2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县高二下学期期末考试数学试题含解析

这是一份2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县高二下学期期末考试数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知全集，集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，再求其补集【详解】因为，又全集，所以.故选：B2．设复数，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先对复数化简计算，再求其共轭复数即可【详解】因为，所以.故选：B.3．“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先分别化简“”与“”，再去判断二者之间的逻辑关系【详解】由，可得，则有，所以充分性成立；当时，可得，在的情况下，不成立，所以必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4．已知，且，则（       ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由可求sinθ，由可求tanθ，再由正切二倍角公式可求tan2θ.【详解】∵，且，∴，∴，∴．故选：B．5．已知两个单位向量，满足，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由题给条件求得，再利用向量的数量积去求的值【详解】由题意得，即，，则.故选：A.6．大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘､走进商丘的欲望.吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度（即图中线段的长度）.他在该雕塑塔的正东处沿着南偏西的方向前进米后达到处（，，三点在同一个水平面内），测得图中线段在东北方向，且测得点的仰角为，则该雕塑的高度大约是（参考数据：）（ ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】在中，由正弦定理求出的长，在由边角关系即可求得的长.【详解】在中，，，，由正弦定理，所以（米），在中，，所以（米）故选：C.7．过点作曲线C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（       ）A．2x＋y－8＝0 B．x＋2y－8＝0C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－4＝0【答案】A【分析】先求得A，B两点的坐标，再去求直线AB的方程即可.【详解】设切点坐标为，由，则切线斜率为切线方程为，又切线过点则，即，解之得或则可令则则直线AB的方程为，即2x＋y－8＝0故选：A8．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.【详解】当时，单调递增，，所以单调递增.因为是偶函数，所以当时，单调递减.，，，或.即不等式的解集为.故选：D二、多选题9．某调查机构获得如下两组样本数据：第一组：26，9，15，8，15，20，24，20，21，32.第二组：12，7，14，12，16，23，31，17，30，28.则这两组数据的（       ）A．平均数相等 B．中位数相等C．极差相等 D．方差相等【答案】AC【分析】求得两组数据的平均数判断选项A；求得两组数据的中位数判断选项B；求得两组数据的极差判断选项C；求得两组数据的方差判断选项D.【详解】对于A：第一组数据的平均数为，第二组数据的平均数为，故A正确；对于B：第一组数据的组数据的中位数, 第二组数据的组数据的中位数，故B错误；对于C：第一组数据的组数据的极差，第二组数据的组数据的极差，故C正确；对于D：第一组数据的方差第二组数据的方差，故D错误.故选：AC.10．已知函数，直线是的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是（       ）A．函数为偶函数B．的图象的一个对称中心为C．在区间上有2个零点D．在区间上为单调函数【答案】ABC【分析】根据题意求得，然后逐个分析判断即可【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，则，所以，则，所以对于A，，所以函数为偶函数，故正确；因为，所以的图象的一个对称中心为，故正确；当时，，所以由正弦函数的性质可知函数在上有2个零点，故C正确；当时，，所以函数区间上不单调，故D错误.故选：ABC.11．已知直线，圆，则下列说法正确的是（       ）A．直线与圆一定有公共点B．当时直线被圆截得的弦最长C．当直线与圆相切时，D．圆心到直线的距离的最大值为【答案】BCD【分析】由圆的方程可得圆心的坐标及半径，因为直线l过定点，且点在圆E外，可得A不正确；当时可得直线l过圆心，所以B正确；直线l与圆相切时可得，所以C正确，当ME与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，且为，判断D正确．【详解】由题意知直线过定点，且点在圆外部，所以错误；当时，的方程为，直线过圆心，截得的弦恰为直径，故B正确；当与圆相切时，，解得，故C正确；当与垂直时，圆心到的距离取得最大值，其最大值为，故正确.故选：BCD.12．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（       ）A．若直线的倾斜角为，则B．若，则直线的斜率为C．若为坐标原点，则三点共线D．【答案】ACD【分析】对于A，求出直线的方程，代入抛物线方程中，整理后利用根与系数的关系，然后利用弦长公式可求出，对于B，设1，代入抛物线方程，整理后利用根与系数的关系，再由，得，从而可求出的坐标，进而可求出直线的斜率，对于C，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可，对于D，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可【详解】若直线的倾斜角为，则，令，由消可得，所以，故正确；设1，令，由，消可得，，所以，所以，所以或所以.即，故错误；设，令，，消可得 ，所以，即三点共线，故C正确；设，令，由消可得，，所以，即，故正确.故选：ACD.三、双空题13．设分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上异于顶点的两点，，则___________，若点还满足，则的面积为___________.【答案】          1【分析】由已知向量相等得到，由椭圆的对称性得关于原点对称得到的值，由得到四边形为矩形，计算的面积即可.【详解】由知，由椭圆的对称性得关于原点对称，所以-1.若，则四边形为矩形，所以故答案为： ，1.四、填空题14．已知随机变量服从正态分布，且，则___________.【答案】【分析】由随机变量服从正态分布，判断出曲线关于对称，根据对称性解题.【详解】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称.所以.故答案为：0.1515．的展开式中的常数项为__________（用数字作答）．【答案】3360【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出，从而可求出展开式中的常数项【详解】，令得，所以展开式中的常数项为．故答案为：336016．在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是___________.【答案】【分析】根据体积求得锥体高度，利用正弦定理求出底面所在的圆的半径，结合勾股定理求得外接球的半径，即可求出其表面积．【详解】如图所示，设点为的外心，则平面，由，则三棱锥的外接球的球心在直线上.设其外接球的半径为，由正弦定理得，在Rt中，，由勾股定理得，即，解得.正三棱锥外接球的表面积是.故答案为： .五、解答题17．已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由，，构成等比数列得到之间的关系，再将化简成间的式子，进而解出，然后求出答案；（2）结合（1），然后通过分组求和的方法解得答案即可.【详解】(1)设等差数列的公差为d，因为，，构成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，又，所以，联立方程组解得，，所以．(2)由（1）可得，，所以数列的前n项和．18．在中，角，，的对边分别为，，，在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知是上的一点，，，，若_______，求的面积．【答案】选择见解析，面积为：．【分析】先算出角，再结合余弦定理算出，即可获解.【详解】若选择①，则，因为．所以，即，因为，所以，即，因为．所以．若选择②，则，又所以所以，因为，所以．若选择③，则，即因为 所以 ,因为 ，所以 即 解得 或 .因为 ，所以 因为 . 所以.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.19．如图，在直三棱柱中，分别是，的中点. (1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)取的中点，连接 ，证四边形 是平行四边形，从而得到 ，所以证得线面平行.(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；【详解】(1)证明：在直三棱柱中，分别是的中点，取的中点，连接，所以.因为，所以，所以四边形 是平行四边形，所以 .因为平面 平面，所以平面. (2)解：如图，以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为 ，所以，所以.设平面的一个法向量为，所以令，则，所以.设平面的一个法向量为，所以令，则所以，则.所以二面角 的正弦值为.20．某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了100名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99.5%的把握认为 “文科方向”与性别有关？ 理科方向文科方向总计男40  女  45总计  100 (2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取4次，记被抽取的4人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考临界值： 【答案】(1)列联表答案见解析，有的把握认为 “文科方向”与性别有关(2)分布列答案见解析，数学期望【分析】（1）先利用题给条件求得低于60分的学生人数，进而完成列联表，再计算出后与参考临界值进行比较即可判断是否有99.5%的把握认为 “文科方向”与性别有关.（2）先求得的所有可能取值分别对应的概率，进而得到的分布列，再利用公式即可求得的数学期望.【详解】(1)由题意可得分数在之间的学生人数为（名），在之间的学生人数为（名），所以低于60分的学生人数为（名）.所以列联表如下： 理科方向文科方向总计男401555女202545总计6040100 所以，所以有的把握认为“文科方向”与性别有关.(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为.的所有可能取值为，所以，，，所以的分布列为：01234 所以.21．在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）设点，然后根据题意列方程化简可求得曲线的方程，（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可求出的坐标，从而可得与不垂直，不合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线方程代入曲线的方程消去，整理后利用根与系数的关系，再由，得，化简计算可求出直线的斜率，从而可得直线方程【详解】(1)设点，由题意得，式子左右同时平方，并化简得，.所以曲线的方程为.(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与曲线的交点坐标为.所以与不垂直，即，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得由和，得.，因为，所以.所以，解得所以直线的方程为，即或.22．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，求证：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用的导函数的正负情况去讨论函数单调性即可；（2）构造新函数，并利用其导函数求得最小值非负，从而证明不等式成立【详解】(1)由题意知，当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，故函数在上单调递减，在上单调递增.(2)当时，，令，则.令，则在上恒成立所以函数在区间上是增函数，又，所以函数存在唯一的零点，且当时，；当时，.所以当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.故，由得：，即，两边取对数得，故.所以，即.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.