人教b版高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第7节函数的图像学案含解析

第7节　函数的图像

一、教材概念·结论·性质重现

1．利用描点法作函数图像

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．函数图像的变换

(1)函数图像平移变换八字方针

①“左加右减”，要注意加减指的是自变量；

②“上加下减”，要注意加减指的是函数值．

(2)对称变换

①f(x)与f(－x)的图像关于y轴对称；

②f(x)与－f(x)的图像关于x轴对称．

(3)翻折变换

①|f(x)|的图像是将f(x)的图像中x轴下方的图像对称翻折到x轴上方，x轴上方的图像不变；

②f(|x|)的图像是f(x)的图像中x轴右侧的图像不变，再对称翻折到y轴的左侧得到．

(4)关于两个函数图像对称的三个重要结论

①函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称；

②函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称；

③若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．

(5)函数图像自身的轴对称

①f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图像关于y轴对称；

②函数y＝f(x)的图像关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；

③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．

(6)函数图像自身的中心对称

①f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图像关于原点对称；

②函数y＝f(x)的图像关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；

③函数y＝f(x)的图像关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图像相同．( × )

(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图像相同．( × )

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于原点对称．( × )

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．( √ )

(5)将函数y＝f(－x)的图像向右平移1个单位长度得到函数y＝f(－x－1)的图像．( × )

2．下列图像是函数f(x)＝的图像的是(　　)

C　解析：函数f(x)的图像是由y＝x2的图像中x<0的部分和y＝x－1的图像中x≥0的两部分组成．故选C.

3．已知图①中的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图像对应的函数为(　　)

A．y＝f(|x|)　　　　　　 B．y＝f(－|x|)

C．y＝|f(x)|   D．y＝－f(|x|)

B　解析：观察函数图像可得，②是由①保留y轴左侧图像，然后将y轴左侧图像翻折到右侧所得，结合函数图像的对称变换可得函数的解析式为y＝f(－|x|)．故选B.

4．函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)

A．ex＋1   B．ex－1 

C．e－x＋1   D．e－x－1

D　解析：与曲线y＝ex关于y轴对称的图像对应的解析式为y＝e－x.将函数y＝e－x的图像向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图像，所以f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.

5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．

(0，＋∞)　解析：由题意得a＝|x|＋x.令y＝|x|＋x＝其图像如图所示．故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.

考点1　作函数的图像——基础性

分别作出下列函数的图像：

(1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.

解：(1)y＝图像如图(1)所示．

(2)将y＝2x的图像向左平移2个单位长度．图像如图(2)所示．

(3)y＝图像如图(3)所示．

作函数图像的两种常用方法

1．直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．

2．图像变换法：若函数图像可由某个基本初等函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．

考点2　判断函数的图像——综合性

考向1　由函数图像的解析式判断图像

(1)(2020·湖北省高三模拟)函数y＝(2x－2－x)sin x在[－π，π]的图像大致为(　　)

A　解析：设f(x)＝(2x－2－x)·sin x，则f(－x)＝(2－x－2x)sin(－x)＝f(x)，

故f(x)为[－π，π]上的偶函数，故排除B.

又f ＝2－2－>0，f(0)＝0，排除C，D.故选A.

(2)已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝－f(2－x)的图像为(　　)

D　解析：(方法一)先作出函数y＝f(x)的图像关于y轴的对称图像，得到y＝f(－x)的图像；

然后将y＝f(－x)的图像向右平移2个单位长度，得到y＝f(2－x)的图像；

再作y＝f(2－x)的图像关于x轴的对称图像，得到y＝－f(2－x)的图像．故选D.

(方法二)先作出函数y＝f(x)的图像关于原点的对称图像，得到y＝－f(－x)的图像；然后将y＝－f(－x)的图像向右平移2个单位长度，得到y＝－f(2－x)的图像．故选D.

下列四个函数中，图像如图所示的只能是(　　)

A．y＝x＋lg x   B．y＝x－lg x

C．y＝－x＋lg x   D．y＝－x－lg x

B　解析：当x＝1时，由图像知y>0.而C，D中y<0，故排除选项C，D；当x＝时，由图像知y>0，而A中y＝＋lg ＝－<0，排除A.故选B.

函数图像的辨识可从以下方面入手

(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势．

(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性．

(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复．

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．

考向2　由动点探究函数图像

在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图像是(　　)

B　解析：依题意，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图像B适合．

借助动点探究函数图像问题

解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式，然后判断函数的图像；也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置时考查图像的变化特征，从而作出选择．

1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图像大致为(　　)

D　解析：因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A.

当x＝π时，f(π)＝>0，排除B，C.故选D.

2．已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图像是(　　)

D　解析：(方法一)由题设得函数g(x)＝－f(－x)＝据此可画出该函数的图像，如题图选项D中图像．故选D.

(方法二)先画出函数f(x)的图像，如图1所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图像关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)，即g(x)的图像，如图2所示．故选D.

3．如图，矩形ABCD的周长为4，设AB＝x，AC＝y，则y＝f(x)的大致图像为(　　)

C　解析：(方法一)由题意得y＝＝，x∈(0,2)不是一次函数，排除选项A，B.当x→0时，y→2.故选C.

(方法二)由方法一知y＝在(0,1]上单调递减，在[1,2)上单调递增，且非一次函数．故选C.

考点3　函数图像的应用——综合性

考向1　研究函数的性质

已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

B．f(x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减

C．f(x)是奇函数，在区间(－1,1)上单调递减

D．f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增

C　解析：f(x)＝画出函数f(x)的图像，如图．

观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．

利用函数的图像研究函数的性质

考向2　解不等式

函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1,3)上的解集为(　　)

A．(1,3)   B．(－1,1)

C．(－1,0)∪(1,3)   D．(－1,0)∪(0,1)

C　解析：作出函数f(x)的图像如图所示．

当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．所以x∈(－1,0)∪(1,3)．

考向3　求参数的取值范围

设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．

[－1，＋∞)　解析：作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，如图，观察图像可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．

与函数相关的不等式问题的求解方法

当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两个函数图像的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．

1．对a，b∈R，记max{a，b}＝则函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．

　解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图像如图所示．由图像可得，其最小值为.

2．已知函数f(x)在R上单调且其部分图像如图所示．若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1, 2)，则实数t的值为________．

1　解析：由图像可知不等式－2<f(x＋t)<4即为f(3)<f(x＋t)<f(0)，故x＋t∈(0,3)，即不等式的解集为(－t,3－t)．依题意可得t＝1.

3．已知函数f(x)＝若f(x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m的取值范围为________．

[－8，－1]　解析：作出函数f(x)的图像，当x≤－1时，函数f(x)＝log2单调递减，且最小值为f(－1)＝－1.令log2＝2，解得x＝－8.当x>－1时，函数f(x)＝－x2＋x＋在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f(2)＝2.又f(4)＝<2，f(－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．