2021-2022学年天津市第三中学高二下学期期末质量检测数学试题解析版

  天津市第三中学2021-2022学年高二下学期期末质量检测数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．本卷共9题，每小题4分，共36分．

━、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合，再由交集定义即可得出答案.

【详解】因为或，

所以

故选：C.

2. 命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　）

A. ∀x∈R，|x|+x2<0 B. ∀x∈R，|x|+x2≤0

C. ∃x0∈R，|x0|+<0 D. ∃x0∈R，|x0|+≥0

【答案】C

【解析】

【分析】利用全称命题的否定可得出结论.

【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.

故选：C.

3. 下列函数中，定义域是且为增函数的是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.

【详解】对于，，是上的减函数，不合题意；

对于，是定义域是且为增函数，符合题意；

对于，，定义域是，不合题意；

对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B.

【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.

4. “成立”是“成立”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分条件

考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件

5. 函数的图象大致是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：由题： ，求导得：， 即：

令：为增区间，为减区间．，得图为C

考点：运用导数研究函数的性质.

6. 盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据古典概型的特征即可求出概率.

【详解】解析：从盒中任取一个铁钉包含样本点总数为10，其中取到合格铁钉(记为事件A)包含8个样本点，所以．

故选：C.

7. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，

在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，

则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3.

又因为低于60分的人数是15人，

所以该班的学生人数是15÷0.3=50.

本题选择B选项.

8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意结合对数函数的性质可知：

，，，

据此可得：.

本题选择D选项.

点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．

9. 已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】函数恰有4个零点，即方程，

即有4个不同的实数根，

即直线与函数的图象有四个不同的交点．

又

做出该函数的图象如图所示，

由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，

故函数恰有4个零点时，

b的取值范围是故选D．

考点：1、分段函数；2、函数的零点．

【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．

10. 计算：_________．

【答案】10

【解析】

【分析】由组合数的公式即可得出答案.

【详解】因为.

故答案为：10.

11. 函数，则的值是__________．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】先求得，再代入求解.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

故答案为：

12. 在的展开式中，含的项的系数是__________．（用数字填写）

【答案】10

【解析】

【分析】利用二项展开式的通项公式直接求解.

【详解】的展开式的通项公式为.

所以含的项为，系数为10.

故答案为：10.

13. 已知，则的最小值是______．

【答案】6

【解析】

【分析】根据给定条件，利用均值不等式计算作答.

【详解】，则，当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值是6.

故答案为：6

14. 在A，B，C，D四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法_______种．

【答案】12

【解析】

【分析】先从A，B，C，D四位学生中，选出两人，再安排正、副班长即可.

【详解】先从A，B，C，D四位学生中，选出两人，再安排正、副班长即可，

共有：中选法.

故答案为：12.

15. 已知，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据条件概率公式，先求出，再利用公式计算即可.

【详解】由于，

则.

故答案为：.

三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 在的展开式中.

（1）求第3项；

（2）求含项的系数.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用二项式定理计算得到答案.

（2）直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】（1），

（2），令，解得.

所以.所以含项的系数为.

【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.

17 已知数字1，2，3，4，5．

（1）可以组成多少个没有重复数字五位数；

（2）可以组成多少个没有重复数字的五位偶数．

【答案】（1）120    （2）48

【解析】

【分析】（1）将5个数进行全排列，利用排列数公式即可得出答案.

（2）先排个位数，从2，4中选一个数排在个数, 其余的位置即剩下的4个数进行全排列即可得出答案.

【小问1详解】

由题意可得：将5个数进行全排列，即个.

【小问2详解】

先排个位数，从2，4中选一个数排在个数有：个，

其余的位置即剩下的4个数进行全排列，即个，

所以可以组成个没有重复数字的五位偶数.

18. 某同学参加甲、乙、丙3门课程的考试，设该同学在这3门课程的考试中取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．

（1）求该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率．

（2）求该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列和期望．

【答案】（1）   

（2）分布列见解析；期望为

【解析】

【分析】（1）由独立事件的乘法公式代入即可得出答案.

（2）X的可能取值为，分别求出其对应的概率，即可求出分布列和期望.

小问1详解】

该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率.

【小问2详解】

X的可能取值为，所以

，

，

，

该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列：

期望.

19. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．

（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值．

（2）设常数，求函数的最大值和最小值；

【答案】（1）4；

（2）见详解.
 

【解析】

【详解】（1）根据题设条件知，由此可知b=4．

（2）由 ，知当时，函数取得最小值．再由c的取值判断函数的最大值和最小值．