人教b版高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第6节对数与对数函案含解析

第6节　对数与对数函数

一、教材概念·结论·性质重现

1．对数的概念

一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM (n∈R)．

(2)对数的性质

①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；

④logaaN＝N(a>0，且a≠1)．

(3)对数的换底公式

logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)．

换底公式的三个重要结论

(1)logab＝.

(2)logambn＝logab.

(3)logab·logbc·logcd＝logad.

其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，c>0，且c≠1，m，n∈R.

3．对数函数

(1)一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.

(2)对数函数的图像与性质

对数函数图像的特征

(1)由图可知，0<d<c<1<b<a.

(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像只在第一、第四象限．

4．反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.( × )

(2)logax·logay＝loga(x＋y)．( × )

(3)函数y＝log2x及y＝3x都是对数函数．( × )

(4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )

(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )

2．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)

A．0   B．2 

C．4   D．6

D　解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.

3．函数y＝lg|x|(　　)

A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

B　解析：y＝lg|x|是偶函数，由图像知(图略)，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)

A．log2x   B.  

C．log0.5x   D．2x－2

A　解析：由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．因为f(2)＝1，所以loga2＝1.所以a＝2.所以f(x)＝log2x.

5．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点________．

(2,2)　解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图像恒过定点(2,2).

考点1　对数运算问题——基础性

(1)＝________.

(2)已知2x＝12，log2＝y，则x＋y的值为________．

(3)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.

(1)1　(2)2　(3)

解析：(1)原式＝

＝

＝＝＝＝1.

(2)因为2x＝12，所以x＝log212，

所以x＋y＝log212＋log2＝log24＝2.

(3)因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10.所以m＝.

解决对数运算问题的常用方法

(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．

(2)将同底对数的和、差、倍合并．

(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.

考点2　对数函数的图像及应用——综合性

(1) 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图像为(　　)

C　解析：先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图像，显然图像经过点(0,0)，再作此图像关于y轴对称的图像，可得函数f(x)在R上的大致图像，如选项C中图像所示．

(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　)

A．   B．

C．(1，)   D．(，2)

B　解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图像如图．

由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，所以＜a＜1.故选B.

1．将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为________．

　解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图像在上有交点．

由图像可知解得0＜a≤，即a的取值范围为.

2．若本例(2)变为：已知不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为________．

　解析：由x2－logax<0得x2<logax.设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图像在f2(x)＝logax图像的下方即可．当a>1时，显然不成立；当0<a<1时，如图所示．

要使x2<logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，

所以有2≤loga，解得a≥，

所以≤a<1.

即实数a的取值范围是.

利用对数函数的图像解决的两类问题及技巧

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．

1．下列函数中，其图像与函数y＝ln x的图像关于直线x＝1对称的是(　　)

A．y＝ln(1－x)   B．y＝ln(2－x)

C．y＝ln(1＋x)   D．y＝ln(2＋x)

B　解析：易知y＝ln x与y＝ln(－x)的图像关于y轴对称，将y＝ln(－x)的图像向右平移2个单位长度所得图像为y＝ln[－(x－2)]＝ln(2－x)，即与y＝ln x的图像关于直线x＝1对称．

2．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

(1，＋∞)　解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图像有且只有一个交点，结合图像可知a>1.

考点3　对数函数的性质及应用——应用性

考向1　比较函数值的大小

设a＝0.50.4，b＝log0.40.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c  B．c<b<a

C．c<a<b  D．b<c<a

C　解析：因为0<a＝0.50.4<0.50＝1，b＝log0.40.3>log0.40.4＝1，c＝log80.4<log81＝0，所以c<a<b.

比较对数值大小的常见类型及解题方法

考向2　对数方程或不等式问题

(1)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(0,1)

C　解析：或

解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.

(2)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．

x＝　解析：原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±.又x>1，所以x＝.

简单对数不等式问题的求解策略

(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．

(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．

(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．

考向3　对数函数性质的综合问题

(1)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，4)

B．(－4,4]

C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)

D．[－4,4)

D　解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立，且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得－4≤a<4.所以实数a的取值范围是[－4,4)．故选D.

(2)若函数f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.

2　解析：令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝. 当a>1时，y＝logau是增函数，f(x)max＝loga4＝2，得a＝2；当0<a<1时，y＝logau是减函数，f(x)max＝loga＝2，得a＝(舍去)．故a＝2.

解决对数函数性质的综合问题的注意点

(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．

(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．

(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．

1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)

A．a<b<c 

B．a<c<b

C．c<a<b 

D．b<c<a

B　解析：因为a＝log20.2<log21＝0，b＝20.2>20＝1,0<c＝0.20.3<0.20＝1，所以a<c<b.故选B.

2．已知不等式logx(2x2＋1)<logx3x<0成立，则实数x的取值范围是________．

　解析：原不等式⇔①或②.解不等式组①，得<x<；不等式组②无解．所以实数x的取值范围是.