人教版高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第6节离散型随机变量及其分布列学案理含解析

第六节　离散型随机变量及其分布列

‖知识梳理‖

1．离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

称为离散型随机变量X的概率分布列．

(2)离散型随机变量的分布列的性质

①pi≥0(i＝1，2，…，n)；

②p1＋p2＋…＋pn＝1.

3．常见的离散型随机变量的分布列

(1)两点分布列

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．

(2)超几何分布列

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

►常用结论

超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：

(1)考察对象分两类．

(2)已知各类对象的个数．

(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．

超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．(　　)

(2)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)

(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出．(　　)

(4)如果随机变量X的分布列由下表给出，

则它服从两点分布．(　　)

(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

二、走进教材

2．(选修2－3P49练习2改编)抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上的次数X的所有可能值是________．

答案：0，1，2

3．(选修2－3P77A1改编)已知离散型随机变量X的分布列为

则常数q＝________．

答案：1－

三、易错自纠

4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a，k＝1，2，3，则a的值为(　　)

A．1 B．

C． D．

解析：选D　因为随机变量X的分布列为

P(X＝k)＝a(k＝1，2，3)，

所以根据分布列的性质有a×＋a＋a＝1，

即a＝a×＝1，所以a＝.

5．已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝________．

解析：由分布列的性质知＋＋＝1，∴a＝3，

∴P(X＝2)＝＝.

答案：

6．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________．

解析：由题意知，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝＝.

答案：

|题组突破|

1．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选D　由题意知，×a＝1，所以a＝1，解得a＝.

故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.

2．若随机变量η的分布列如下：

则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是(　　)

A．x≤2 B．1<x<2

C．1≤x≤2 D．1<x≤2

解析：选D　由题中给出的分布列，可读出相应的概率值，则P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)＝0.8.又P(η<x)＝0.8，所以1<x≤2.

3．设离散型随机变量X的分布列为

(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；

(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列．

解：由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.

(1)首先列表为

从而Y＝2X＋1的分布列为

(2)列表为

∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，

P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，

P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，

P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.

故η＝|X－1|的分布列为

►名师点津

离散型随机变量的分布列的性质的应用

(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值．

(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．

【例1】　一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)

[解]　(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P＝＝.

(2)X的所有可能值为1，2，3，且

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

故X的分布列为

►名师点津

求超几何分布的分布列的步骤

第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；

第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；

第三步，用表格的形式列出分布列．

|跟踪训练|

1．(2019届惠州市第三次调研)某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．

(1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．

解：(1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝，所以选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.

(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，

P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，

所以随机变量X的分布列是

【例2】　随着人口老龄化的到来，我国的劳动人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题．为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄在[25，30)，[55，60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．

(1)求从年龄在[25，30)的被调查者中选取的2人都赞成的概率；

(2)求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；

(3)若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列．

[解]　(1)设“年龄在[25，30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A，则P(A)＝＝.

(2)设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B，

则P(B)＝＋＋＝.

(3)X的可能取值为0，1，2，3，

所以P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.

所以随机变量X的分布列为

►名师点津

求离散型随机变量分布列的步骤

(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2，3，…，n)．

(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi.

(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．

|跟踪训练|

2．为了了解高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知次数在[100，110)间的频数为7，次数在110以下(不含110)视为不达标，次数在[110，130)间的视为达标，次数在130以上视为优秀．

(1)求此次抽样的样本总数为多少人？

(2)在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？

(3)将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标成绩记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们的分值和记为X，求X的分布列．

解：(1)设样本总数为n，由频率分布直方图可知，次数在[100，110)间的频率为0.014×10＝0.14，所以＝0.14，解得n＝50.

(2)记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A.

P(C)＝0.006×10＋0.014×10＝0.20；

P(B)＝0.028×10＋0.022×10＝0.50；

P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.30.

(3)在高一学生中随机抽取2名学生的成绩和X的所有可能取值为10，15，20，25，30.

P(X＝10)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝15)＝2×0.2×0.5＝0.2；P(X＝20)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37；P(X＝25)＝2×0.3×0.5＝0.3；P(X＝30)＝0.32＝0.09.

所以X的分布列为

【例】　已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．

[解析]　据题意，设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，解得a＝.

由题意知，解得－≤d≤.

[答案]　

►名师点津

解决此类问题的关键在于抓住离散型随机变量的性质，P1＋P2＋…＋Pn＝1，注意0≤Pi≤1易忽视．

|跟踪训练|

已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：

则P(ξ＝10)等于________．

解析：由分布列的性质，得m＝1－＝1－＝.

答案：