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初中数学12.3 角的平分线的性质教学课件ppt
展开这是一份初中数学12.3 角的平分线的性质教学课件ppt,共57页。PPT课件主要包含了角的平分线的性质,提炼图形,角的平分线的判定等内容,欢迎下载使用。
下图是一个平分角的仪器,其中AB= AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE 就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗?
3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.
1. 学会角平分线的画法.
2. 探究并认知角平分线的性质.
在纸上画一个角,你能得到这个角的平分线吗?
用量角器度量,也可用折纸的方法.
如果把前面的纸片换成木板、钢板等,还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗?
如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?
其依据是SSS,两全等三角形的对应角相等.
【思考】如果没有此仪器,我们用数学作图工具,能实现该仪器的功能吗?
请大家找到用尺规作角的平分线的方法,并说明作图方法与仪器的关系.
提示(1)已知什么?求作什么?(2)把平分角的仪器放在角的两边,仪器的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相等,怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中,BC=DC,怎样在作图中体现这个过程呢?(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗?
求作:∠AOB的平分线.
作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!
作法:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.(2)分别以点M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求.
已知:平角∠AOB. 求作:平角∠AOB的角平分线.
结论:作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
1. 操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,PE⊥OB ,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三次数据填入下表:
2. 观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写出结果:__________
OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点.
猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知:如图, ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB,
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中,
∠PDO= ∠PEO,
∠AOC= ∠BOC,
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即
1.明确命题中的已知和求证;2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和 求证;3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵OP 是∠AOB的平分线,
推理的理由有三个,必须写完全,不能少了任何一个.
PD⊥OA, PE⊥OB,
判一判:(1)∵ 如下左图,AD平分∠BAC(已知),
∴ = ,( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
(2)∵ 如上右图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知).
∴ = , ( )
缺少“垂直距离”这一条件
缺少“角平分线”这一条件
1.如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,则OD与OE的大小关系是( )A. OD>OE B.OD=OEC. OD
证明: ∵AD是∠BAC的角平分线, DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中,
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
角平分线的性质的应用
2.如图,已知:OD平分∠AOB,在OA,OB边上取OA=OB,PM⊥BD,PN⊥AD,垂足分别为M,N. 求证:PM=PN.
证明:∵OD平分∠AOB,∠1=∠2,又∵OA=OB,OD=OD,∴△AOD≌△BOD,∴∠3=∠4,又∵PM⊥DB,PN⊥DA,∴PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等).
例2 如图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=______cm.
提示:存在两条垂线段——直接 应用.
利用角平分线的性质求线段的长度
3.如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4, AB=14.(1)则点P到AB的距离为_______.
提示:存在一条垂线段——构造应用.
1.应用角平分线性质:
2.联系角平分线性质:
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB=( )A.30°B.35°C.45°D.60°
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
1. 如图,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足分别是E,F, DE =DF, ∠EDB= 60°,则 ∠EBF= 度,BE= .
3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A. SSS B. ASA C. AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
4.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,下列结论中错误的是( )A. PC=PD B. OC=ODC. ∠CPO=∠DPO D. OC=PC
5. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
1. 在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则:(1)哪条线段与DE相等?为什么?(2)若AB=10,BC=8,AC=6,求BE,AE的长和△AED 的周长.
解:(1)DC=DE.理由如下:角平分线上的点到角两边的距离相等.(2)在Rt△CDB和Rt△EDB中,DC=DE,DB=DB,∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL),∴BE=BC=8. ∴ AE=AB–BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
2.如图所示,D是∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为E,F. 求证:CE=CF.
证明:∵CD是∠ACG的平分线,DE⊥AC,DF⊥CG,∴DE=DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中,∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL),∴CE=CF.
如图,已知AD∥BC,P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点,PE⊥AB于E,且PE=3,求AD与BC之间的距离.
解:过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N.∵ AD∥BC,∴ MN⊥BC,MN的长即为AD与BC之间的距离.∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB,∴ PM= PE.同理, PN= PE.∴ PM= PN= PE=3.∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
属于基本作图,必须熟练掌握
一个点:角平分线上的点;二距离:点到角两边的距离;两相等:两条垂线段相等
过角平分线上一点向两边作垂线段
为证明线段相等提供了又一途径
我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,反过来,到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢?
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
1. 理解角平分线判定定理.
2. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
∵ OC平分∠AOB,且PD⊥OA, PE⊥OB.
叙述角平分线的性质定理.
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
交换角的平分线的性质中的已知和结论,你能得到什么结论,这个新结论正确吗?
∵ OC平分∠AOB,且PD⊥OA, PE⊥OB ∴ PD= PE
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线上.
∴点P在∠AOB的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中,
(全等三角形的对应角相等).
OP=OP(公共边),
PD= PE(已知 ),
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°,
∴Rt△PDO≌Rt△PEO( HL).
判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
定理的作用:判断点是否在角平分线上.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
例1 如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等, 离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建在何处(比例尺为1︰20000)?
解:作夹角的角平分线OC,
截取OD=2.5cm , D即为所求.
方法点拨:根据角平分线的判定定理,要求作的点到两边的距离相等,一般需作这两边直线形成的角的平分线,再在这条角平分线上根据要求取点.
1.如图,点P在∠AOB内部,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=3 cm,当PD=____cm时点P在∠AOB的平分线上.
2.如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等,则点P是 的平分线与 的平分线的交点.
分别画出下列三角形三个内角的平分线,你发现了什么?
发现:三角形的三条角平分线相交于一点.
分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度尺量一量,每组垂线段,你发现了什么?
发现:过交点作三角形三边的垂线段相等.
已知:如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足分别为D,E,F.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?
点P在∠A的平分线上.
结论:三角形的三条角平分线交于一点,并且这点到三边的距离相等.
3.如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC;AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4. (1)求点O到△ABC三边的距离和.
(2)若△ABC的周长为32,求△ABC的面积.
3.如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC;AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4.
例2 如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC的度数为( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
解析:由已知,O到三角形三边的距离相等,即三条角平分线的交点,AO,BO,CO都是角平分线,所以有∠CBO=∠ABO= ∠ABC,∠BCO=∠ACO= ∠ACB,∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°,∠OBC+∠OCB=70°,∠BOC=180°-70°=110°.
利用三角形的内角平分线的性质求值
由已知,O 到三角形三边的距离相等,得O是三角形三条内角平分线的交点,再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数.
4.到三角形三边距离相等的点是( )A.三边垂直平分线的交点B.三条高所在直线的交点C.三条角平分线的交点D.三条中线的交点5.如图,河南岸有一个工厂在公路西侧,工厂到公路的距离与到河岸的距离相等,并且与B的距离为300 m,在图上标出工厂的位置,并说明理由.
解:作小河与公路夹角的角平分线BM,在BM上截取BP=1.5 cm,则点P即为所求的工厂的位置
证明:∵BF⊥AC,CE⊥AB,∴∠BED=∠CFD=90°,又∵∠BDE=∠CDF, BE=CF,∴△BDE≌△CDF(AAS) ∴DE=DF,∴AD平分∠BAC.
1. 如图,某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB,拟在MN上建造一个大型超市,使得它到OA、OB的距离相等,请确定该超市的位置P.
2. 如图所示,已知△ABC中,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点F,点P是AD上一点,且点D到PE的距离与到PF的距离相等,判断AD是否平分∠BAC,并说明理由.
解:AD平分∠BAC.理由如下:∵D到PE的距离与到PF的距离相等,∴点D在∠EPF的平分线上.∴∠1=∠2.又∵PE∥AB,∴∠1=∠3.同理,∠2=∠4.∴∠3=∠4,∴AD平分∠BAC.
过点F作FG⊥AE于G,FH⊥AD于H,FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上, FG⊥AE, FM⊥BC.
又∵点F在∠CBD的平分线上, FH⊥AD, FM⊥BC,
∴点F在∠DAE的平分线上.
如图,已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,求证:点F在∠DAE的平分线上.
如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.