人教版高考数学一轮复习第7章不等式第2节二元一次不等式组及简单的线性规划问题学案理含解析

第二节　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

‖知识梳理‖

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

2.二元一次不等式(组)的解集

满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．

3．线性规划的有关概念

►常用结论

1．判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论

把Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0化为y>kx＋b或y<kx＋b的形式．

(1)若y>kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0上方．

(2)若y<kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0下方．

2．求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，若b>0，则直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；若b<0，则相反．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)

(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．(　　)

(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　)

(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　　)

(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

二、走进教材

2．(必修5P86T3改编)不等式组表示的平面区域是(　　)

答案：B

3．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是(　　)

A．3，－3 B．2，－4

C．4，－2 D．4，－4

答案：C

三、易错自纠

4．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)

A． B．

C． D．

解析：选C　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

解得A(1，1)，

易得B(0，4)，C，则|BC|＝4－＝.

所以S△ABC＝××1＝.

5．已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax(a∈R)取最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)

C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

解析：选A作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a≤0时，直线y＝ax＋z在点(1，3)处不可能取得最大值；当a>0时，目标函数z＝y－ax要在(1，3)处取得最大值时有唯一最优解应满足a>1，故选A．

|题组突破|

1．不等式组表示的平面区域的面积为(　　)

A．4 B．1

C．5 D．无穷大

解析：选B　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(2，2)，C(3，0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.

2．(2019届漳州调研)若不等式组所表示的平面区域被直线l：mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝(　　)

A． B．2

C．－ D．－2

解析：选A　由题意可画出可行域为△ABC及其内部所表示的平面区域，如图所示．

联立可行域边界所在直线方程，可得A(－1，1)，B，C(4，6)．因为直线l：y＝m(x＋1)＋1过定点A(－1，1)，直线l将△ABC分为面积相等的两部分，所以直线l过边BC的中点D，易得D，将D代入mx－y＋m＋1＝0，解得m＝，故选A．

3．不等式组所表示的平面区域内的整点个数为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：选C　由不等式2x＋y<6得y<6－2x，又x>0，y>0，∴当x＝1时，0<y<4，则y＝1，2，3，此时整点有(1，1)，(1，2)，(1，3)；当x＝2时，0<y<2，则y＝1，此时整点有(2，1)；当x＝3时，y无解．故平面区域内的整点个数为4.

►名师点津

求平面区域面积的方法

(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域．

(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底和高．若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解，再求和即可．

线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．

常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标函数的最值；(3)求目标函数中的参数值或范围；(4)线性规划的实际应用．

●命题角度一　求线性目标函数的最值

【例1】　(2019年北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为(　　)

A．－7 B．1

C．5 D．7

[解析]　令z＝3x＋y，画出约束条件即或表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得A(0，1)，B(－2，－1)，C(2，－1)，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C(2，－1)时，z＝3x＋y取得最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C．

[答案]　C

►名师点津

求目标函数最值的3步骤

●命题角度二　求非线性目标函数的最值

【例2】　(1)(2019届四省八校联考)设x，y满足则z＝的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

(2)设实数x，y满足则x2＋y2的最小值为________．

[解析]　(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝表示平面区域内的点M(x，y)与定点P(－1，0)连线的斜率的2倍．由解得点A，且当点M在点A时，z＝取得最大值＝.由解得点B，且当点M在点B时，z＝取得最小值＝1，所以z＝的取值范围是，故选C．

(2)x2＋y2表示可行域内的点与原点之间的距离的平方，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图象可知原点到直线AC的距离d就是可行域内的点与原点之间的距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d＝＝3，所以x2＋y2的最小值为18.

[答案]　(1)C　(2)18

►名师点津

常见的非线性目标函数

(1)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.

(2)斜率型：形如z＝.

●命题角度三　求目标函数中的参数值或范围

【例3】　设变量x，y满足约束条件若目标函数z＝x＋ky(k>0)的最小值为13，则实数k＝(　　)

A．7 B．5或13

C．5或 D．13

[解析]　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知A，B，由题意可知直线z＝x＋ky(k>0)过点A或B时，z取得最小值，所以＋k＝13或＋k＝13，解得k＝5或k＝.

[答案]　C

►名师点津

求解的关键在于抓住目标函数的斜率结合图形分析最值点的位置．

●命题角度四　线性规划的实际应用

【例4】　某共享汽车品牌在某市投放1 500辆宝马轿车，为人们的出行提供了一种新的交通方式．该市的市民小王喜欢自驾游，他在该市通过网络组织了一场“周日租车游”活动，招募了30名自驾游爱好者租车旅游，他们计划租用A，B两种型号的宝马轿车，已知A，B两种型号的宝马轿车每辆的载客量都是5人，每天的租金分别为600元/辆和1 000元/辆，根据要求租车总数不超过12辆且不少于6辆，且A，B两种型号的轿车至少各租用1辆，则租车所需的租金最少为________元．

[解析]　设分别租用A，B两种型号的轿车x辆、y辆，所需的总租金为z元，则z＝600x＋1 000y，其中x，y满足不等式组作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y＝－x＋，由图可知，当直线y＝－x＋过点C时，目标函数z取得最小值．由解得C(5，1)，所以总租金z的最小值为600×5＋1 000×1＝4 000(元)．

[答案]　4 000

►名师点津

解答线性规划实际问题的3步骤

|跟踪训练|

1．(2019年天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为(　　)

A．2 B．3

C．5 D．6

解析：选C　画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线－4x＋y＝0，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值．由可得所以点A的坐标为(－1，1)，故zmax＝－4×(－1)＋1＝5.

2．已知实数x，y满足约束条件若z＝mx＋y(m>0)在可行域内取得最小值的最优解有无数个，则m的值为(　　)

A．1 B．3

C．2 D．4

解析：选A　作出可行域如图中阴影部分所示，因为z＝mx＋y(m>0)在可行域内取得最小值的最优解有无数个，所以由图可知m＝1.故选A．

3．(2019届黄冈质检)设实数x，y满足则的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

解析：选B　由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．易知A(2，0)，联立解得故B(2，6).的几何意义为可行域内的点与点P(－3，1)连线的斜率．因为kPA＝＝－，kPB＝＝1，数形结合知，的取值范围是.

【例】　(2020届惠州调研)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m，最后根据统计个数m估计π的值．如果统计结果是m＝34，那么可以估计π的值为(　　)

A． B．

C． D．

[解析]　由题意，120对正实数对(x，y)中的x，y满足该不等式组表示的平面区域的面积为1.若正实数对(x，y)中的x，y能与1构成钝角三角形的三边，则x，y需满足该不等式组表示的平面区域的面积为－，则≈，≈，π≈，故选B．

[答案]　B

►名师点津

线性规划问题常与直线与圆、几何概型、平面向量、命题判断等知识交汇考查，综合性强，考查知识内容多，求解时一是要注意数形结合思想的运用，二是要注意逻辑推理与数学运算的培养．

|跟踪训练|

记不等式组表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则当∠APB的值最大时，cos∠APB＝(　　)

A． B．

C． D．

解析：选D　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

要使∠APB最大，则∠OPA最大．因为sin∠OPA＝＝，所以只要OP最小即可，即P到圆心的距离最小即可．由图象可知当OP垂直直线4x＋3y－10＝0时，|OP|最小，此时|OP|＝＝＝2.

设∠APB＝α，则∠APO＝，即sin ＝＝，

所以cos α＝1－2sin2＝1－2×＝1－＝，

即cos∠APB＝.故选D．