新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案含解析
展开第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、教材概念·结论·性质重现
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝.
(1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号．
(2)商数关系的作用：切化弦，弦切互化．
(3)掌握变形公式：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝tan αcos α，sin2α＝，cos2α＝.
2．诱导公式
公式一 | sin(α＋k·2π)＝sin α， cos(α＋k·2π)＝cos α， tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z |
公式二 | sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α |
公式三 | sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α |
公式四 | sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α |
公式五 | sin＝cos α， cos＝sin α |
公式六 | sin＝cos α， cos＝－sin α |
(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
(2)利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤：
也就是：“负化正，去周期，大化小，全化锐”．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (√)
(2)诱导公式中的角α可以是任意角． (×)
(3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝． (×)
(4)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈，则m<－5或m≥3． (×)
2．若tan α＝2，则的值为( )
A．－ B．－ C． D．
C 解析：＝＝＝.
3．sin 750°＝________.
解析：sin 750°＝sin(360°×2＋30°)＝sin 30°＝.
4．若sin α＝，<α<π，则tan α＝________.
－ 解析：因为<α<π，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
5．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
－sin2α 解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
考点1 同角三角函数基本关系的应用——应用性
考向1 知弦求切
(2020·福州一模)已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈，则tan α＝________.
－2 解析：因为3sin α·tan α＋8＝0，α∈，所以＋8＝0，
整理可得3cos2α－8cos α－3＝0，
解得cos α＝－或cos α＝3(舍去)．
所以sin α＝＝.
所以tan α＝＝－2.
若本例的条件改为“＝2，α∈”．求tan α的值．
解：因为＝2，所以sin α＝2＋2cos α.
两边平方，得sin2α＝4＋8cos α＋4cos2α，
即1－cos2α＝4＋8cos α＋4cos2α，
整理得，5cos2α＋8cos α＋3＝0，
解得cos α＝－1或cos α＝－.
当cos α＝－1时，1＋cos α＝0，无意义；
当cos α＝－时，sin α＝，所以tan α＝＝－.
本例为已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tan α＝即可，但要注意α的取值范围，即三角函数值的符号．
考向2 知切求弦
已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
解：由已知得tan α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2
＝＋2
＝＋2
＝＋2＝.
利用“切弦互化”的技巧
(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的结构形式，统一为正切的表达式，进行求值．
常见的结构：
①sin α，cos α的齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)；
②sin α，cos α的齐次分式.
(2)切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的正切化成正弦或余弦．一般单独出现正切、余切时，采用此技巧．
考向3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系
已知－π<x<0，sin x＋cos x＝，求sin x－cos x的值．
解：由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
因为(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
所以sin x－cos x＝±.
由－π<x<0知，sin x<0，
又sin xcos x＝－<0，
所以cos x>0.所以sin x－cos x<0.
故sin x－cos x＝－.
本例中若将条件“－π<x<0”改为“0<x<π”，求sin x－cos x的值．
解：因为0<x<π，2sin xcos x＝－，
所以sin x>0，cos x<0，
所以sin x－cos x>0，
故sin x－cos x＝.
“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用
sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解题时已知一个可求另外两个．
1．已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝( )
A． B．－ C． D．－
D 解析：因为cos α＝－且α∈(0，π)，所以sin α＝＝，所以tan α＝＝－.故选D．
2．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x＝( )
A．－ B． C． D．－
D 解析：因为sin x＋cos x＝，且x∈(0，π)，所以1＋2sin xcos x＝1－，所以2sin xcos x＝－＜0，所以x为钝角，所以sin x－cos x＝＝，结合已知解得sin x＝，cos x＝－，则tan x＝＝－.
3．(2020·化州二模)已知曲线f (x)＝x3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则的值为________．
解析：由f (x)＝x3得f ′(x)＝2x2，
所以f ′(1)＝2，故tan α＝2.
所以＝＝＝.
考点2 诱导公式的应用——基础性
(1)点A(sin 2 021°，cos 2 021°)在直角坐标平面上位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C 解析：sin 2 021°＝sin 221°＝－sin 41°＜0，cos 2 021°＝cos 221°＝－cos 41°＜0.故选C．
(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．
0 解析：因为cos＝cos
＝－cos＝－a，
sin＝sin ＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.
(1)利用诱导公式解题的一般思路． ①化绝对值大的角为锐角． ②角中含有±的整数倍时，用公式去掉的整数倍． (2)常见的互余和互补的角.
提醒：对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角的终边所在的象限，防止三角函数值的符号及三角函数名称出错．
|
1．已知sin(π＋α)＝－，则tan＝( )
A．2 B．－2 C． D．±2
D 解析：因为sin(π＋α)＝－，所以sin α＝，cos α＝±，所以tan＝＝±2.故选D．
2．(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C 解析：①当存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ时，
若k为偶数，则sin α＝sin(kπ＋β)＝sin β；
若k为奇数，则sin α＝sin(kπ－β)＝sin[(k－1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sin β，充分性成立；
②当sin α＝sin β时，α＝β＋2nπ或α＝π－β＋2nπ，n∈Z，
即α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n)或α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n＋1)，
亦即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性成立．
所以，“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的充要条件．故选C．
已知3cos x＋4sin x＝5，求tan x的值．
[四字程序]
读 | 想 | 算 | 思 |
求tan x的值 | 1.同角的正弦、余弦和正切有什么关系？ 2.3cos x＋4sin x的最大值是多少？ 3.由已知条件联想点A(cos x，sin x)在哪条直线上 | 1.求sin x和cos x； 2.辅助角公式
| 1.方程思想 2.数形结合 3.转化与化归
|
3cos x＋4sin x＝5 | 1.sin2x＋cos2x＝1，tan x＝； 2.3cos x＋4sin x的最大值为5； 3.点A(cos x，sin x)在直线3x＋4y＝5上 | 1.联立3cos x＋4sin x＝5与sin2x＋cos2x＝1； 2.3cos x＋4sin x＝5sin(x＋φ) | 1.tan x可看作直线的斜率． 2.将已知条件变为cos x＋sin x＝1 |
思路参考：解方程组
解：由消去cos x，
整理得(5sin x－4)2＝0.
解得sin x＝，cos x＝.
故tan x＝＝.
思路参考：注意到3cos x＋4sin x的最大值为5，利用辅助角公式推出x与辅助角的关系．
解：3cos x＋4sin x＝5＝5sin(x＋φ)＝5，其中cos φ＝，sin φ＝.
所以tan φ＝.
所以x＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．
于是tan x＝tan＝＝.
思路参考：令tan x＝t，借助已知条件用t表示sin x和cos x.
解：令tan x＝t，即tcos x＝sin x，
代入3cos x＋4sin x＝5，
得3cos x＋4tcos x＝5，
所以cos x＝，sin x＝.
再代入sin2x＋cos2x＝1，得＋＝1，解得t＝，即tan x＝.
思路参考：设P(m，n)为角x终边上任意一点，r＝，利用三角函数的定义．
解：设P(m，n)为角x终边上任意一点，点P到原点O的距离为r，则r＝.
把sin x＝，cos x＝代入已知等式得3·＋4·＝5.
即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)．
整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n.
显然m≠0，故tan x＝＝.
思路参考：设点A(cos x，sin x)是直线3x＋4y＝5与单位圆x2＋y2＝1的切点，而tan x＝kOA．
解：由3cos x＋4sin x＝5可知点A(cos x，sin x)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，所以点A为直线3x＋4y＝5与单位圆的切点．
由于直线3x＋4y＝5的斜率为－，所以OA的斜率为，即tan x＝.
思路参考：m＝(cos x，sin x)，n＝，证明m∥n.
解：因为cos x＋sin x＝1，不妨令m＝(cos x，sin x)，n＝，可知|m|＝1，|n|＝1.
所以m，n均为单位向量，且m·n＝1.
由|m||n|≥|m·n|，等号成立的条件为m∥n，
则有cos x＝sin x，即tan x＝.
1．本题考查同角三角函数基本关系的应用，基本解题方法是构建方程(组)、数形结合等．在求解过程中，应注意同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程．
2．基于课程标准，解答本题一般需要熟练掌握运算求解能力，转化与化归的能力，体现数学运算的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题的多种解法中涉及同角三角函数基本关系式、方程、辅助角公式、直线与圆、向量等知识，渗透着函数与方程、等价转换、数形结合等思想方法，提升思维的灵活性起到了积极的作用．
已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，求sin θ＋cos θ的值．
解：因为sin θ－2cos θ＝－，所以sin θ＝2cos θ－.
所以＋cos2θ＝1.
所以5cos2θ－cos θ－＝0，
即＝0.
又因为θ为第一象限角，所以cos θ＝，
所以sin θ＝，所以sin θ＋cos θ＝.
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