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    新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率学案含解析

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    这是一份新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率学案含解析,共7页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现,基本技能·思想·活动体验等内容,欢迎下载使用。

    第三节 随机事件的概率

    一、教材概念·结论·性质重现

    1.样本点和样本空间

    随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.

    2.概率与频率

    一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)

    随机事件A发生的频率与概率的区别与联系

    随机事件A发生的频率是随机的,而概率是客观存在的确定的常数,但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近.

    3.事件的关系与运算

    名称

    条件

    结论

    符号表示

    包含关系

    事件A发生,事件B一定发生

    事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)

    BA

    (或AB)

    相等关系

    BA且AB

    事件A与事件B相等

    A=B

    并事件

    (或和事件)

    事件A与事件B至少有一个发生

    事件A与事件B的并事件(或和事件)

    A∪B

    (或A+B)

    交事件

    (或积事件)

    事件A与事件B同时发生

    事件A与事件B的交事件(或积事件)

    A∩B

    (或AB)

    互斥事件

    事件A与事件B不能同时发生

    事件A与事件B互斥(或互不相容)

    A∩B=

    互为对立

    事件A与事件B有且仅有一个发生

    事件A与事件B互为对立

    A∩B=

    A∪B=Ω

    4.概率的几个基本性质

    (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.

    (2)必然事件的概率P(Ω)=1.

    (3)不可能事件的概率P()=0.

    (4)①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)

    ②如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)

    ③如果AB,那么P(A)≤P(B).

    ④设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

    5.事件的相关概念

    1.随机事件A,B互斥与对立的区别与联系

    当随机事件A,B互斥时,不一定对立;当随机事件A,B对立时,一定互斥.

    2从集合的角度理解互斥事件和对立事件

    (1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

    (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

    二、基本技能·思想·活动体验

    1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.

    (1)事件发生的频率与概率是相同的. (×)

    (2)随机事件和随机试验是一回事. (×)

    (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. (√)

    (4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生. (√)

    (5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.(×)

    (6)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件. (√)

    2.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是(  )

    A.至多有一次中靶

    B.两次都中靶

    C.只有一次中靶

    D.两次都不中靶

    D 解析:“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.

    3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是(  )

    A.必然事件  B.随机事件  C.不可能事件  D.无法确定

    B 解析:抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0~10,都有可能发生,所以正面向上5次是随机事件.

    4.把语文、数学、英语三本书随机分给甲、乙、丙三位同学,每人一本,记事件A为“甲分得语文书”,事件B为“乙分得数学书”,事件C为“丙分得英语书”,则下列说法正确的是(  )

    A.A与B是不可能事件 

    B.A+B+C是必然事件

    C.A与B不是互斥事件 

    D.B与C既是互斥事件也是对立事件

    C 解析:事件A,事件B,事件C都是随机事件,可能发生,也可能不发生,故A,B两项错误;事件A,事件B可能同时发生,故事件A与事件B不是互斥事件,C项正确;事件B与事件C既不互斥,也不对立,D项错误.故选C.

    5.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:

    分组

    [10,20)

    [20,30)

    [30,40)

    [40,50)

    [50,60)

    [60,70)

    频数

    2

    3

    4

    5

    4

    2

    则样本数据落在区间[10,40)的频率为0.45.

    6.一个口袋内装有2个白球和3个黑球,则在先摸出1个白球后放回的条件下,再摸出1个白球的概率是________.

     解析:先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率,实质上就是第二次摸到白球的概率.因为袋内装有2个白球和3个黑球,因此所求概率为.

    考点1 随机事件的关系——基础性

    (1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,每个人分得一张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(  )

    A.是对立事件   B.是不可能事件

    C.是互斥但不对立事件   D.不是互斥事件

    C 解析:显然两个事件不可能同时发生,但两者可能同时不发生,因为红牌可以分给丙、丁两人,综上,这两个事件为互斥但不对立事件.

    (2)设条件甲:事件A与事件B是对立事件,结论乙:概率满足P(A)+P(B)=1,则甲是乙的(  )

    A.充分不必要条件 

    B.必要不充分条件

    C.充要条件 

    D.既不充分也不必要条件

    A 解析:若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件.再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.投掷一枚硬币3次,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不一定是对立事件.如事件A:“至少出现一次正面”,事件B:“出现3次正面”,则P(A)=,P(B)=,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.

    判断互斥事件、对立事件的两种方法

    (1)定义法:判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.

    (2)集合法:①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.

    ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

    1.(2020·菏泽一中高三月考)同时投掷两枚硬币一次,互斥而不对立的两个事件是(  )

    A.“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”

    B.“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”

    C.“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”

    D.“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”

    C 解析:在A中,“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生,且“至少有1枚正面朝上”不发生时,“2枚都是反面朝上”一定发生,故A中的两个事件是对立事件;在B中,当两枚硬币恰好1枚正面朝上,1枚反面朝上时,“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生,故B中的两个事件不是互斥事件;在C中,“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生,且其中一个不发生时,另一个有可能发生也有可能不发生,故C中的两个事件是互斥而不对立事件;在D中,当2枚硬币同时反面朝上时,“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生,故D中的两个事件不是互斥事件.故选C.

    2.口袋里装有6个形状相同的小球,其中红球1个,白球2个,黄球3个.从中取出两个球,事件A=“取出的两个球同色”,B=“取出的两个球中至少有一个黄球”,C=“取出的两个球中至少有一个白球”,D=“取出的两个球不同色”,E=“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.

    ①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;③C与E是对立事件;④P(C∪E)=1;⑤P(B)=P(C).

    ①④ 解析:显然A与D是对立事件,①正确;当取出的两个球为一黄一白时,B与C都发生,②不正确;当取出的两个球中恰有一个白球时,事件C与E都发生,③不正确;C∪E为必然事件,P(C∪E)=1,④正确;P(B)=,P(C)=,⑤不正确.

    考点2 随机事件的频率与概率——基础性

    如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:

    所用时间(分)

    10~20

    20~30

    30~40

    40~50

    50~60

    选择L1的人数

    6

    12

    18

    12

    12

    选择L2的人数

    0

    4

    16

    16

    4

    (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;

    (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;

    (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.

    解:(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),

    所以用频率估计相应的概率p==0.44.

    (2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,

    故由调查结果得频率为

    所用时间(分)

    10~20

    20~30

    30~40

    40~50

    50~60

    选择L1的频率

    0.1

    0.2

    0.3

    0.2

    0.2

    选择L2的频率

    0

    0.1

    0.4

    0.4

    0.1

    (3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,

    P(A2)=0.1+0.4=0.5.

    因为P(A1)>P(A2),所以甲应选择L1.

    同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,

    P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9.

    因为P(B1)<P(B2),所以乙应选择L2.

    1.概率与频率的关系

    频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.

    2随机事件概率的求法

    利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.

    提醒:概率的定义是求一个事件概率的基本方法.

    1.在投掷一枚硬币的试验中,共投掷了100次,正面朝上的频数为51次,则正面朝上的频率为(  )

    A49  B.0.5  C.0.51  D.0.49

    C 解析:由题意,根据事件发生的频率的定义可知,“正面朝上”的频率为=0.51.

    2.(2020·潍坊高三模拟)某学校共有教职工120人,对他们进行年龄结构和受教育程度的调查,其结果如下表:

     

    本科

    研究生

    合计

    35岁以下

    40

    30

    70

    35~50岁

    27

    13

    40

    50岁以上

    8

    2

    10

    现从该校教职工中任取1人,则下列结论正确的是(  )

    A.该校教职工具有本科学历的概率低于60%

    B.该校教职工具有研究生学历的概率超过50%

    C.该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%

    D.该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%

    D 解析:对于选项A,该校教职工具有本科学历的概率p==62.5%>60%,故A错误;对于选项B,该校教职工具有研究生学历的概率p==37.5%<50%,故B错误;对于选项C,该校教职工的年龄在50岁以上的概率p=≈8.3%<10%,故C错误;对于选项D,该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p==12.5%>10%,故D正确.故选D.

    考点3 互斥事件与对立事件的概率——综合性

    经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下:

    排队人数

    0

    1

    2

    3

    4

    5人及5人以上

    概率

    0.1

    0.16

    0.3

    0.3

    0.1

    0.04

    求:(1)至多2人排队等候的概率;

    (2)至少3人排队等候的概率.

    解:记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.

    (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

    (2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

    (方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.

    求复杂互斥事件概率的两种方法

    (1)直接法:将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.

    (2)间接法:先求此事件的对立事件,再用公式P(A)=1-P()求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接法就会较简便.

    提醒:应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后出各事件发生的概率,再求和(或差).间接法体现了“正难则反”的思想方法.

    1.抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为(  )

    A.  B.  C.  D.

    C 解析:抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果.依题意P(A)=,P(B)=

    所以P()=1-P(B)=1-.

    因为表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与互斥,从而P(A+)=P(A)+P()=.

    2.(2020·重庆八中高三模拟)某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生,要求每个车站至少有一人,则其中小李和小明不在同一车站的概率为(  )

    A.  B.  C.  D.

    C 解析:4人到3个车站的方法总数为CA=36,其中小李和小明在同一车站的方法数为A=6.因此小李和小明在同一车站的概率是p′=,小李和小明不在同一车站的概率为p=1-p′=.故选C.

     

     

     

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