新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系学案含解析

第二节　两条直线的位置关系

一、教材概念·结论·性质重现

1．两条直线的位置关系

(1)利用斜率关系判断

对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2.

特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2.

当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.

(2)利用方程判断

l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，

特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断．

(3)两直线相交

交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解．

2．三种距离

(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝.

(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2． (×)

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1． (×)

(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为． (×)

2．两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)

A．  B．  C．7  D．

D　解析：由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为＝.

3．若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　)

A．2  B．－3  C．2或－3  D．－2或－3

C　解析：若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.

4．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)

A．1  B．2  C．  D．2

C　解析：圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1,0)．由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝.

5．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.

1　解析：由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.

考点1　直线的平行与垂直——基础性

1．已知直线l1：(a－1)x＋(a＋1)y－2＝0和l2：(a＋1)x＋2y＋1＝0互相垂直，则a的值为(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

A　解析：(方法一)a＝－1时，方程分别化为x＋1＝0,2y＋1＝0，此时两条直线相互垂直，因此a＝－1满足题意．a≠－1时，由于两条直线相互垂直，可得×＝－1，解得a＝－1(舍去)．

综上a＝－1.

(方法二)由l1⊥l2得(a－1)(a＋1)＋2(a＋1)＝0，

整理得a2＋2a＋1＝0，

解得a＝－1.

2．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和3x－y＋4＝0的交点，并且平行于直线3x＋4y－7＝0的直线方程是________________．

3x＋4y＋＝0　解析：联立直线的方程得到两直线的交点坐标.

设平行于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为3x＋4y＋c＝0，

则3×＋4×＋c＝0，解得c＝，所以直线的方程为3x＋4y＋＝0.

3．过点的直线l满足原点到它的距离最大，则直线l的一般式方程为______________．

2x－4y－5＝0　解析：设点A，过坐标系原点O作OB⊥l于点B，连接OA，如图，

则OB为原点O到直线l的距离．

在直角三角形AOB中，OA为斜边，

所以有OB<OA，所以当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大．

而kOA＝＝－2，所以kl＝，所以直线l的方程为y＋1＝×，

整理得2x－4y－5＝0.

考点2　两条直线的交点与距离问题——应用性

(1)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)

A． B． 

C．2 D．2

A　解析：联立解得x＝1，y＝2.

把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0.

所以m＝－5－2n.

所以点(m，n)到原点的距离

d＝＝＝≥，

当n＝－2，m＝－1时取等号．所以点(m，n)到原点的距离的最小值为.

(2)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．

2或－6　解析：依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，

即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.

又两平行线之间的距离为，

所以＝，解得c＝2或－6.

1．已知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点A(m，n)，则点A到直线x＋y－3＝0的距离为________．

　解析：由题意，可知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点(0,1)，所以A(0,1)．所以点A到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.

2．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________________．

x＋3y－5＝0或x＝－1　解析：(方法一)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－.

所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．

(方法二)当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．所以直线l的方程为x＝－1.

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.

考点3　对称问题——应用性

考向1　中心对称问题

过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．

x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)．由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

考向2　轴对称问题

(1)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　)

A．x－2y＋3＝0   B．x－2y－3＝0

C．x＋2y＋1＝0   D．x＋2y－1＝0

A　解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)．由

得

因为点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，

所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.

(2)已知点A的坐标为(－4,4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．

(2,6)　解析：设点A′的坐标为(x，y)，

由题意可知

解得

所以点A′的坐标为(2,6)．

1．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　)

A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0

C．2x－3y＋12＝0 D．2x－3y－12＝0

B　解析：由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0.

令可得x＝－3，y＝1，所以N(－3，1)．设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，

则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)．

故所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.故选B.

2．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，光线所经过的路程是(　　)

A．2  B．6  C．3  D．2

A　解析：由题意知直线AB的方程为x＋y＝4.

设P关于直线AB的对称点Q(a，b)，

则解得

即Q(4,2)．

又P关于y轴的对称点为T(－2,0)，

所以|QT|＝＝2.