人教b版高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第1节任意角与弧度制及三角函数的概念学案含解析

第4章 三角函数与解三角形

第1节　任意角与弧度制及三角函数的概念

一、教材概念·结论·性质重现

1．角的概念

(1)分类

(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

2．弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.

(2)公式

①弧度与角度的换算：360°＝2π rad,180°＝π rad，＝.

②弧长公式：l＝αr.

③扇形面积公式：S扇形＝lr和S扇形＝αr2.

说明：②③公式中的α必须为弧度制．

有关角度与弧度的注意点

角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

3．任意角的三角函数

(1)定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝＞0)．一般地，称为角α的正弦，记作sin α；称为角α的余弦，记作cos α；称为角α的正切，记作tan α.

(2)三角函数与单位圆：角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，则角α的终边与单位圆的交点为P(cos_α，sin_α)．

(3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦)

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)小于90°的角是锐角．( × )

(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( × )

(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( × )

(4)三角形的内角必是第一、第二象限角．( × )

2．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝(　　)

A．   B． 

C．－ D．－

D　解析：记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝＝5.故cos α＝＝＝－.故选D.

3．已知sin A>0且tan A<0，则角A的终边在(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

B　解析：因为sin A>0，所以角A为第一或第二象限角；因为tan A<0，所以角A为第二或第四象限角，所以角A为第二象限角．

4．在与2 020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．

－　解析：2 020°＝＝12π－，所以与2 020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为－.

5．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．

6π　解析：设此扇形的半径为r.由题意得r＝2π，所以r＝6.所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.

考点1　象限角及终边相同的角——基础性

1．(多选题)下列四个命题中，正确的是(　　)

A．－是第二象限角

B．是第三象限角

C．－400°是第四象限角

D．－315°是第一象限角

BCD　解析：－是第三象限角，故A错误；＝π＋，从而是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确．

2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是

(　　)

C　解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边在～内；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边在π＋～π＋内，结合选项知选C.

3．设集合M＝，N＝，那么(　　)

A．M＝N B．M⊆N

C．N⊆M D．M∩N＝∅

B　解析：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.故选B.

4．若角α是第二象限角，则是第________象限角．

一或三　解析：因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．

(1)判断象限角的两种方法

(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的步骤

①用终边相同的角的形式表示出角α的范围；

②写出kα或的范围；

③根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．

考点2　扇形的弧长、面积公式——综合性

已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；

(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角；

(3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解：(1)因为α＝60°＝，

所以l＝α·R＝×10＝(cm)．

(2)由题意得解得(舍去)或故扇形的圆心角为.

(3)由已知得l＋2R＝20(cm)．

(方法一)S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.

所以，当R＝5 cm时，S取得最大值，且最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2.

(方法二)S＝lR＝l(2R)≤2＝25，

当且仅当l＝2R＝10，即R＝5时，Smax＝25 cm2，

此时α＝2.

若本例(1)条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．

解：l＝αR＝×10＝(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝lR－×R2×sin ＝××10－×102×＝(cm2)．

应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)求扇形面积的最大值问题，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，也可以通过“配凑”法利用均值不等式求最值．

1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是

(　　)

A．2 B．sin 2 

C． D．2sin 1

C　解析：如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于点C，并延长OC交于点D.

则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，

且AC＝AB＝1.

在Rt△AOC中，

AO＝＝，

即r＝，

从而的长为l＝α·r＝.故选C.

2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为(　　)

A．   B． 

C．3   D．

D　解析：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M.

在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，

所以AM＝r，AB＝r.

所以弧长l＝r.所以圆心角α＝＝＝.

考点3　三角函数的定义及应用——应用性

考向1　三角函数的定义

(1)已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为(　　)

A．(2cos θ，sin θ) B．(－2cos θ，2sin θ)

C．(－2cos θ，－2sin θ) D．(2cos θ，－2sin θ)

C　解析：由任意角的三角函数定义，可知角θ的终边上的点M′的坐标为(2cos θ，2sin θ)，其中|OM′|＝2.因为|OM|＝2，所以点M和点M′关于原点对称，所以点M的坐标为(－2cos θ，－2sin θ)．

(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为

(　　)

A． B．－ 

C．± D．±

A　解析：因为角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)＝(－8m，－3)，cos α＝－<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，|OP|＝.

由cos α＝＝－，解得m＝(m>0)．

三角函数定义的应用策略

(1)已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的终边所在的直线方程(注意分为两条射线)，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．

(3)已知角α的某个三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．

考向2　三角函数值的符号

(1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)

A．cos 2α>0 B．cos 2α<0

C．sin 2α>0 D．sin 2α<0

D　解析：因为α是第四象限角，所以－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，所以－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，所以角2α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上，所以sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可为零．故选D.

(2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)

A．小于0 B．大于0

C．等于0 D．大于等于0

A　解析：因为＜2＜3＜π＜4＜，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0.

所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.故选A.

(3)若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

C　解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．

(1)三角函数值符号及角的终边位置判断．

已知角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．

(2)三角函数值的符号规律．

一全正、二正弦、三正切、四余弦．

1．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝

(　　)

A．   B． 

C．－ D．－

D　解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝x＝，解得x＝－3，所以tan α＝＝－.

2．(2020·永州祁阳二模)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则sin 2θ＝(　　)

A． B．－ 

C． D．－

D　解析：在角θ的终边所在直线y＝－2x上任取一点P(a，－2a)(a≠0)，则r＝|OP|＝|a|.由三角函数的定义知sin θ＝，cos θ＝，故sin 2θ＝2sin θ·cos θ＝2··＝－.故选D.

3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－2,3] B．(－2,3)

C．[－2,3) D．[－2,3]

A　解析：因为cos α≤0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上．所以所以－2<a≤3.故选A.