人教版高考数学一轮复习第9章解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系学案理含解析

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系

‖知识梳理‖

1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)

2.圆与圆的位置关系

设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r(R>r)，则

►常用结论

1．圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．圆系方程

(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b是定值，r是参数．

(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．

(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　)

(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)

(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)

(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、走进教材

2．(必修2P132A5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．

答案：

3．(必修2P133A9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．

答案：2

三、易错自纠

4．(2019届惠州调研)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)

A．内切 B．相交

C．外切 D．相离

解析：选B　由题意知，两圆的圆心距离为＝，两圆的半径之差为1，半径之和为5，又1<<5，所以两圆相交．

5．直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦长为(　　)

A．6 B．3

C．6 D．3

解析：选A　设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦为AB．∵圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝＝1，∴弦长|AB|＝2×＝2＝2×3＝6.故选A．

6．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________________．

解析：由已知条件知圆心为(－1，－2)，半径r＝5，弦长m＝8.

设弦心距是d，则由勾股定理得r2＝d2＋，即25＝d2＋16，解得d＝3.若l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－4，圆心到直线的距离是3，符合题意．若l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0，则d＝＝3，即9k2－6k＋1＝9k2＋9，解得k＝－，则直线l的方程为4x＋3y＋25＝0.所以直线l的方程是x＋4＝0或4x＋3y＋25＝0.

答案：x＋4＝0或4x＋3y＋25＝0

|题组突破|

1．(2019届西安模拟)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是(　　)

A．相切 B．相交

C．相离 D．不确定

解析：选B　由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由解得x＝－1，y＝－1，即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)．又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5<0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．

2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)

A．内切 B．相交

C．外切 D．相离

解析：选B　由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，所以圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，半径之和为3，1<<3，故两圆相交．

►名师点津

1．判断直线与圆的位置关系的一般方法

2.圆与圆位置关系问题的解题策略

(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．

(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．

【例1】　(2019届广东七校联考)已知点P(3，＋2)，Q(4，3)，圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝9.

(1)求过点P的圆M的切线方程；

(2)求过点Q的圆M的切线方程以及切线长．

[解]　由题意知圆M的圆心为M(1，2)，半径r＝3.

(1)∵(3－1)2＋(＋2－2)2＝9，∴点P在圆M上．

又kPM＝＝，∴切线的斜率k＝－＝－.∴过点P的圆M的切线方程为y－(＋2)＝－(x－3)，即2x＋y－11－2＝0.

(2)∵(4－1)2＋(3－2)2＝9＋1＝10>9，

∴点Q在圆M外部．

①当过点Q的直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝4，即x－4＝0.

又知点M(1，2)到直线x－4＝0的距离d＝4－1＝3＝r，∴直线x－4＝0符合题意．

②当过点Q的直线的斜率存在时，设直线方程为y－3＝k(x－4)，即kx－y－4k＋3＝0，则圆心M到直线的距离d＝＝3，即|1－3k|＝3，解得k＝－，

∴切线方程为－x－y－4×＋3＝0，即4x＋3y－25＝0.

综上可知，过点Q的圆M的切线方程为x＝4或4x＋3y－25＝0.

∵|QM|＝＝，

∴过点Q的圆M的切线长为＝＝1.

►名师点津

1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法

先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．

2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法

[提醒]　当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．

|跟踪训练|

1．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0.

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．

解：(1)将圆C的方程化为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝2，即C(1，2)，半径为.

当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx(k≠0)，

由直线与圆相切得＝，

解得k＝－2±，

所以切线方程为y＝(－2＋)x或y＝(－2－)x.

当直线在两坐标轴上的截距不为零时，

设直线方程为x＋y－a＝0，

由直线与圆相切得＝，解得a＝1或a＝5，所以切线方程为x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.

综上，所求的切线方程为y＝(－2＋)x或y＝(－2－)x或x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.

(2)由|PM|＝|PO|得(x1－1)2＋(y1－2)2－2＝x＋y，

即2x1＋4y1－3＝0，即点P在直线l：2x＋4y－3＝0上，

所以|PM|min＝|PO|min＝＝.

【例2】　已知⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.

(1)求⊙H的方程；

(2)若存在过点P(a，0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范围．

[解]　(1)设⊙H的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r>0)，

因为⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2，1)，所以m＝2，n＝1.

又⊙H截x轴所得线段的长为2，

所以r2＝1＋n2＝2，

所以⊙H的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.

(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，

所以M.

因为M，N两点均在⊙H上，

所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2， ①

＋＝2，

即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8. ②

若记⊙I为(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，

由①②知⊙H与⊙I有公共点，

从而2－≤|HI|≤2＋，

即≤≤3，

整理可得2≤a2－4a＋5≤18，

解得2－≤a≤1或3≤a≤2＋，

所以实数a的取值范围是[2－，1]∪[3，2＋ ]．

►名师点津

有关弦长问题的2种求法

|跟踪训练|

2．(2019届河北石家庄质检)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：选B　将圆的方程化为标准方程，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圆心为C(－1，a)，当弦AB最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点(1，2)的连线和直线2x－y＝0垂直，所以×2＝－1，解得a＝3.

3．(2019届安徽合肥调研)已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)相交所得的弦长为2，则圆C的半径r＝(　　)

A． B．2

C．2 D．4

解析：选B　解法一：由题意知圆C的圆心为(2，1)，圆心到直线l的距离d＝＝，又弦长为2，所以2＝2，所以r＝2，故选B．

解法二：联立得整理得2x2－12x＋20－r2＝0，设直线与圆的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝×＝2，解得r＝2.

【例】　(2019届河南信阳二模)若直线y＝kx＋1(k≠0)与圆x2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，C点坐标为(3，0)，若点M(a，b)满足＋＋＝0，则a＋b等于(　　)

A．1 B．

C． D．

[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．圆x2＋(y－1)2＝1的圆心为N(0，1)，又知直线y＝kx＋1(k≠0)恒过定点(0，1)，即圆心N，所以x1＋x2＝0，y1＋y2＝2.因为＋＋＝0，所以点M为△ABC的重心，所以所以a＋b＝，故选C．

[答案]　C

►名师点津

直线与圆的位置关系多与平面向量、不等式、概率等交汇应用考查，着重考查数学运算能力．

|跟踪训练|

直线x＋y＋t＝0与圆x2＋y2＝2相交于M，N两点，已知O是坐标原点，若|＋|≤||，则实数t的取值范围是________．

解析：将|＋|≤||＝|－|两边平方，得·≤0，所以圆心到直线的距离d＝≤×＝1，解得－≤t≤，故实数t的取值范围是[－， ]．

答案：[－， ]