新教材高考数学一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念与线性运算学案含解析

平面向量、数系的扩充与复数的引入

第一节　平面向量的概念与线性运算

一、教材概念·结论·性质重现

1．向量的有关概念

2．平面向量的线性运算

3．向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． (√)

(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关． (√)

(3)若a∥b，b∥c，则a∥c． (×)

(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． (×)

(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立． (√)

(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反． (×)

2．如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是(　　)

A．＝  B．＝  C．＝－  D．＝

D　解析：由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．

3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　解析：若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.

若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

4．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.

　解析：因为向量a，b不平行，所以a＋2b≠0.又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.

5．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．

－a＋b　解析：由＝3，得＝＝(a＋b)．

又＝a＋b，

所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b.

考点1　向量的相关概念——基础性

1．下面说法正确的是(　　)

A．平面内的单位向量是唯一的

B．所有单位向量的终点的集合为一个单位圆

C．所有的单位向量都是共线的

D．所有单位向量的模相等

D　解析：因为平面内的单位向量有无数个，所以选项A错误；当单位向量的起点不同时，其终点就不一定在同一个圆上，所以选项B错误；当两个单位向量的方向不相同也不相反时，这两个向量就不共线，所以选项C错误；因为单位向量的模都等于1，所以选项D正确．

2．下列说法正确的是(　　)

A．若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上

B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量

C．长度相等的向量叫做相等向量

D．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

D　解析：若向量与向量是共线向量，则AB∥CD或点A，B，C，D在同一条直线上，故A错误；共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同也不相反，故B错误；长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故C错误；相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确．

3．判断下列四个命题：

①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是(　　)

A．1　　B．2　　C．3　　D．4

A　解析：只有④正确．

4．给出下列命题：

①零向量是唯一没有方向的向量；

②零向量的长度等于0；

③若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线．

其中错误的命题的个数为(　　)

A．0　　B．1　　C．2　　D．3

B　解析：①错误，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正确，由零向量的定义可知，零向量的长度为0；③正确，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b反向共线时等式才成立．

考点2　平面向量的线性运算——应用性

在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)

A．＋  B．＋  C．＋  D．＋

B　解析：因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.

如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，用，表示.

解：根据题意得，＝＋.

又＝＝，＝，

所以＝＋＝＋.

考点3　平面向量线性运算的综合应用——综合性

考向1　根据平面向量的线性运算求参数的值或范围

(1)(2020·朔州模拟)在△ABC中，＋＝2，＋＝0.若＝x＋y，则(　　)

A．y＝3x B．x＝3y

C．y＝－3x  D．x＝－3y

D　解析：因为＋＝2，所以点D是BC的中点．又因为＋＝0，所以点E是AD的中点，所以＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋，因此x＝－，y＝，所以x＝－3y.

(2)(2020·怀化模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

D　解析：设＝y，因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈，所以＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).

因为＝x＋(1－x)，

所以x＝－y，所以x∈.

考向2　共线向量定理

(2020·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2.若A，B，D三点共线，则k的值为________．

－　解析：因为A，B，D三点共线，所以必存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2.又e1与e2不共线，所以解得k＝－.

1．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是(　　)

A．A，B，C B．A，B，D

C．B，C，D D．A，C，D

B　解析：因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，且，有公共点A，所以A，B，D三点共线．

2．(2020·无锡模拟)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上．若＝＋μ，则μ的取值范围是________．

　解析：由已知可得AD＝1，CD＝，所以＝2.

因为点E在线段CD上，

所以，设＝λ(0≤λ≤1)．

因为＝＋，

又＝＋μ＝＋2μ＝＋，

所以＝1，即μ＝.

因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.

3．如图，在△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD, E为线段AD的中点．若＝m＋n，则m＝________，n＝________.

　－　解析：＝(＋)＝＝－＝(－)－＝＋.又＝m＋n，所以m＝，n＝－.

在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝(　　)

A．a＋b B．a＋b

C．a＋b D．a＋b

[四字程序]

思路参考：利用，表示.

B　解析：因为由题意可知△DEF∽△BEA，

所以＝＝.再由AB＝CD可得＝，

所以＝.

作FG平行BD交AC于点G，

所以＝＝，

所以＝＝＝b.

因为＝＋＝＋＝＋＝＝a，

所以＝＋＝a＋b.

思路参考：利用，表示.

B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.

由DE＝EO，得DF＝FG.

又由AO＝OC，得FG＝GC，

于是＝＝×(b－a)＝b－a.

所以＝＋＝a＋b.

思路参考：利用，表示.

B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.

由DE＝EO，得DF＝FG.

又由AO＝OC，得FG＝GC，

于是＝＝，

那么＝＋＝＋＝a＋b.

思路参考：利用，表示.

B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.

由DE＝EO，得DF＝FG.

又由AO＝OC，得FG＝GC，

故＝＋＝＋＝＋.

设＝x＋y.

因为＝＋，＝－，

所以＝(x＋y)＋(x－y)，

于是解得

所以＝＋＝a＋b.

1．本题考查利用已知向量作基底表示向量问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于三角形法则，逐步对向量进行变形，直至用所给基底表达出来；或选用不同基底分别表示，再利用向量相等解决．

2．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握读图识图能力、运算求解能力、推理能力，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

3．本题考查向量的线性运算问题，体现了基础性．同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别与AB，AC所在直线交于不同的两点M，N.若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)

A．1　　B．2　　C．3　　D．4

B　解析：(方法一)连接AO，如图．

因为O为BC的中点，所以＝(＋)＝＋.

因为M，O，N三点共线，

所以＋＝1，所以m＋n＝2.

(方法二)连接AO(图略)．

由于O为BC的中点，故＝(＋)，

＝－＝(＋)－

＝＋，

同理，＝＋.

由于向量，共线，故存在实数λ使得＝λ，即＋＝λ.

由于，不共线，故得－＝λ，且＝λ，

消掉λ，得(m－2)(n－2)＝mn，化简即得m＋n＝2.