人教b版高考数学一轮复习第3章导数及其应用微专题进阶课3构造法解fx与f′x共存问题学案含解析

第3章 导数及其应用

构造法解f(x)与f′(x)共存问题

以抽象函数为背景，题设条件或所求结论中具有f(x)与f′(x)共存的不等式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考中的一个热点．解答这类问题的策略是将f(x)与f′(x)共存的不等式与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用函数的性质解决问题．

　构造y＝f(x)±g(x)型可导函数

定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)>1，f(2)＝，则关于x的不等式f(ex)<3－的解集为(　　)

A．(0，e2)   B．(e2，＋∞)

C．(0，ln 2)   D．(－∞，ln 2)

D　解析：构造函数F(x)＝f(x)＋.依题意知F′(x)＝f′(x)－＝>0，即函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增．所求不等式可化为F(ex)＝f(ex)＋<3，而F(2)＝f(2)＋＝3，所以ex<2，解得x<ln 2，故不等式的解集为(－∞，ln 2)．

【点评】当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用函数的性质巧妙地解决问题．

函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)在R上的导函数f′(x)>，则不等式f(x)<的解集为________．

(－∞，1)　解析：由f′(x)>，可得′＝f′(x)－>0，即函数F(x)＝f(x)－x在R上是增函数．又由f(1)＝1可得F(1)＝，故f(x)<＝＋x，整理得f(x)－x<，即F(x)<F(1)．由函数的单调性可得不等式的解集为(－∞，1)．

　构造f(x)g(x)型可导函数

设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是(　　)

A．(－3,0)∪(3，＋∞) 

B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 

D．(－∞，－3)∪(0,3)

A　解析：构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．由题意可知，当x<0时，F′(x)>0，所以F(x)在(－∞，0)上单调递增．又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F(x)是定义在R上的奇函数，从而F(x)在(0，＋∞)上单调递增．而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)＝0，结合图像(图略)可知不等式f(x)g(x)>0⇔F(x)>0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．故选A.

【点评】当题设条件中存在或通过变形出现特征“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用函数的性质巧妙地解决问题．

设定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋f(x)＝3x2e－x，且f(0)＝0，则(　　)

A．f(x)在R上单调递减 

B．f(x)在R上单调递增

C．f(x)在R上有最大值 

D．f(x)在R上有最小值

C　解析：构造函数F(x)＝exf(x)，则有F′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]＝ex·3x2e－x＝3x2，故F(x)＝x3＋c(c为常数)，所以f(x)＝.又f(0)＝0，所以c＝0，f(x)＝，f′(x)＝.易知f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，在[3，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(3)＝，无最小值．故选C.

　构造型可导函数

已知定义域为R的函数f(x)的图像是连续不断的曲线，且f(2－x)＝

f(x)e2－2x.当x>1时，f′(x)>f(x)，则(　　)

A．f(1)>ef(0)

B．f(3)<e4f(－1)

C．f(2)<e3f(－1)

D．f(3)>e5f(－2)

C　解析：构造函数F(x)＝exf(x)，则有F′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]＝ex·3x2e－x＝3x2，故F(x)＝x3＋c(c为常数)，所以f(x)＝.又f(0)＝0，所以c＝0，f(x)＝，f′(x)＝.易知f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，在[3，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(3)＝，无最小值．故选C.

【点评】当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“＝′”，构造可导函数y＝，然后利用函数的性质巧妙地解决问题．

(2020·长沙明德中学月考)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有f′(x)＝ex(2x＋1)＋f(x)，f(0)＝－2，则不等式f(x)<4ex的解集为(　　)

A．(－2,3) 

B．(－3,2)

C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) 

D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)

B　解析：令G(x)＝，

则G′(x)＝＝2x＋1，

所以可设G(x)＝x2＋x＋c.

因为G(0)＝f(0)＝－2，

所以c＝－2，所以G(x)＝＝x2＋x－2，则f(x)<4ex等价于<4，即x2＋x－2<4，

解得－3<x<2，所以不等式的解集为(－3，2)．故选B.