人教版高考数学一轮复习第12章推理与证明算法复数第4节复数学案理含解析

第四节　复　数

‖知识梳理‖

1．复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝_．

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量．

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

►常用结论

1．(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.

2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

3．z·＝| z |2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

4．复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．

5．复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)

(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　　)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√

二、走进教材

2．(选修2－2P106A2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)

A．1 B．2

C．1或2 D．－1

答案：B

3．(选修2－2P116A1改编)复数的共轭复数是(　　)

A．2－i B．2＋i

C．3－4i D．3＋4i

答案：C

三、易错自纠

4．设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解析：选D　由题意得所以x＝4，y＝－2，所以复数z＝4－2i，位于复平面的第四象限，故选D．

5．若复数z＝(其中i为虚数单位)，则z＝(　　)

A．1＋i B．1－i

C．－1＋i D．－1－i

解析：选B　∵z＝＝＝1＋i，∴z＝1－i，故选B．

6．化简：＝________．

解析：＝＝＝1－i.

答案：1－i

|题组突破|

1．(2019届开封定位考试)复数z＝，则(　　)

A．z的共轭复数为1＋i B．z的实部为1

C．|z|＝2 D．z的虚部为－1

解析：选D　因为z＝＝＝－1－i，所以复数z的实部和虚部均为－1，＝－1＋i，|z|＝，故选D．

2．(2020届四川五校联考)已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为(　　)

A．－ B．

C．－ D．

解析：选A　(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)i，由于(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，故解得a＝－，故选A．

3．若复数z＝(其中a∈R，i为虚数单位)的虚部为1，则|z|＝(　　)

A．1 B．2

C． D．

解析：选C　依题意得，复数z＝＝＋i的虚部为1，所以＝1，解得a＝2，∴z＝1＋i，∴|z|＝，故选C．

4．(2020届贵阳摸底)若复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数＝(　　)

A．1＋i B．1－i

C．－1＋i D．－1－i

解析：选D　z＝＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i.故选D．

►名师点津

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.

(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

|题组突破|

5．(2019年全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)

A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1

解析：选C　∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi；x，y∈R.∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C．

6．(2019年全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解析：选C　∵z＝－3＋2i，∴＝－3－2i，

∴在复平面内，对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．故选C．

7．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．

解析：由条件得，＝(3，－4)，＝(－1，2)，＝(1，－1)，又＝λ＋μ，∴(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，

∴解得

∴λ＋μ＝1.

答案：1

►名师点津

解决与复数的几何意义相关问题的一般步骤

(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式．

(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．

|题组突破|

8．(2019年全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)

A．－1－i B．－1＋i

C．1－i D．1＋i

解析：选D　由题意得，z＝＝＝1＋i，故选D．

9．(2019届合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　)

A．5 B．5i

C．－－i D．－＋i

解析：选A　＝＝5，故选A．

10．(2019届贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝(　　)

A．1＋i B．1－i

C．－1－i D．－1＋i

解析：选C　由题意得，z＝－1＝－1－i，故选C．

►名师点津

复数代数形式运算问题的解题策略

【例】　(1)规定＝ad－bc.若在复平面上的三个点A，B，C分别对应复数0，z，zi，其中z满足＝i，则△ABC的面积为(　　)

A．25 B．

C．5 D．

(2)已知不相等的复数z1，z2，设有下面三个命题：

p1：若z1＋z2是实数，则z1＝2；

p2：若|z1|＝|z2|，则z＝z；

p3：若z1＝2，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称．

其中真命题的个数为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

[解析]　(1)由题意，得z－(1＋i)(1－i)＝i，所以z＝2＋i，所以zi＝(2＋i)i＝－1＋2i，则A(0，0)，B(2，1)，C(－1，2)．

于是，|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝，

则有|AB|2＋|AC|2＝10＝|BC|2，即△ABC是等腰直角三角形．所以△ABC的面积为S＝××＝，故选D．

(2)当z1＝2，z2＝3时，z1＋z2＝5∈R，但2＝3，z1≠2，故p1错误；当z1＝1＋i，z2＝1－i时，|z1|＝，|z2|＝，|z1|＝|z2|，但z＝2i，z＝－2i，z≠z，故p2错误；设z2＝a＋bi(a∈R，b≠0)，则1＝z2＝a－bi，z1在复平面内对应的点的坐标为(a，－b)，z2在复平面内对应的点的坐标为(a，b)，点(a，－b)与点(a，b)关于实轴对称，故p3正确．故选B．

[答案]　(1)D　(2)B

►名师点津

与复数有关的交汇问题常与判断命题的真假、数学文化及向量等知识结合，求解时注意复数的概念，几何意义及运算．

|跟踪训练|

(2019届南昌市一模)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，ei表示的复数位于复平面中的(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解析：选A　根据欧拉公式得ei＝cos ＋isin ＝＋i，它在复平面中对应的点为，位于复平面中的第一象限．故选A．