2021-2022学年山东省德州市高一下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年山东省德州市高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可；

【详解】解：因为，所以，

所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.

故选：D

2．设样本数据的方差为2，若，则的方差为（       ）

A．2 B．6 C．9 D．18

【答案】D

【分析】根据样本数据的方差为，数据的方差为，由此得出结果.

【详解】由题意的方差，根据方差的性质，故 的方差为.

故选：D.

3．若m，n，l为三条不同的直线，，为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（       ）

A．如果，，则 B．如果，，，，则

C．如果，，则 D．如果，，，则

【答案】C

【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面的判定定理和性质逐一判断即可.

【详解】A：当时，才能由，，得到，所以本选项命题是假命题；

B：只有当，时才能由，，得到，所以本选项命题是假命题；

C：根据面面平行的性质可知本选项命题是真命题；

D：因为，，，所以直线m，n没有交点，因此m，n可以平行也可以异面，所以本选项命题是假命题，

故选：C

4．如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口.六边形开口可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设，，若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正六边形的性质及平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】解：因为，，由正六边形的性质可知，，

所以，，

所以

.

故选：B

5．德州市政府部门为了解本市的“全国文明城市”创建情况，在本市县（市､区）中随机抽查了甲､乙两县，考核组对他们的创建工作进行量化考核.在两个县的量化考核中再各随机抽取20个单位的量化考核成绩，得到下图数据.以此为依据对甲乙两县的创城工作进行分析，关于甲乙两县的考核成绩，下列结论正确的是（       ）

A．甲县样本数据的平均数是80 B．甲县样本数据众数小于乙县样本数据众数

C．甲县样本数据的75%分位数是83 D．不低于80的数据个数，甲县多于乙县

【答案】C

【分析】根据平均数的定义、众数的定义、75%分位数的定义逐一判断即可.

【详解】甲县样本数据的平均数是：

，所以A选项结论不正确；

因为甲县样本数据众数为，乙县样本数据众数，

所以B选项结论不正确；

 因为，所以甲县样本数据的75%分位数是，

因此C选项结论正确；

因为不低于80的数据个数，甲县为，乙县为，

所以D选项说法不正确，

故选：C

6．设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】运用代入法，结合正弦型最小正周期公式进行求解即可.

【详解】因为，所以，

因为，所，

，得，而，所以，

因为的最小正周期大于，所以有，

因为，所以，即，而，

所以，即，

故选：A

7．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为，则该圆锥的侧面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．

【详解】圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，

可得，又的面积为，

可得，即，可得，

SA与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为：，

则该圆锥的侧面积：，

故选：C

8．取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据球的性质，结合四角反棱柱的几何性质、球的表面积公式进行求解即可.

【详解】如图所示：设上下底面的中心分别为，设该“四角反棱柱”外接球的球心是，

显然是的中点，设的中点为，连接，

过做，垂足为，

因为，，

所以，

在直角三角形中，，

所以有，于是有，

在直角三角形中，，

所以该“四角反棱柱”外接球的表面积等于，

故选：B

【点睛】关键点睛：根据四角反棱柱和球的几何性质确定球心的位置是解题的关键.

二、多选题

9．学校为了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了随机调查，将学生上学的交通方式归为四类方式：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式.并把收集的数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是（       ）

A．扇形图中B的占比最大

B．结伴步行上学的有30人

C．无法计算扇形图中A的占比

D．估计该校学生上学交通方式为A和C的人数占学生总人数的一半

【答案】ABD

【分析】根据柱形图和扇形图，可求得总人数，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】因为D的人数为18，且D占比为，

所以总人数为人，

所以A组人数为，故B正确；

对于A：由于B组人数最多，故在扇形图中B的占比最大，故A正确；

对于C： A组30人，占比为，故C错误；

对于D：A和C的人数和为60人，总人数为120，占学生总人数的一半，故D正确，

故选：ABD

10．下列说法正确的是（       ）

A．，，若，则

B．在边长为2的等边三角形ABC中，

C．若，，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】利用向量共线的坐标运算可判断A；求出的夹角，由向量数量积公式可判断B；求出的坐标利用模长公式计算可判断C；对两边平方可得

，再由，求出可判断D.

【详解】对于A， 因为，，若，则，得，故正确；

对于B， 在边长为2的等边三角形ABC中， 的夹角为，所以，故错误；

对于C， 若，，则，故错误；

对于D， 若，则，

所以，所以，则，故正确.

故选：AD.

11．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（       ）

A．复数为纯虚数 B．对应的点位于第二象限

C． D．的最大值为3

【答案】ACD

【分析】根据欧拉公式，结合复数模的几何意义逐一判断即可.

【详解】因为，所以复数为纯虚数，因此选项A正确；

因为，所以复数对应的点为，

而，所以对应的点位于第一象限，因此选项B不正确；

所以选项C正确；

，

所以表示单位圆上的点到的距离，

因此的最大值为，所以选项D正确，

故选：ACD

12．如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到，连接，，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中正确的是（       ）

A．平面平面 B．

C．ВС与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为

【答案】ABD

【分析】A.利用面面垂直的判定定理判断；B.利用线面平面的判定定理和性质定理判断；C、D.利用空间向量夹角进行求解判断即可.

【详解】在菱形ABCD中，E为边AB的中点，所以，因为，

所以ED⊥DC，因为A′D⊥DC， ，所以平面A′DE，

因为，所以平面A′DE，因为平面A′BE，

所以平面A′DE⊥平面A′BE ，故A正确；

因为，平面A′BE，平面A′BE ，所以平面A′BE，又平面A′BE与平面A′CD的交线为l，所以CD∥l ，故B正确；

由A知，平面A′DE，则A′E，又菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，所以A′E，又BE∩DE=E，所以A′E平面BED,，以E为原点，分别以EB，ED,E A′为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：

则，

所以，

由上可知：平面A′DE，

设平面的一个法向量为：，

则，

所以有，因此选项C不正确；

显然平面的一个法向量为：，

设平面的一个法向量为：

则有则，即，所以

所以，所以选项D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．把函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得到的图像对应的函数解析式记为，则___________.

【答案】

【分析】根据诱导公式，结合余弦型函数的图像变换性质，运用代入法进行求解即可.

【详解】，

由题意可知：，

所以，

故答案为：

14．某农户要种植甲､乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行移栽.已知甲､乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5，0.6，移栽后成活的概率分别为0.6，0.8，则至少有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为___________.

【答案】0.636

【分析】记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A,“乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件B，分别求出,，即可求出至少有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活.

【详解】记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A,“乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件B，则, .

∴至少有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为:.

故答案为:0.636

15．已知E､F､G､H分别是正方体，边AB，CD，，的中点，则异面直线EH与GF所成角的余弦值为___________.

【答案】

【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】，

，

设该正方体的棱长为，显然，

于是有，

所以，

，

所以，

因此异面直线EH与GF所成角的余弦值为，

故答案为：

四、双空题

16．在△ABC中，设，，，，∠BAC=60°，，E为ВС中点，CD与АЕ交于点О，则___________，若，则的值为___________.

【答案】     ；     .

【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线的性质进行求解即可.

【详解】因为E为ВС中点，所以，

因为，所以，

所以，

即

因为，，∠BAC=60°，

所以；

设，，

因为， ，

所以，于是有，

故答案为：；

五、解答题

17．北京2022年冬奥会，向世界传递了挑战自我､积极向上的体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳､踢键子､篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高､跳远）中随机抽取2个项目进行比赛.

(1)若从这5个项目中随机抽取2个，求抽取的2个项目都是趣味项目的概率；

(2)若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率.

【答案】(1)；

(2).

【分析】运用列举法，结合古典概型计算公式对（1）（2）进行求解即可.

【详解】(1)设3个趣味项目分别为（跳绳），（踢键子），（篮球投篮），2个竞技项目分别为（跳高），（跳远）.

从5个项目中随机抽取2个，其可能的结果组成的基本事件有，，，，，，，，，，共10个，其中，抽取到的这2个项目都是趣味项目的基本事件有，，，共3个，故所求事件的概率；

(2)从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，其可能的结果组成的基本事件有，，，，，，共6个，其中，抽取到的这2个项目包括A1（跳绳）但不包括B1（跳高）的基本事件有，共1个，故所求事件的概率.

18．如图，在圆锥PO中，AB是底面的一条直径，C为底面圆周上一点.

(1)若D为AC的中点，求证：平面POD；

(2)若AС=ВС，求证：РС⊥АB．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）根据圆的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可.

【详解】(1)因为O，D为AB，AC的中点，所以.

又因为OD平面РОD，平面POD.所以平面POD；

(2)连接ОC.

因为AB是底面的一条直径，所以О是AB的中点，

又因为AC=BC，所以ОС⊥АB.因为PO⊥圆面O，且AB圆面О，所以РО⊥АB.

因为，PO，OC平面РОC，所以АВ⊥平面POC.因为PC平面POC，

所以РС⊥АB.

19．已知角终边过点，，且.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据三角函数的定义，结合余弦二倍角公式进行求解即可；

（2）根据（1）的结论，结合两角和的正弦公式进行求解即可.

【详解】(1)根据三角函数的定义，因为角终边上有一点，

所以，，即，所以；

(2)由且，得，所以.

由（1）知，所以.

又因为，，所以，

所以，且，

因为.

所以.

20．今年上海疫情牵动人心，大量医务人员驰援上海.现从这些医务人员中随机选取了年龄（单位：岁）在内的男､女医务人员各100人，以他们的年龄作为样本，得出女医务人员的年龄频率分布直方图和男医务人员的年龄频数分布表如下：

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)根据频率分布直方图估计样本中女医务人员年龄的中位数（精确到整数）；

(3)在上述样本中用分层抽样的方法从年龄在内的女医务人员中抽取4人，从年龄在内的男医务人员中抽取5人.记这9人中年龄在内的医务人员有m人，再从这m人中随机抽取2人，求这2人是异性的概率.

【答案】(1)；

(2)37；

(3).

【分析】（1）根据在频率直方图中，所以小矩形面积之和为进行求解即可；

（2）根据中位数的定义求解即可；

（3）根据分层抽样的性质，结合古典概型计算公式进行求解即可.

【详解】(1)由题意，，解得：；

(2)设中位数为x，则有，

故，即中位数估计为37；

(3)由已知得4名女医务人员中，年龄在内的有人，

在内的有人.

5名男医务人员中，年龄在内的有人，

在内的有人，这9人中，年龄在内的有5人，

其中女医务人员有3人，记为；男医务人员有2人，记为，

设从这5人中抽取2人，这2人是异性为事件A，则基本事件空间为

，共10种情况，

，包含6个基本事件，

故.

21．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=3.

(1)若点E为线段FD的中点，求证：AE⊥平面PDC；

(2)若，则线段AB上是否存在一点F，使得平面PBC，若存在，请确定点F的位置，并求三棱锥FPBC的体积.

【答案】(1)证明见解析；

(2)存在，F为AB靠近点В的三等分点，.

【分析】（1）根据面面垂直的性质，结合正方形的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，结合面面平行的性质、三棱锥的体积公式进行求解即可.

【详解】(1)因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD，

因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，

又AE平面PAD，所以CD⊥AE.

又因为PA=PD=AD，且E为中点，所以AE⊥PD，

又因为PDCD=D，所以AE⊥平面PDC；

(2)如图分别取AB､CD的三等分点F､G，

结合题意可得：，.

又因为PC平面PBC，EG平面PBC，所以平面PBC，同理平面PBC.

因为EG平面EFG，FG平面EFG，平面，

所以平面平面PBC，又因为EF平面EFG，所以平面PBC，

此时F为AB靠近点В的三等分点，

所以.

22．从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________.

(1)求角В的大小；

(2)若为锐角三角形，с=1，求a的取值范围.

注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①，正弦定理边化角得，根据角A的范围及辅助角公式，即可得答案.

若选②，正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式，化简整理，即可得答案.

若选③，正弦定理角化边可得，根据余弦定理，即可得答案.

（2）根据正弦定理，可得，根据题干条件，代入化简整理，根据锐角三角形，可得角C的范围，即可得答案.

【详解】(1)若选①

由正弦定理得，即

因为，所以，

所以，所以，

又因为，所以.

若选②

因为，

由正弦定理得，

即，

所以，

由，得，

所以，即，

因为，所以.

若选③

由，化简得.

由正弦定理得：，即，所以.

因为，所以.

(2)在中，由正弦定理，得，

由（1）知：，又с=1代入上式得：.

因为为锐角三角形，所以，解得，

所以，所以.