2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题Word版含答案

长安一中2021-2022学年度第二学期期末考试

高二数学（文科）试题

时间：120分钟   满分：150分

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.设全集，集合，，则（ ）

A.          B.         C.         D.

2.已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（    ）

A．              B．1 C． D．

3.已知，则（       ）

A．        B．         C．             D．

4.已知向量满足，则（    ）

A  B.               C.              D.

5.已知双曲线以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则E的实轴长为（　　）

A．        B．          C．            D．

6.已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

7.已知，，则“”是“”的（    ）

A.必要不充分条件  B. 充分不必要条件  C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件

8.若是函数图像的对称轴，则的最小正周期的最大值是（       ）

A． B． C． D．

9.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是以圆内接正多边形的面积,来无限逼近圆的面积.刘徽形容他的割圆术说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体,而无所失矣”.某同学在圆内画一内接正十二边形，将100粒豆子随即撒入圆内，发现只有4粒不在正十二边形内.据此实验，估计圆周率的近似值为(   )

A.            B.              C.              D.

10.在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（   ）

A．12 B．21 C．11 D．31

11.椭圆：的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．

若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（  ）

A．            B．             C．               D．

12.已知实数，满足，，则下列关于判断正确的是（   ）

A．  B．    C．       D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.）

13.某区域有大型城市个，中型城市个，小型城市个．为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为______．

14.已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是      .

15.若是函数的极值点，则的极大值为          .

16.已知四棱锥的底面是矩形，，平面平面 ，，且直线与所成角的正切值为，则四棱锥外接球的表面积为            .

三、解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必修作答. 第22、23题为选考题，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.)

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

的内角的对边分别为，已知，.

（1）求；

（2）设为边上一点，且，求的面积.

18.（本小题满分12分）

如图1，在矩形中，是中点，将沿直线翻折到的位置，使得，如图2．

（1）求证：；

（2）求到平面的距离．

19.（本小题满分12分）

某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．

（1）估计这组数据的平均数；

（2）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：

方案①：所有芒果以10元/千克收购；

方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

20.（本小题满分12分）

椭圆：的离心率为，是椭圆上的点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点为椭圆上的任意一点，过点作的切线与圆：交于，两点，设，的斜率分别为，，证明：为定值，并求该定值．

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）讨论函数的单调性与极值；

（2）证明：当且时，不等式恒成立.

22．(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数且），曲线与轴，轴分别交于A、B两点，以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴曲线的极坐标方程为．

（1）求A、B两点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；

（2）设直线AB与曲线：交于P，Q两点，求的值．

23．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]

已知，若在上恒成立.

（1）求实数的取值范围；

（2）设实数的最大值为，若正数满足，求的最小值.