2022届福建省三明市第一中学高三6月质量检测数学试题含解析

福建省三明市第一中学2022届高三6月质量检测

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知是虚数单位，若，则的值是（       ）

A． B． C． D．1

2．设集合，则（       ）

A． B． C． D．

3．已知一个圆柱的底面直径与高都等于球O的半径，则该圆柱的表面积与球O的表面积之比为（       ）

A． B． C． D．

4．已知某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，

为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为（       ）

A．200，25 B．200，2500 C．8000，25 D．8000，2500

5．已知，则（       ）

A． B． C． D．

6．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（       ）

A．720 B．1440 C．2280 D．4080

7．已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

8．己知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（       ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多 

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（       ）

A． B． C． D．2

10．已知向量，，其中，下列说法正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若与的夹角为钝角，则 D．若，向量在方向上的投影为

11．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

12．已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C．第5次取出的球是红球的概率为 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．写出一个满足对定义域内的任意x，y，都有的函数：___________．

14．已知函数，且方程在内有实数根，则实数a的取值范围是___________．

15．已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．

16．己知双曲线的左、右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，连接，若直线与另一条渐近线交于点，且，则___________；的周长为___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角A；

(2)若M为的中点，，求面积的最大值．

18．如图，四边形为菱形，，将沿折起，得到三棱锥，点M，N分别为和的重心．

(1)证明：∥平面；

(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．

19．设数列的前n项和为，若．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

20．当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近5年区块链企业总数量相关数据，如下表

(1)根据表中数据判断，与（其中…为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求y关于x的回归方程；

(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．

参考数据：，，，（其中）．

附：样本的最小二乘法估计公式为，．

21．如图，已知抛物线的焦点为椭圆：（）的右焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线交抛物线于，两点，交椭圆于，两点（，，，依次排序），且，求直线的方程.

22．已知函数，．

（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在定义域上为单调增函数．

①求最大整数值；

②证明：．

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则，得到，结合复数相等的条件，求得的值，即可求解.

【详解】

由复数的运算法则，可得，

因为，即，所以.

故选：D.

2．A

【解析】

【分析】

先求出集合B，然后取并集即可.

【详解】

集合则，

故选：A

3．C

【解析】

【分析】

设球的半径为,分别求出球和圆柱的表面积即可求解.

【详解】

设球的半径为,则该圆柱的底面半径为，高为

所以圆柱的表面积为：,球的表面积为：

则圆柱的表面积与球的表面积之比为

故选：C

4．B

【解析】

【分析】

由扇形分布图观察小学生在整个样本中占40％，可得样本的容量为，再以此推出样本中高中生的人数为，结合抽样比和条形图中高中生的近视率占比可算出该地区高中生的近视人数.

【详解】

由由扇形分布图结合分层抽样知识易知样本容量为，

则样本中高中生的人数为，易知总体的容量为，

结合近视率条形图得该地区高中生近视人数为.

故选：B.

5．B

【解析】

【分析】

利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】

.

故选：B.

6．C

【解析】

【分析】

以间接法去求解这个排列问题简单快捷.

【详解】

一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.

这7个数字按题意随机排列，可以得到个不同的数字.

当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14

当前两位数字为11或12时，共可以得到个不同的数字，

则大于3.14的不同数字的个数为

故选：C

7．D

【解析】

【分析】

由题意求出的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案．

【详解】

由题可知圆O 的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线，

切点分别为A，B，使得，则，

在中，，

所以点 在圆上，

由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.

又圆 M 的半径等于1，圆心坐标，

，

∴，

∴.

故选：D.

8．B

【解析】

【分析】

由题意化简得到，设，得到，结合题意和函数的单调性，即可求解.

【详解】

由，可得，即，

设，可得，

因为，可得，

又因为，所以，即，所以，

当时，，可得函数在为单调递增函数，

所以，即.

故选：B.

9．AC

【解析】

【分析】

结合椭圆和双曲线的定义和离心率的求法，即可求得结果．

【详解】

若曲线是椭圆则其离心率为；

若曲线是双曲线则其离心率为；

故选：AC

10．ABD

【解析】

【分析】

利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用向量垂直结合向量的模长公式可判断B选项；由已知且、不共线，求出的取值范围，可判断C选项；利用平面向量的几何意义可判断D选项.

【详解】

对于A选项，若，则，解得，A对；

对于B选项，若，则，

所以，，B对；

对于C选项，若与的夹角为钝角，则，可得，

且与不共线，则，故当与的夹角为钝角，则且，C错；

对于D选项，若，则，所以，向量在方向上的投影为，D对.

故选：ABD.

11．BC

【解析】

【分析】

由不等式的性质与基本不等式判断.

【详解】

，，A错；，

，

成立，即B正确；，

得，当且仅当时取等号，同理，，

当且仅当时取等号，又，

即不同时等于1，，C正确；

当时，，D错.

故选：BC

12．AC

【解析】

【分析】

依题意求出，设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，即可求出第次取出红球的概率，即可得到，从而可判断各个选项.

【详解】

依题意，

设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，

对于第次，取出红球有两种情况．

①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为，

对应，即，故B错误；

所以，

令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，

故，所以，故选项A，C正确；

第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为，

第3次取出球是红球的概率为，

前3次取球恰有2次取到红球的概率是，

故D错误；

故选：AC．

13．（答案不唯一）

【解析】

【分析】

利用对数的运算性质可知函数符合题意.

【详解】

若函数，则满足题意，

故答案为：（答案不唯一）

14．

【解析】

【分析】

由题意可得在内有实数根，a的取值范围即为函数的值域.

【详解】

，

方程在内有实数根，即在内有实数根，

，，得，即a的取值范围是，

故答案为：

15．

【解析】

【分析】

连接交平面于，连接，则有四面体为正三棱锥，由题意可得在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆即可得答案.

【详解】

解：如图所示，连接交平面于，连接，

 由题意可知平面，

 所以是与平面所成的角，

所以＝.

由可得，即.

在四面体中，,       ,

所以四面体为正三棱锥，为的重心，

如图所示：

所以解得 ，,

又因为，

所以 ，

即在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，

所以.

故答案为:.

16．         

【解析】

【分析】

求出直线的斜率，分析可知，可得出，可求得正数的值，计算出，利用余弦定理可求得，进而可求得的周长.

【详解】

双曲线的渐近线方程为，如下图所示：

不妨设点在第三象限，则直线的方程为，

因为，则，

，则为的中点，又因为为的中点，则，

所以，，即，则，，解得，

所以，，即直线的倾斜角为，，则，

，

在中，，，，

由余弦定理可得，

因此，的周长为.

故答案为：；.

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；

解法二：利用余弦定理将用边表示再化简即可；

（2）解法一：根据基底向量的方法得，两边平方化简后可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；

解法二：设，再分别在，和中用余弦定理，结合可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可

(1)

解法一：因为，

由正弦定理得：，

所以，

因为，

所以，

为，

所以．

解法二：因为，

由余弦定理得：，

整理得，

即，

又由余弦定理得

所以，

因为，

所以．

(2)

解法一：因为M为的中点，

所以，

所以，

即，

即，

而，

所以即，当且仅当时等号成立

所以的面积为．

即的面积的最大值为．

解法二：设，

在中，由余弦定理得，①

在中，由余弦定理得，②

因为，所以

所以①+②式得．③

在中，由余弦定理得，

而，所以，④

联立③④得：，即，

而，

所以，即，当且仅当时等号成立．

所以的面积为．

即的面积的最大值为．

18．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）延长交于点P，延长交于O点，连接,证明即可.

（2）证明两两垂直，以O为坐标原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可.

(1)

延长交于点P，延长交于O点，连接．

因为点M，N分别为和的重心，所以点P，

O分别为和的中点，所以，

又平面，平面，

所以平面．

(2)

当三棱锥的体积最大时，点D到底面的距离最大，

即平面平面，

连接，因为和均为正三角形，

于是，又平面平面，

所以平面，所以两两垂直，

以O为坐标原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，

所以，

又二面角即二面角，

设平面的一个法向量为，则

可得，取，则，

同理设平面的一个法向量为，

则,即，取，则，

所以，

由图可知二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为．

19．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）根据及等比数列的定义即可求得答案；

（2）由错位相减法即可求得答案.

(1)

因为．

所以，解得．

当时，，

所以，所以，即．

因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．

(2)

由（1）知，所以，

所以…①

…②

①-②得

，所以．

20．(1)适宜；

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题目中给的数据及公式进行计算可得回归方程;

（2）由概率的加法公式与乘法公式进行计算即可得到答案.

(1)

根据表中数据适宜预测未来几年我国区块链企业总数量．

∵，∴，

令，则，

,

，

由公式计算可知

∴，即.

(2)

设事件“甲公司获得“优胜公司””，事件“在一场比赛中，甲胜乙”，

事件“在一场比赛中，甲胜丙”，事件“在一场比赛中，乙胜丙”，

则，

因为两两独立，两两互斥，

由概率的加法公式与乘法公式得

，

所以甲公司获得“优胜公司”的概率为．

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）确定抛物线即椭圆的右焦点坐标，继而求得点，由此列出方程组，即可求得椭圆方程；

（2）设直线方程，和抛物线以及椭圆分别联立，求得相应的弦长，即的表达式，利用，解方程可得答案.

(1)

由抛物线可知：，

故由得： ,故 ，则 ，

则对于有： ，解得，

故椭圆方程为：；

(2)

过点的直线 的斜率不存在时，则有不符合题意，

故设直线 的斜率为k，则直线方程为 ，

联立抛物线方程： ，整理得： ，

设 ，则，

故 ，

联立，整理得： ，

设,则，

则

，

又,故，

即，整理得，解得 ，

由题中所给图可知， ，故，

故直线的方程为.

【点睛】

本题考查了椭圆方程的求法，以及直线和椭圆相交时的弦长问题，综合考查了学生分析问题，解决问题以及计算的能力，解答的关键是明确解答的思路，即联立方程，计算弦长，难点就是计算量大且繁杂，要十分细心.

22．（1）（2）①2②见解析

【解析】

【详解】

试题分析：（1）将代入到函数，再对求导，分别求出和，即可求出切线方程；（2）①若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立，则先证明，构造新函数，求出单调性，再同理可证，即可求出的最大整数值；②由①得，令，可得，累加后利用等比数列求和公式及放缩法即可得证.

试题解析：（1）当时，

∴，

又，∴，

则所求切线方程为，即．

（2）由题意知，，

若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立．

①先证明．设，则，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

∴，即．

同理可证

∴，∴．

当时，恒成立．

当时，，即不恒成立．

综上所述，的最大整数值为2．

②由①知，，令，

∴

∴．

由此可知，当时，．当时，，

当时，，，当时，．

累加得 ．

又 ，

∴ ．

点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和及放缩法.