．－2

C．3 D．－3

解析：选A　根据题意画出图形如图所示．

在△PQA中，M为PQ的中点，若|AM|＝|PQ|，则PA⊥QA，即l1⊥l2，

∴1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2.故选A．

►名师点津

解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”

|题组突破|

4．(2019届厦门模拟)“c＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3”的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B　由点(2，1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离d＝＝3，解得c＝5或c＝－25，故“c＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B．

5．已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，且点P(，－1)，则|PM|的最小值为(　　)

A． B．1

C．2 D．3

解析：选B　|PM|的最小值即点P(，－1)到直线x＋y＝2的距离，又d＝＝1，故|PM|的最小值为1.故选B．

6．(2019届绵阳诊断)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选C　因为＝≠，所以两直线平行．

由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.故选C．

►名师点津

处理距离问题的2大策略

(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．

(2)两动点距离问题，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点所在直线的平行问题，从而计算简便．

●命题角度一　点关于点的对称

【例1】　过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．

[解析]　设直线l1与直线l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上．

所以由P(0，1)，A(4，0)得直线l的方程为x＋4y－4＝0.

[答案]　x＋4y－4＝0

►名师点津

点关于点对称的求解方法

若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．

●命题角度二　点关于线的对称问题

【例2】　(2019届湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　)

A．(－2，4) B．(－2，－4)

C．(2，4) D．(2，－4)

[解析]　设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)，则解得∴A′(4，－2)在直线BC上，∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2，4)．

[答案]　C

►名师点津

点关于直线对称的解题方法

若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．

●命题角度三　线关于点或线的对称问题

【例3】　与直线2x＋y－4＝0关于直线x－y＋1＝0对称的直线的方程为________．

[解析]　设P(x，y)是待求直线上任意一点，Q(x0，y0)是P关于直线x－y＋1＝0的对称点，则Q在直线2x＋y－4＝0上，由轴对称图形的性质有

解得

将(y－1，x＋1)代入2x0＋y0－4＝0中，得x＋2y－5＝0.

[答案]　x＋2y－5＝0

►名师点津

1．线关于点对称的求解方法

(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；

(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求的直线方程．

2．线关于点对称的实质

“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．

|跟踪训练|

1．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为(　　)

A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0

C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0

解析：选A　因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选A．

2．坐标原点(0，0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)

A． B．

C． D．

解析：选A　直线x－2y＋2＝0的斜率k＝，设坐标原点(0，0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得解得即所求点的坐标是.

3．已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为__________________．

解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，

所以解得即M′(1，0)．

又反射光线经过点N(2，6)，

所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.

答案：6x－y－6＝0

【例】　(2019年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．

[解析]　解法一：设P，x>0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.

解法二：由y＝x＋(x>0)得y′＝1－，令1－＝－1，得x＝，则当点P的坐标为(，3)时，点P到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为＝4.

[答案]　4

►名师点津

求曲线上一点到直线的距离的最小值时，一般方法是设出曲线上点的坐标，利用点到直线的距离公式建立目标函数，再由基本不等式或导数求解最值，也可平移直线，使平移后的直线与曲线相切，此时切点到原直线的距离最短．

|跟踪训练|

在[1，5]内随机取一个实数a，则直线ax－y＋1＝0与直线ax－y＋3＝0之间的距离小于或等于1的概率为________．

解析：因为直线ax－y＋1＝0与直线ax－y＋3＝0之间的距离为，所以令≤1，得a≤－或a≥，又a∈[1，5]，所以≤a≤5，所以所求的概率为.

答案：