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    新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2节二项式定理学案含解析
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    新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2节二项式定理学案含解析

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    这是一份新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2节二项式定理学案含解析,共10页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现,基本技能·思想·活动体验等内容,欢迎下载使用。

    第二节 二项式定理

    一、教材概念·结论·性质重现

    1.二项式定理

    二项式定理

    (a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*)

    二项展开式的通项公式

    Tk+1=Can-kbk,它表示展开式的第k+1

    二项式系数

    C(k=0,1,2,…,n)

     

    (a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同,而且两个展开式的通项不同.

    2.二项式系数的性质

    二项展开式形式上的特点

    (1)项数为n+1.

    (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.

    (3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.

    二、基本技能·思想·活动体验

    1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.

    (1)Can-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项. (×)

    (2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项. (×)

    (3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关. (√)

    (4)通项公式Tk+1=Can-kbk中的a和b不能互换. (√)

    (5)(a+b)n的展示式中某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同.              (√)

    2.(2020·海南中学高三模拟)已知(2x-a)6(a是常数)的展开式中含x3的项的系数为-160,则a=(  )

    A.1  B.-1  C.  D.-

    A 解析: 因为Tk+1=C(2x)6-k(-a)k(k=0,…,6),

    所以6-k=3,所以k=3,所以C×23×(-a)3=-160,

    解得a=1.故选A.

    3.二项式的展开式中x3y2的系数是(  )

    A.5  B.-20  C.20  D.-5

    A 解析:二项式的通项公式为Tk+1=C (-2y)k.根据题意,得解得k=2.所以x3y2的系数是C×(-2)2=5.故选A.

    4.(2020·天津联考)已知的展开式中常数项为112,则实数a的值为(  )

    A.±1  B.1  C.2  D.±2

    A 解析:展开式中的通项公式为 Tk+1=C()8-k·=C(-2a)kx.令-k=0,求得k=2,所以它的展开式的常数项是C(-2a)2.

    再根据展开式中的常数项是112,可得C(-2a)2=112,求得a=±1.故选A.

    5.(x+1)5(x-2)的展开式中x2的系数为________.

    -15 解析:(x+1)5(x-2)=x(x+1)5-2(x+1)5展开式中含有x2的项为-20x2+5x2=-15x2.故x2的系数为-15.

    6.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为________.

    8 解析:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=0.令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8.

    考点1 二项展开式的通项公式及其应用——基础性

    考向1 求二项展开式中的特定项

    (1)(2020·全国卷Ⅲ)的展开式中常数项是________(用数字作答).

    240 解析:展开式的通项为Tk+1=C(x2)6-k·=2kCx12-3k.令12-3k=0,解得k=4,故常数项为24C=240.

    (2)(2019·浙江卷)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是________;系数为有理数的项的个数是________.

    16 5 解析:由题意,(+x)9的通项公式为Tk+1=C()9-k·xk(k=0,1,2,…,9).当k=0时,可得常数项为T1=C()9=16.若展开式的系数为有理数,则k=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T8,T10共5个.

    求二项展开式中特定项的步骤

    第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tk+1=Can-kbk,把字母和系数分离开(注意符号不要出错);

    第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出k;

    第三步,把k代入通项公式中,即可求出Tk+1,有时还需要先求n,再求k,才能求出Tk+1或者其他量.

    考向2 形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式

    (1)(2020·全国卷Ⅰ)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(  )

    A.5  B.10  C.15  D.20

    C 解析要求(x+y)5的展开式中x3y3的系数只要分别求出(x+y)5的展开式中x2y3x4y的系数再相加即可由二项式定理可得(x+y)5的展开式中x2y3的系数为C=10,x4y的系数为C=5,(x+y)5的展开式中x3y3的系数为10+5=15.故选C.

    (2)(x2+1)的展开式的常数项是(  )

    A.5  B.-10  C.-32  D.-42

    D 解析:的通项公式为C××(-2)k=C×(-2)k×x.令=0,解得k=5;令=-2,得k=1.

    故(x2+1)×的展开式的常数项是C×(-2)+C×(-2)5=-42.

    求解形如(a+b)n(c+d)m的展开式问题的思路

    (1)若n,m中一个比较小,可考虑把它展开,如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m,然后展开分别求解.

    (2)观察(a+b)n(c+d)m是否可以合并,如(1+x)5·(1-x)7=[(1+x)(1-x)]5(1-x)2=(1-x2)5·(1-x)2.

    (3)分别得到(a+b)n,(c+d)m的通项公式,综合考虑.

    考向3 形如(a+b+c)n(n∈N*)的展开式

    (x2+x+y)5的展开式中,x5y2项的系数为(  )

    A.10  B.20  C.30  D.60

    C 解析:(方法一)(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5

    含y2的项为T3=C(x2+x)3y2.

    其中(x2+x)3中含x5的项为Cx4·x=Cx5.

    所以x5y2的系数为C×C=30.

    (方法二)(x2+x+y)5表示5个x2+x+y之积,

    所以x5y2可从其中5个因式中,2个取因式中的x2,剩余的3个因式中1个取x,2个因式取y,因此x5y2的系数为CCC=30.

    求三项展开式中某些特定项的系数的方法

    (1)通过变形先把三项式转化为二项式,再用二项式定理求解.

    (2)两次利用二项式定理的通项公式求解.

    (3)由二项式定理的推证方法知,可用排列、组合的基本原理去求,即把三项式看作几个因式之积,要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.

    1.(2020·海淀区高三一模)在的展开式中,常数项为(  )

    A.-120  B.120  C.-160  D.160

    C 解析:展开式的通项公式为Tk+1=(-1)k2kCx2k-6 .令2k-6=0,得k=3.

    所以常数项为T3+1=(-1)323C=-160.故选C.

    2.(2019·烟台模拟)已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为(  )

    A5  B.40  C.20  D.10

    B 解析:的展开式的各项系数和为243,令x=1,得3n=243,即n=5,所以,则Tk+1=C·(x3)5-k·=2k·C·x15-4k.令15-4k=7,得k=2,所以展开式中x7的系数为22×C=40.

    3.(2020·莱西一中、高密一中、枣庄三中高三联考)(1-x2)展开式中的常数项为(  )

    A.-35  B.-5  C.5  D.35

    A 解析:(1-x2)-x2

    ,x2的展开式的通项公式分别为C·x6-k·,x2C·x6-r·,即分别为C·(-1)k·x6-2k,C·(-1)r·x8-2r.

    因此,二项式(1-x2展开式中的常数项为-C-C=-35.故选A.

    4.(2020·攀枝花市高三三模)(x2-x-2)3的展开式中,含x4的项的系数是(  )

    A.9  B.-9  C.3  D.-3

    D 解析:因为(x2-x-2)3=(x-2)3(x+1)3

    所以含x4的项为Cx3·Cx+Cx2·(-2)·Cx2+Cx×(-2)2·Cx3=-3x4.故选D.

    考点2 二项式系数与各项的系数和问题——基础性

    (1)在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为(  )

    A-960  B.960  C.1 120  D.1 680

    C 解析:根据题意,奇数项的二项式系数之和也应为128,所以在(1-2x)n的展开式中,二项式系数之和为256,即2n=256,解得n=8,则(1-2x)8的展开式的中间项为第5项,且T5=C(-2)4x4=1 120x4,即展开式的中间项的系数为1 120.故选C.

    (2)(2020·哈尔滨市第一中学高三一模)若(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=(  )

    A.28-1  B.28  C.38-1  D.38

    D 解析:由题可知,x的奇数次幂的系数均为负数,所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=a0-a1+a2-a3+…+a8.

    因为(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8

    令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+a8=38

    则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38.故选D.

    (1)赋值法的应用

    二项式定理给出的是一个恒等式,对于x,y的一切值都成立.因此,可将x,y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令x,y等于多少,应视具体情况而定,一般取1,-1或0,有时也取其他值.如:

    ①形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可;

    ②形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.

    (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)的展开式中,

    ①各项系数之和为f(1);

    ②奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=

    ③偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.

    1.(2020·广西高三5月联考)若(a+x2)(1+x)n的展开式中各项系数之和为192,且常数项为2,则该展开式中x4的系数为(  )

    A30  B.45  C.60  D.81

    B 解析x=0,a=2,所以(a+x2)(1+x)n=(2+x2)(1+x)n.x=1,3×2n=192,所以n=6.故该展开式中x4的系数为2C+C=45.

    故选B.

    2.(2020·大同一中高三一模)a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+a3(2x-1)3+a4(2x-1)4+a5(2x-1)5=x5a2的值为(  )

    A.  B.  C.  D.

    C 解析:因为x5[(2x-1)+1]5,所以二项式[(2x-1)+1]5的展开式的通项公式为Tk+1=C·(2x-1)5-k×1k=C·(2x-1)5-k.令k=3,所以T4=C·(2x-1)2.因此有a2·C·C×.故选C.

    3.(多选题)(2020·南京市高三开学考试)已知(2+x)(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则(  )

    A.a0的值为2

    B.a5的值为16

    C.a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为-5

    D.a1+a3+a5的值为120

    ABC 解析:令x=0,得a0=2,故A正确.

    2×(-2)5C+(-2)4C=16,故a5=16,B正确.

    令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=-3①.

    又a0=2,所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=-5,故C正确.

    令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=243②.由①②得a1+a3+a5=-123,D错误.

    故选ABC.

    考点3 二项式系数的性质——综合性

    考向1 二项式系数的最值问题

    (2020·大庆市高三三模)若的展开式中只有第7项的二项式系数最大,则展开式中含x2项的系数是(  )

    A.-462   B.462

    C.792   D.-792

    D 解析:因为的展开式中只有第7项的二项式系数最大,所以n为偶数,展开式共有13项,则n=12.的展开式的通项公式为Tk+1=(-1)kCx12-2k.令12-2k=2,得k=5.所以展开式中含x2项的系数是(-1)5C=-792.故选D.

    考向2 项的系数的最值问题

    (1)(2020·邵阳市高三第一次联考)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m= (  )

    A.5  B.6  C.7  D.8

    B 解析:由题意可知C=a,C=b.因为13a=7b,所以13C=7C,即13=7,所以13=7·,解得m=6.故选B.

    (2)(2020·延安市第一中学高三月考)已知(x+3x2)n的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992,求:

    ①展开式中二项式系数最大的项;

    ②展开式中系数最大的项.

    解:令x=1,则展开式中各项系数和为(1+3)n=22n.

    又展开式中二项式系数和为2n

    所以22n-2n=992,n=5.

    ①因为n=5,展开式共6项,二项式系数最大的项为第3,4两项,所以T3=C(x)3(3x2)2=90x6,T4=C(x)2·(3x2)3=270x.

    ②设展开式中第r+1项系数最大,

    则Tr+1=C(x)5-r(3x2)r=3rCx.

    所以解得≤r≤.所以r=4,

    即展开式中第5项的系数最大,T5=405x.

    1.二项式系数最大项的确定方法

    当n为偶数时,展开式中第项的二项式系数最大,最大值为C;当n为奇数时,展开式中第项和第项的二项式系数最大,最大值为C或C.

    2二项展开式系数最大项的求法

    如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用解出k即可.

    1.(2020·绵阳高三三模)在二项式的展开式中,仅第四项的二项式系数最大,则展开式中常数项为(  )

    A.-360  B.-160  C.160  D.360

    B 解析:因为展开式中,仅第四项的二项式系数最大,

    所以展开式共有7项.所以n=6.

    所以展开式的通项公式为Tk+1=Cx6-k=(-2)kCx6-2k.

    由6-2k=0得k=3,

    即常数项为T4=(-2)3C=-160.故选B.

    2.已知(1+3x)n的展开式中,后三项的二项式系数的和等于121,则展开式中二项式系数最大的项为________.

    C(3x)7和C(3x)8 解析:由已知得C+C+C=121,则n·(n-1)+n+1=121,即n2+n-240=0,解得n=15(舍去负值),所以展开式中二项式系数最大的项为T8=C(3x)7和T9=C(3x)8.

    (1-)6(1+)4的展开式中x的系数是(  )

    A.-4  B.-3  C.3  D.4

    [四字程序]

    展开式中x的系数

    1.二项展开式的项与系数;

    2.展开式的通项公式

    两个乘积式各自用展开式的通项公式计算系数

    转化

    (1-)6·(1+)4

    第k+1项

    Tk+1=Can-kbk

    Tk+1=Can-kbk

    1.通项公式法.

    2.组合数生成法

    思路参考:直接利用两个二项展开式的通项公式乘积获得x的系数.

    B 解析:(1-)6的展开式的通项公式为C·(-)m=C·(-1)mx,(1+)4的展开式的通项公式为C·()n=Cx,其中m=0,1,2,…,6,n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数等于C·(-1)0·C+C·(-1)1·C+C·(-1)2·C=-3.

    思路参考:将两个二项式化成一个二项展开式与一个多项式乘积的形式,再利用二项展开式的通项公式.

    B 解析:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x).于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数为C·1+C(-1)1×1=-3.

    思路参考:利用组合的知识求解x的系数.

    B 解析:在(1-)6(1+)4的展开式中要出现x,可以分为以下三种情况:

    ①(1-)6中选2个(-),(1+)4中选0个作积,这样得到的x的系数为C·C=15;

    ②(1-)6中选1个(-),(1+)4中选1个作积,这样得到的x的系数为C(-1)1·C=-24;

    ③(1-)6中选0个(-),(1+)4中选2个作积,这样得到的x的系数为C·C=6.

    所以x的系数为15-24+6=-3.故选B.

    二项式定理是必考内容,主要以通项公式为主,考查系数问题,解法灵活多变,借助二项展开式的通项公式,在每个二项展开式中求出各自的通项公式,最后利用展开式中系数的生成法求出结果.解答本题需要一定的运算能力和推理能力,体现了逻辑推理及数学运算的素养.

    在(x2+2x+1)2(x-1)5的展开式中,x4的系数为(  )

    A.-6  B.6  C.10  D.4

    A 解析:(x2+2x+1)2(x-1)5=(x+1)4(x-1)5=(1+x)4(-1+x)5.

    因为(1+x)4的展开式的通项公式为Tr+1=C·14-r·xr=Cxr

    (-1+x)5的展开式的通项公式为Tk+1=C·(-1)5-k·xk

    则展开式中含x4的项需满足r+k=4,

    所以展开式中x4的系数为CC·(-1)+CC·(-1)2+CC·(-1)3+CC·(-1)4+CC·(-1)5=-5+40-60+20-1=-6.故选A.

     

     

     

     

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